Лабораторная работа №8 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ

Цель работы: Написать программу для минимизации функции одной переменной методом золотого сечения и функции двух переменных методами Хука–Дживса и градиентного спуска.

Теоретические основы

Одномерная минимизация

Метод золотого сечения

Одним из наиболее эффективных методов, в которых при ограниченном количестве вычислений f(x) достигается наилучшая точность, является метод золотого сечения. Он состоит в построении последовательности отрезков [а₀, b₀], [а₁, b₁], …, стягивающихся к точке пересечения графика функции f(x) с осью x. На каждом шаге, за исключением первого, вычисление значения функции f(x) проводится лишь один раз. Эта точка, называемая золотым сечением, выбирается специальным образом.

Рисунок 2 – Метод золотого сечения

Поясним сначала идею метода геометрически, а затем выведем необходимые соотношения. На первом шаге процесса внутри отрезка [а₀, b₀] (рис. 2а) выбираем две внутренние точки х₁и х₂и вычисляем значения целевой функции f(x₁) и f(x₂). Поскольку в данном случае , очевидно, что решение расположено на одном из прилегающих к x₁ отрезков [а₀, x₁] пли [x₁, x₂]. Поэтому отрезок [x₂, b₀] можно отбросить, сузив тем самым первоначальный интервал неопределенности.

Второй шаг проводим на отрезке [а₁, b₁] (рис. 2б), где а₁ = а₀, b₁= х₂. Нужно снова выбрать две внутренние точки, но одна из них (x₁) осталась из предыдущего шага, поэтому достаточно выбрать лишь одну точку х₃, вычислить значение f(х₃) и провести сравнение. Поскольку здесь , ясно, что решение находится на отрезке [х₃, b₁].Обозначим этот отрезок [а₂, b₂], снова выберем одну внутреннюю точку и повторим процедуру сужения интервала неопределенности. Процесс повторяется до тех пор, пока длина очередного отрезка [а_n, b_n] не станет меньше заданной величины .

Теперь рассмотрим способ размещения внутренних точек на каждом отрезке [а_k, b_k].Пусть длина интервала неопределенности равна l, а точка деления делит его на части l₁, l₂: . Золотое сечение интервала неопределенности выбирается так, чтобы отношение длины большего отрезка к длине всего интервала равнялось отношению длины меньшего отрезка к длине большего отрезка:

Из этого соотношения можно найти точку деления, определив отношение :

Поскольку нас интересует только положительное решение, то

Отсюда:

Поскольку заранее неизвестно, в какой последовательности (l₁и l₂ или l₂ и l₁)делить интервал неопределенности, то рассматриваются внутренние точки, соответствующие двум этим способам деления.

На рис. 3а точки деления x₁, x₂выбираются с учетом полученных значений для частей отрезка. В данном случае имеем:

После первого шага оптимизации получается новый интервал неопределенности – отрезок [а₁, b₁](рис. 2). Точка x₁делит этот отрезок в требуемом отношении, при этом

Вторая точка деления х₃ выбирается на таком же расстоянии от левой границы отрезка, т. е. . И снова интервал неопределенности уменьшается до размера:

Тогда координаты точек деления у и z отрезка.[a_k, b_k]на k+1–м шаге оптимизации (у < z):

При этом длина интервала неопределенности равна:

Процесс заканчивается при выполнении условия .

Многомерная минимизация

Метод градиентного спуска

Общая задача нелинейного программирования без ограничений состоит в минимизации функции , заданной во всем n–мерном евклидовом пространстве. Функция называется целевой функцией.

Как правило, численные методы нахождения экстремума состоят в построении последовательности векторов , удовлетворяющих условию: . Методы построения таких последовательностей называются методами спуска. В этих методах элементы последовательности вычисляются по формуле:

где – направление спуска; – длина шага в этом направлении.

Как известно, градиент функции в некоторой точке направлен в сторону наискорейшего локального возрастания функции. Следовательно, спускаться нужно в направлении, противоположном градиенту. Вектор, противоположный градиенту, называется антиградиентом. Выбирая антиградиент в качестве направления спуска, приходят к итерационному процессу вида:

, (2)

где

Все методы спуска, в которых вектор совпадает с антиградиентом, называются градиентными методами. Они отличаются друг от друга только способом выбора шага. Наиболее употребительны метод наискорейшего спуска и метод дробления шага.

В методе наискорейшего спуска величина определяется из условия

,

т.е. на каждом шаге решается одномерная задача минимизации. Геометрическая интерпретация этого метода достаточно проста (рис. 3). Заметим, что на двух последовательных шагах направления спуска ортогональны.

Если – ограниченная снизу, непрерывно дифференцируемая функция и для некоторой начальной точки множество также ограничено, то для метода наискорейшего спуска последовательность либо сходится к точке минимума при , либо достигает точки минимума за конечное число шагов.

Процесс (2) с дроблением шага протекает следующим образом. Выбираем некоторое начальное значение . Общих правил выбора нет: если есть информация о расположении точки минимума, то точку выбираем в этой области. Затем выбираем некоторое и на каждом шаге процесса (2) проверяем условие монотонности . Если это условие нарушается, то дробим до тех пор, пока монотонность не восстановится. Для окончания счета используем критерий:

В этом случае полагаем .

Здесь

Рисунок 3 – Метод градиентного спуска

Метод Хука–Дживса

Процедура Хука–Дживса представляет собой комбинацию исследующего поиска с циклическим изменением переменных и ускоряющего поиска по образцу.

Исследующий поиск. Для проведения исследующего поиска необходимо знать величину шага, которая может быть различной для разных координатных направлений и изменяться в процессе поиска. Исследующий поиск начинается в некоторой исходной точке. Если значение целевой функции в пробной точке не превышает значение в исходной точке, то шаг поиска рассматривается как успешный. В противном случае надо вернуться в предыдущую точку и сделать шаг в противоположном направлении с последующей проверкой значения целевой функции. После перебора всех n– координат исследующий поиск завершается. Полученную в результате точку называют базовой точкой.

Поиск по образцу. Поиск по образцу заключается в реализации единственного шага из полученной базовой точки вдоль прямой, соединяющей эту точку с предыдущей базовой точкой. Новая точка образца определяется в соответствии с формулой:

Как только движение по образцу не приводит к уменьшению целевой функции, точка фиксируется в качестве временной базовой точки и вновь проводится исследующий поиск. Если в результате получается точка с меньшим значением целевой функции, чем в точке , то она рассматривается как новая базовая точка . С другой стороны, если исследующий поиск неудачен, необходимо вернуться в точку и провести исследующий поиск с целью выявления нового направления минимизации. В конечном итоге возникает ситуация, когда такой поиск не приводит к успеху. В этом случае требуется уменьшить величину шага путем введения некоторого множителя и возобновить исследующий поиск. Поиск завершается, когда величина шага становится достаточно малой. Последовательность точек, получаемую в процессе реализации метода, можно записать в следующем виде:

– текущая базовая точка,

– предыдущая базовая точка,

– точка, построенная при движении по образцу,

– следующая (новая) базовая точка.

Приведенная последовательность характеризует логическую структуру поиска по методу Хука–Дживса.

Алгоритм метода:

1. Выбрать начальную базисную точку b₁ и шаг длиной h₁ для каждой переменной

2. Вычислить f(х) в базисной точке b₁ с целью получения сведений о локальном поведении функции f(х). Эти сведения будут использоваться для нахождения подходящего направления поиска по образцу, с помощью которого можно надеяться достичь большего убывания значения функции. Функция f(х) в базисной точке b₁, находится следующим образом:

а) Вычисляется значение функции f(b₁) в базисной точке b₁.

б) Каждая переменная по очереди изменяется прибавлением длины шага. Таким образом, мы вычисляем значение функции , где единичный вектор в направлении оси x₁. Если это приводит к уменьшению значения функции, то b₁ заменяется на . В противном случае вычисляется значение функции , и если ее значение уменьшилось, то b₁ заменяем на . Если ни один из проделанных шагов не приводит к уменьшению значения функции, то точка b₁ остается неизменной и рассматриваются изменения в направлении оси х₂, т. е. находится значение функции и т. д. Когда будут рассмотрены все n переменных, мы будем иметь новую базисную точку b₂.

в) Если , т. е. уменьшение функции не было достигнуто, то исследование повторяется вокруг той же базисной точки b₁, но с уменьшенной длиной шага. На практике удовлетворительным является уменьшение шага (шагов) в десять раз от начальной длины.

г) Если , то производится поиск по образцу.

3. При поиске по образцу используется информация, полученная в процессе исследования, и минимизация функции завершается поиском в направлении, заданном образцом. Эта процедура производится следующим образом:

а) Разумно двигаться из базисной точки b₂ в направлении , поскольку поиск в этом направлении уже привел к уменьшению значения функции. Поэтому вычислим функцию в точке образца:

В общем случае:

б) Затем исследование следует продолжать вокруг точки .

в) Если наименьшее значение на шаге 3б) меньше значения в базисной точке b₂ (в общем случае b_i+1), то получают новую базисную точку b₃ (b_i+2), после чего следует повторить шаг 3а). В противном случае, не производить поиск по образцу из точки b₂ (b_i+1), а продолжить исследования в точке b₂ (b_i+1).

4. Завершить этот процесс, когда длина шага (длины шагов) будет уменьшена до заданного малого значения.

Задание

1. Написать программу для минимизации функции ¦(x) методом золотого сечения;

2. Написать программу для минимизации функции ¦(x₁, х₂) методами Хука–Дживса и градиентного спуска.

Контрольные вопросы