Уравнения потенциального движения

Потенциальным течением будем называть течение, при котором проекции массовой скорости на оси ортогональной системы координат будут являться производными некоторой функции по направлениям данных осей.

Фильтрационное течение в горных породах подчиняется закону Дарси и, следовательно, потенциально. Потенциалом поля скоростей фильтрационного течения называется функция

. (2.5)

Равенство (2.5) можно переписать в виде

(2.6)

или, учитывая закон Дарси,

. (2.7)

Здесь r`u - вектор массовой скорости фильтрации;

gradj- градиент потенциала j, направленный в сторону быстрейшего возрастания j,

;

(a)- декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты;

i, j, k , e_Q , e_j , e_r , e_z - единичные вектора по осям координат x, y, z , Q, j, r и z (цилиндрическая система ).

Подставляя (2.7)в (2.1) получим

, (2.8)

а для установившегося течения

. (2.9)

Уравнения (2.8) и (2.9) называют уравнениями Лапласа относительно функции j, а оператор Dj оператором Лапласа.

Уравнение Лапласа имеет два важных свойства, которые имеют большое практическое приложение, а именно:

1. сумма частных решений является также решением уравнения Лапласа;

2. произведение частного решения на константу - также решение.

Данные свойства приводят к принципу суперпозиции.

В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид

;

где: (a) - декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты.

Уравнения фильтрации для трещиновато-пористой среды

Общая система уравнений

В чисто трещиноватом пласте система уравнений имеет тот же вид, что и в пористом. Для трещиновато-пористой среды следует учитывать характерные особенности такой среды (рис.1.2):

1) такой пласт моделируется системой двух сред с порами разных масштабов (среда 1 - роль поровых каналов играют трещины, а роль зёрен - пористые блоки; среда 2 - обычная пористая среда, образующая блоки);

2) между отмеченными средами при фильтрации возникает переток жидкости из пористых блоков в трещины в пределах выделенного элементарного объёма трещиновато-пористого пласта.

При этом предполагается, что в каждом элементарном объёме трещиновато-пористого пласта содержится большое число пористых блоков, так что в окрестности каждой точки вводится две скорости фильтрации, два давления, относящиеся к средам 1 и 2. На основании сказанного, уравнения неразрывности выписываются для каждой из сред, а переток учитывается членом q_1,2. Наличие перетока эквивалентно существованию внутренних источников жидкости в выделенном объёме.

Для жидкости, находящейся в трещинах, имеем

. (2.10)

Для жидкости в пористых блоках

. (2.11)

Здесь q_1,2 - масса жидкости, поступающей из пористых блоков в трещины за единицу времени на единицу объёма с размерностью МL^-3T^-1.

Будем полагать, что q_1,2 пропорционально разности фильтрационных потенциалов первой и второй сред

q_1,2=Q (j₂ - j₁), (2.12)

где Q - коэффициент переноса, размерности L^-2.

Для чисто трещиноватого пласта считаем q_1,2=0 и тогда будем иметь только одно уравнение неразрывности для жидкости в системе трещин (в пористых блоках не содержится жидкость). При установившейся фильтрации жидкости в трещиновато-пористом пласте, когда во всём пласте существует только одно давление р₁=р₂=р получаем

(2.13)

Для чисто трещинного пласта

. (2.14)