Корнями многочлена (1) называются решения уравнения

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . (2)

Например,

1) многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru имеет один действительный корень Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , т.к. уравнение Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru имеет только одно решение Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru ,

2) многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru имеет два комплексных корня Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , являющихся решениями квадратного уравнения Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Эти примеры показывают, что многочлен с действительными коэффициентами может иметь как действительные, так и комплексные корни.

Корень многочлена (1) является корнем кратности Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , если он встречается Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru раз среди всех корней уравнения (2). Например,

1) многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru имеет один корень Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Это означает, что Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru является однократным корнем (или корнем кратности 1).

2) Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - корни кратности 1 многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

3) многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru можно переписать следующим образом:

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Следовательно, многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru имеет пять корней: Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . И значит,

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - корень кратности 2, и Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - корень кратности 3 многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Пример 1. Найти корни многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru и указать их кратность.

Решение. Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - корень кратности 2, и Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - корень кратности 3 многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

- корень кратности 5, и Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - корни кратности 2 многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Опять отметим, что многочлен с действительными коэффициентами из примера 1 наряду с действительным корнем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru имеет также комплексные корни Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Нахождение всех корней произвольно заданного многочлена часто бывает проблематичным. Если корни многочленов 1-го и 2-го порядка находятся достаточно просто, то поиск корней многочленов 3-го и 4-го порядка алгебраическими методами хотя и возможен, но уже не так прост: громоздкие аналитические выкладки (см., например, Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике, пункты: 1.8-3, … , 1.8.-6.) препятствуют широкому практическому применению аналитических методов нахождения корней этих многочленов. Для многочленов 5-го и более высокого порядков нахождение корней алгебраическими методами (т.е. с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень действительных чисел), в общем случае, невозможно. Поэтому, обычно корни многочленов выше 2-го порядка находят в приближенном виде вычислительными методами (эти методы изучаются в курсе математического анализа и численных методов). Далее рассматриваются примеры, в которых нахождение корней многочлена либо сводится к решению квадратных уравнений, либо не потребуется.

Деление многочлена на многочлен (алгоритм Евклида). Целая и дробная части отношения двух многочленов.

Рассмотрим отношение двух многочленов Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , называемое дробно рациональной функцией: Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - многочлены степени Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru соответственно. Если Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , то Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru называется правильной дробно рациональной функцией (или проще, правильной дробью). Если же Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , то Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru называется неправильной дробно рациональной функцией (или неправильной дробью). Для неправильной дроби справедлива следующая теорема.

Теорема. Неправильную дробь Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru можно разложить в сумму многочлена и правильной дроби: Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , где Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - многочлен степени Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , и Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - многочлен степени Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Такое разложение единственно. Многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru называется целой частью, правильная дробь Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - дробной частью, многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - остатком от деления многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru на многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru.

Нахождение целой части и остатка от деления многочлена на многочлен производится по алгоритму Евклида. Приведем применение этого алгоритма на конкретных примерах.

Пример 2. Найти целую часть и остаток от деления многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru на многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Решение. 1-й шаг алгоритма Евклида.

Начало схемы алгоритма. Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru

Подбираем постоянные Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru так, чтобы при умножении Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru на старший член Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru делителя Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru получился старший член Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Очевидно, следует взять Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Подставляем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru и умножаем его на делитель Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . В результате получим многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Записываем его слева под многочленом Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Находим разность Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru и записываем этот многочлен слева под чертой под многочленом Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Степень многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru больше степени делителя (многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru ), поэтому алгоритм Эвклида имеет продолжение.

2-й шаг. Записываем итоги вычислений 1-го шага. Прибавим слева к слагаемому Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru новый член Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Продолжение схемы алгоритма. Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru

Константы Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru подбираем так, чтобы при умножении Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru на старший член Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru делителя Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru получилось Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Очевидно, Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Подставляем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru и умножаем его на делитель Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , в результате получим многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Записываем этот многочлен слева под многочленом Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Находим разность Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , где Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru и записываем этот многочлен слева под чертой под Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Степень многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru равна степени делителя (многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru ), поэтому алгоритм Эвклида продолжается.

3-й шаг. Записываем итоги вычислений 2-го шага. Прибавим слева к слагаемым Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru новый член Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Продолжение схемы алгоритма. Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru

Константы Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru подбираем так, чтобы при умножении Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru на старший член Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru делителя Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru было равно Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Очевидно, Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Подставляем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru и умножаем его на делитель Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , в результате получим многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Записываем этот многочлен слева под Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Находим разность Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru и записываем ее слева под чертой под Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Степень многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru меньше степени делителя Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , поэтому алгоритм Евклида закончился. Ответы таковы: целая часть и остаток от деления многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru на многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru соответственно равны Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru и Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

В окончательном виде схема алгоритма Евклида выглядит так.

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru

Если остаток Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru от деления многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru на многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru равен нулю, то многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru нацело делится на многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . В этом случае многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru называется делителем многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , и многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru можно записать в виде произведения Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Пример 3. Разложить в произведение многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , если известно, что многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru нацело делит многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Решение. С помощью алгоритма Евклида найдем целую часть Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru от деления Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru на Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru

Следовательно, Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru и многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru можно разложить в произведение: Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

2. Особую роль играет деление многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru на многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Справедлива следующая теорема Безу. Остаток от деления многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru на многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru равен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Следствие теоремы Безу. Если Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - корень многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru степени Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , то многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru нацело делится на многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , т.е. Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , где Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - многочлен степени Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Основная теорема алгебры многочленов: любой многочлен степени Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru имеет ровно Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru корней, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

Согласно этой теореме любой многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru с комплексными коэффициентами разлагается в следующее произведение

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru (1)

где Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - все корни многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , имеющие кратности Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru соответственно. Такое разложение называется разложением многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru над множеством комплексных чисел (над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru ). При разложении многочлена над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ruавтоматически считается, что Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru может принимать любые комплексные значения.

Линейные многочлены Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru являются неприводимыми многочленами над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru. Многочлен называется неприводимым над заданным множеством чисел, если его нельзя разложить в произведение двух многочленов со степенями один и выше. Очевидно, что любой многочлен степени 1 неприводим над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru, алюбой многочлен степени 2 и выше приводим над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru, т.к. согласно основной теореме его можно разложить в произведение многочленов.

Пример 4. Разложить над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ruмногочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Решение. Согласно примеру 3 заданный многочлен разлагается в произведение Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Первый множитель – многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru имеет корень Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , т.к. Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Следовательно, Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru нацело делится на многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . По алгоритму Евклида находим результат деления Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru на Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru

Значит, Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru

Поскольку, Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , получим такое разложение многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru

Если многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru имеет действительные коэффициенты, то наряду с его разложением над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru (когда Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru считается комплексной величиной) возможно также разложение этого многочлена на множестве действительных чисел (над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru ), когда переменная Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru принимает только действительные значения, и соответственно Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru принимает только действительные значения. При разложении многочлена с действительными коэффициентами над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru следует помнить, что не все многочлены второго порядка приводимы над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Например, многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru приводим над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , он допускает разложение Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru и неприводим над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , т.к. каждый из множителей в квадратных скобках принимает комплексные значения при действительных значениях переменной Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Поэтому, разложение многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru из примера 4 над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru будет иметь следующий вид: Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Здесь каждый из множителей принимает только действительные значения при действительных Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru . Чтобы получить это разложение, нужно перемножить квадратные скобки в найденном выше разложении многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Следует помнить также следующий факт: если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , то комплексное сопряжение этого корня Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru также является корнем этого многочлена. Согласно этому факту и основной теореме алгебры многочленов разложение многочлена с действительными коэффициентами над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru в общем случае имеет следующий вид

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , (2)

где Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - действительные корни кратности Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru соответственно, а квадратные многочлены Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru имеют комплексно сопряженные корни.

Пример 5. Найти разложения многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru на множестве комплексных (над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru ) и на множестве действительных (над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru ) чисел, если известно, что Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - корень кратности 2 этого многочлена.

Решение.

1) Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - действительный корень кратности 2 многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

2) Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru - многочлен с действительными коэффициентами Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru вместе с комплексным корнем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru кратности 2 этот многочлен имеет корень Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru тоже кратности 2 Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru в разложении многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru (см. формулу (1)) будет присутствовать множитель Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , и значит, многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru нацело делится на многочлен Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

3) Найдем результат деления Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru на Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru по алгоритму Евклида.

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

4) Теперь найдем корни квадратного трехчлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Следовательно,разложение заданного многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ruимеет вид

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

Из этого разложения видно, что Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru имеет корни Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru кратности 2 и корни Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru кратности 1.

Чтобы найти разложение многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru нужно перемножить скобки с сопряженными комплексными корнями. Т.к. Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru и Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , получаем следующее разложение многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru над полем Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru: Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

_______

Домашнее задание.

1. Найти все корни многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru и указать их кратность.

2. Найти целую и дробную части отношения Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , где Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru , Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru .

3. Найти разложения многочлена Корнями многочлена (1) называются решения уравнения - student2.ru на множестве комплексных и на множестве действительных чисел.

Наши рекомендации