Доказательствово

Найдем произв. от перем. t от левой и право частей рав-ва.

Имеем слева: Имеем справа:

(∫f(x)dx)' = (∫f(x)dx)'_x* x'_t = (∫f[φ(t)]* φ'(t)dx)' =

= f(x)* φ'(t) = f[φ(t)]* φ'(t) = f[φ(t)]* φ'(t)

Т. обр. произв. слева и справа равны Þ на основании Т. Лагранжа левые и правые части рав-ва одинаковы.

Доказанная ф-ла показ., что дост. вып-нить замены перем. в подынтегр. выр-нии. Причем часто вместо замены x=j(t) провод. замена t=y(x), где y(х) - дифф-я функция от х.

Удачная замена перм. часто позволяет упростить интеграл, а иногда свести его к табличному.

Метод интегрирования по частям.

(u v)’ = u’ v + u v’ , где u = u(x); v = v(x).

d (u v) = (u’ v + u v’)dx = v u’dx + u v’dx =

d (u v) = v du + u dv.

Проинт. обе части этого рав-ва по х, получим

∫d (u v) = ∫v du + ∫u dv или ∫d(u*v) = u*v

∫u dv = u*v - ∫v du

Эта ф-ла применима, если подынт. выраж-е удается представить в виде проив-я нек. ф-и и дифференциала dv другой ф-и v, причем обозначения u и dv должны быть такими, чтобы вычисл. интегр. v du было бы более легкой задачей, чем вычисление исх. интергала.

К интегрированию по частям приводят интегралы след. типа: ∫xⁿe^xdx, ∫xⁿ cosbx dx, ∫xⁿ sinax dx, ∫xⁿ lnx dx, ∫xⁿ arcsinx dx, ∫xⁿ arccosx dx и др.

Простейшими рацион. дробями назыв. дроби след. вида:

I. А/(х-а), где А, а – числа

II. А/(х-а)^к, где k – число >1.

III. (Ах+В)/(х²+рх+q), где (p²/u) - q = D < 0. Квадратный трехчлен не имеет действительных корней. A, B, p, q - числа.

IV. (Ах+В)/(х²+рх+q)^к, где k > 1 - целое число, (p²/u) - q = D < 0

Рассм. интегралы от этих дробей.

I. ∫ А/(х-а) dx = A ln│x-a│+ C

II. ∫ А/(х-а)^к dx = A ((x - a)^-k+1/(-k+1)) + C

III. ∫(Ах+В)dx/(х²+рх+q) = A/2 ∫(2x+p)dx/(х²+рх+q) - Ap/2 - B ∫ dx/(х²+рх+q)

(х²+рх+q)' = 2x+p

Ax+B = (2x+p) A/2 - Ap/2 +B

Выделим сначала произ. знаменателя.

В первом из этих интегралов, как видно, числитель – произв. знам-ля Þ он будет равен логарифму знам-ля, т.е. ∫(2x+p)dx/(х²+рх+q) = ln│х²+рх+q│+ C

Во втором из этих интегралов выделяем полный квадрат и затем сводим к arctg, получим ∫dx/(х²+рх+q) = 2/√4q - p² * arctg (2x+p)/√4q - p² + C

Чтобы применять следующую формулу надо проверять дискриминант:

∫(Ах+В)dx/(х²+рх+q)=A/2 ln│х²+рх+q│-(Ap-2B)/√4q - p² * arctg (2x+p)/√4q - p² + C

IV. Для дроби этого типа существ. рекур. ф-лы., позволяющие понижать k до единицы.

Рацион. дроби назыв. правильными, если показатель степени числ. дроби меньше, показателя знаменателя.

Всякая неправильная раион. дробь может быть представлена в виде суммы многочлена т прав. рацион. дроби.

Q(x)/P(x) = M(x) + Q₁(x)/P₁(x)

Далее для интегрирования прав. рацион. дроби её предс. в виде суммы дробей, указ. выше типов, руководствуясь след. утверждением:

Если знам-ль правой рац. дроби предст. в виде разложения

Q(x)/P(x) = P(x)/((x-a)^α * (x²+px+q)^β) =

То имеет место след. утверждение:

= A₁/(x-a) + A₂/(x-a)² + A_α/(x-a)^α + (M₁x + N₁)/(x²+px+q) + (M₂x + N₂)/(x²+px+q)² + … + (M_βx + N_β)/(x²+px+q)^β

Как видно из посл. рав-ва правая часть предс. собой сумму простейших дробей, при этом каждому действит. однокр. корню соответствует простейшая дробь 1 типа. Каждому кратному действ. корню соотв. простейшие дроби 1 и 2 типов.

Если корень знам-ля комплексное число (D<0), то такому корню соотв. простейшая дробь.

Каждому комплекс. корню соотвт. простейшая дробь 4 типа.