Изоморфизм линейных пространств

Определение 24. Два линейных пространства L и L¹ над одним и тем же полем Р называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение j: L ® L¹, что для любых векторов а и в из L и любого элемента l Î Р выполняются условия: j(а + в) = j(а) + j(в), j(lа) = lj(а).

Отображение j называется изоморфизмом.

Определение 24 можно заменить следующим эквивалентным определением.

Определение 25. Два линейных пространства L и L¹ над одним и тем же полем Р называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение j: L ® L¹, что для любых векторов а и в из L и любых элементов l, m Î Р выполняется условие: j(lа + mв) = lj(а) + mj(в).

Свойства изоморфизма.

1. j(0) = 0¹, где 0 и 0¹ – нулевые вектора в пространствах L и L¹ соответственно.

2. Если а₁, а₂, … , а_к – любая система векторов из L и j(а₁) = а₁¹, j(а₂) = а₂¹, … , j(а_к) = а_к¹, то j(a₁а₁ + a₂а₂ + … + a_ка_к) = a₁а₁¹ + a₂а₂¹ + … + a_ка_к¹.

3. Если а₁, а₂, … , а_к –линейно независимая система векторов из L и j(а₁) = а₁¹, j(а₂) = а₂¹, … , j(а_к) = а_к¹, то система векторов а₁¹, а₂¹, … , а_к¹ – линейно независима в L¹.

4. Если а₁, а₂, … , а_к –линейно зависимая система векторов из L и j(а₁) = а₁¹, j(а₂) = а₂¹, … , j(а_к) = а_к¹, то система векторов а₁¹, а₂¹, … , а_к¹ – линейно зависима в L¹.

5. Если L – n-мерное линейное пространство, то L¹ – тоже n-мерное линейное пространство.

6. При изоморфизме образом любого базиса из L является базис из L¹.

Примеры изоморфных пространств.

1. Арифметическое линейное пространство А_n над полем Р изоморфно пространству многочленов степени не выше (n – 1) с коэффициентами из поля Р.

2. Пространство квадратных матриц порядка n с элементами из поля Р изоморфно арифметическому линейному пространству размерности n² над полем Р.

V. РАНГ МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ранг матрицы

Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = произвольная матрица размерности m ´ n. Каждый столбец матрицы можно рассматривать как m-мерныйвектор из m-мерного арифметического пространства А_m. Тогда система столбцов матрицы будет системой m-мерныхвекторов а₁ = (а₁₁, а₂₁, … , а_m1), а₂ = (а₁₂, а₂₂, … , а_m2), … , а_n = (а_1n, а_2n, … , а_mn).

Определение 26. Столбцевым рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – столбцов.

По аналогии со столбцами каждую строку матрицы А можно рассматривать как n-мерный вектор из n-мерного арифметического пространства А_n .

Определение 27. Строчным рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – строк.

Теорема 18. Столбцовый ранг матрицы равен наибольшему порядку среди отличных от нуля её миноров.

Доказательство. Если все элементы матрицы – нули поля Р, то все её столбцы – нулевые вектора. Ранг этой системы векторов равен нулю. В матрице А все миноры первого порядка, все миноры второго порядка и т.д. равны нулю. Можно считать, что максимальный порядок отличных от нуля миноров равен нулю.

Пусть в матрице А не все элементы равны нулю, тогда в матрице есть отличные от нуля миноры. Выберем минор наибольшего порядка среди всех отличных от нуля. При перестановке столбцов ранг системы векторов-столбцов не изменится. При перестановке строк матрицы изменится только порядок координат векторов (при этом у всех векторов одинаково). Следовательно, эта перестановка тоже не изменит ранга системы векторов-столбцов. Переставим, если нужно, строки и столбцы матрицы так, чтобы выбранный нами минор М располагался в левом верхнем углу матрицы. Пусть его порядок равен к. Рассмотрим систему векторов-столбцов матрицы А. Обозначим их а₁, … , а_к, а_к+1, … , а_n . Векторы а₁, … , а_к линейно независимы, иначе выбранный нами минор был бы равен нулю. Покажем, что любой другой вектор-столбец через них линейно выражается. Для этого окаймим выбранный минор любым столбцом с номером к +1, к + 2, … , n и любой

а1, … , ак, ак+1, …, аn А =	строкой. Если номер этой строки не больше к, то полученный определитель будет иметь две одинаковых строки, поэтому равен нулю. Если номер окаймляющей строки больше к, то этобудет минор матрицы А порядка (к + 1), поэтому равен нулю по условию. Итак, определитель равнее нулю при любом s, равном к + 1, … , n и любом р, равном 1, 2, … , m .
= 0.	Разложим по последней строке, получим Так как М ¹ 0, то .

Если номер столбца s зафиксирован, то алгебраические дополнения А_р1, … , А_рк не меняются при изменении номера строки р. Следовательно, а_s = а₁ – … – а_к . Итак, любой вектор-столбец матрицы А линейно выражается через первые к её столбцов. Следовательно, столбцовый ранг матрицы равен к, т.е. наибольшему порядку отличных от нуля её миноров.

Следствие. Строчный ранг матрицы равен её столбцовому рангу.

Доказательство. Транспонируем матрицу А. При этом векторы-строки матрицы А станут векторами-столбцами транспонированной матрицы А^Т. П ри транспонировании матрицы транспонируются и все её миноры. Так как при транспонировании определитель не меняется, то максимальный порядок отличных от нуля миноров в матрицах А и А^Т один и тот же. По доказанной теореме столбцовые ранги этих матриц равны. Отсюда и следует утверждение следствия.

Так как столбцовый и строчный ранги матриц равны, то можно дать определение:

Определение 28. Рангом матрицы называется ранг системы её векторов-столбцов (или векторов-строк).

Из теоремы о ранге матрицы следует, что если мы найдём в матрице А минор М к-го порядка, отличный от нуля, то среди миноров (к + 1)-го порядка достаточно рассмотреть только те, которые получаются окаймлением минора М. Если они все равны нулю, то ранг матрицы равен к. В дальнейшем минор наибольшего порядка среди отличных от нуля будем называть базисным минором.

Пример. Найти ранг матрицы А = в зависимости от b.

Решение. Так как не все элементы матрицы равны нулю, то её ранг не меньше 1. Так как второй т третий столбцы одинаковы, то один из ни можно отбросить и находить ранг матрицы А₁ = . Из миноров второго порядка только один не содержит b, но этот минор равен 0. Рассмотрим минор М₁ = При b = 0 матрица А₁ имеет вид . В ней только один ненулевой столбец, следовательно, её ранг равен 1. Если , то М₁ ¹ 0, т.е. ранг матрицы не меньше 2. Минор М₁ можно окаймить третьей строкой и третьим столбцом или четвёртой строкой и третьим столбцом. Получим М₂ = . Так как , то М₂ ¹ 0. В матрице А₁ миноров 4-го порядка нет, поэтому rang A = rang A₁ = 3.

Итак, при b = 0 rang A, при b ¹ 0 rang A =3.

Теорема 19. Элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга.

Доказательство следует из того, что при элементарных преобразованиях матрицы мы получаем эквивалентные системы её векторов-строк.