Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій

Похідна неявної функції.

Нехай рівняння F (x; y) = 0 визначає у як неявну функцію від х. Надалі будемо вважати, що ця функція — диференційована.

Потрібно продиференціювати за змінною х обидві частини рівняння F (x; y) = 0, дістанемо рівняння першого степеня відносно Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru . З цього рівняння легко знайти Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru , тобто похідну неявної функції.

Приклад 1. Знайти Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru з рівняння Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru .

l Оскільки у є функцією від х, то у2 розглядатимемо як складну функцію від х, тобто Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru .

Диференціюємо по х обидві частини заданого рівняння, дістанемо Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru . Звідси Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru .

Приклад 2.

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

Диференціювання функцій, заданих у параметричній формі.

Нехай функція y від x задана у параметричній формі, тобто

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

Похідну Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru можна знайти, не знаючи явної залежності y від x.

Достатньо врахувати, що

1) Похідна Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru є частка від ділення двох диференціалів;

2) Форма диференціалів 1-го порядку не залежить від вибору аргументу.

Одержимо Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru ; Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru .

Відношення цих величин дає : Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru = Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

Для похідної Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru запишемо Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru = Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

Приклад.

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

Тема 5. Геометричний та фізичний зміст похідної

Геометричний зміст похідної

Дамо загальне означення дотичної. Розглянемо криву L і на ній точки M та M1 .

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

Пряму Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru , що проходить через ці точки називають січною. Нехай точка Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru , рухаючись вздовж кривої, наближається до точки М. Тоді січна повертатиметься навколо точки М, а довжина відрізка Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru прямуватиме до нуля.

Якщо при цьому і величина кута Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru прямує до нуля, то пряму МТ називають граничним положенням січної Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru , тобто дотичної до кривої в точці М.

З означення випливає, що існування дотичної не залежить, з якого боку точка Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru наближається до точки М.

Якщо січна Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru наближається до різних прямих, або взагалі не наближається ні до якої прямої, то М – точка ізлому і вважається, що в точці М дотичної немає.

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

М

Нехай крива задана рівнянням y=f(x) і має в точці М(х,у) не вертикальну дотичну. Розглянемо задачу про знаходження кутового коефіцієнта цієї дотичної.

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru Y

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

y+Δy Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru Δy

 
  Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru y M A

 
  Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

y=f(x)

               
    Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru
      Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru
 
 
    Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru
      Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru
 
 
    Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru
    Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru
    Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru
  Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru
 
 
 

α Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

T Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru 0 x

x Δx x+Δx

Надамо аргументу х приросту Δх: тоді значенню (х+Δх) відповідатимуть значення функції y+Δy = f(x+Δx) і точка Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru (х+Δх; y+Δx) на кривій.

Проведемо січну Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru і позначимо через φ кут, утворений цією січною з додатним напрямом осі Ох. Кутовий коефіцієнт січної дорівнює

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

Якщо Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru , то точка Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru прямує до точки М вздовж кривої, а січна Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru , повертаючись навколо точки М, переходить у дотичну МТ. Кут φ при цьому прямує до деякого граничного значення α.

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

Похідна Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru , знайдена від функції y=f(x) та обчислена у точці Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru , тобто Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru є кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції y=f(x) у точці з абсцисою Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru . Це геометричний зміст похідної.

Рівняння дотичної, яка проходить через точки Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru буде:

Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru

Фізичний зміст похідної

Нехай s = s (t) – закон прямолінійного руху. Тоді Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru висловлює миттєву швидкість руху в момент часу t0. Друга похідна Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій - student2.ru висловлює миттєве прискорення в момент часу t 0.

Взагалі похідна функції y = f (x) в точці x 0 висловлює швидкість зміни функції в точці x0 . Тобто швидкість протікання процесу, описаного залежністю y = f (x).

Тема 6. Асимптоти.

Наши рекомендации