Аналитическое исследование системы

Как уже отмечалось, этот метод исследования систем является самым общим.

Суть метода. Уравнения равновесия для определения опорных реакций исследуемой системы можно представить в виде:

[A]{X} = {B}, (1.6)

где [A] – матрица коэффициентов при неизвестных;

{X} – вектор-столбец неизвестных опорных реакций;

{B} – вектор-столбец нагрузки.

При этом для СОС любому вектору {B} однозначно соответствует единственный вектор {X}, что возможно только при условии: det [A] ¹ 0.

Учитывая, что в силу (1.5) СОС одновременно являются НС, можно сделать вывод, что необходимым и достаточным условием неподвижной системы будет:

det [A] ¹ 0. (1.7)

Наоборот, необходимым и достаточным условием подвижной системы является:

det [A] = 0. (1.8)

Таким образом, для кинематического анализа системы достаточно вычислить определитель матрицы соответствующей системы алгебраических уравнений. Но можно избежать даже этой процедуры, учитывая некоторые сложности которые она вызывает уже при четвертом порядке определителя.

Метод нулевой нагрузки. Рассмотрим однородную систему уравнений, соответствующую (1.6):

[A]{X} = {0}. (1.9)

Известно, что она имеет только нулевое решение, если det [A] ¹ 0, и наоборот – условием ненулевого решения будет: det [A] = 0.

Отсюда – следующее правило:

1) если система (1.9) имеет решение {X} = {0}, то соответствующая механическая система является неподвижной;

2) если система (1.9) имеет решение {X} ¹ {0}, то соответствующая механическая система является подвижной.

Пример 1.4. Выполнить кинематический анализ рамы (рис. 1.18).

Решение. Воспользуемся методом нулевой нагрузки, применив графический способ решения – см., например, [2], с. 53.

Из условия равновесия диска АЕ (рис. 1.19) следует, что реакции R_A и R_E направлены по прямой АЕ (аксиома 2).

Рис. 1.18

Рис. 1.19

Из условия равновесия диска EBF следует, что реакция R_F проходит через точку K, где пересекаются линии действия R¢_E = - R_E и R_B(теорема о трех силах).

Из условия равновесия диска FCG аналогично находим линию действия реакции R_G, проходящей вдоль прямой GL.

Наконец, рассмотрим диск DG . По аксиоме 2 реакция R_G = - R_D должна быть направлена вдоль прямой GD, соединяющей точки их приложения. С другой стороны, R¢_G= - R_Gдействует по прямой GL. Одновременно удовлетворить этим требованиям можно, лишь полагая R_G= 0, откуда следует, что все реакции равны нулю, а значит {X} = {0}исистема будет неподвижной. ·

Примечания

1. Подобно тому как СНС, которые мы рассмотрим в 4-й главе, могут быть статически неопределимыми внешним и внутренним образом, можно говорить о системах, изменяемых аналогично. Поэтому в общем случае вектор {X} в системе (1.6) должен содержать компоненты реакций не только внешних, но и внутренних связей.

2. Отметим, что в последнем примере 1.4 мы остаемся в рамках аналитического метода анализа геометрической изменяемости системы, несмотря на то, что при реализации метода нулевой нагрузки применялся графический способ определения реакций связей. Такой прием вполне оправдан, поскольку формальный подход потребовал бы вычисления определителя двенадцатого порядка.

3. Анализ системы уравнений (1.6), независимо от условия (1.5), позволяет получить полную характеристику механической системы, в том числе степень ее свободы и степень ее статической неопределимости.

4. При построении модели сооружения ее параметры определяются с некоторой степенью точности, поэтому опасность на практике представляют не только МИС, но и близкие к ним – у которых det [A]» 0.