Вивід математичної моделі повздовжнього руху літака

Отримувані загальні рівняння виявляються настільки складними, що, по суті, унеможливлюють проведення наочного аналізу. Тому в аеродинаміці літальних апаратів вводяться різні спрощуючі прийоми і припущення. Дуже часто виявляється доцільним розділити повний рух літака на подовжнє і бічне. Подовжнім називається рух з нульовим креном, коли вектор сили тяжіння і вектор швидкості літака лежать в його площині симетрії. Далі розглядатимемо тільки подовжній рух літака(мал. 1).

Цей розгляд вестимемо з використанням пов'язаної ОXYZ і напівпов'язаною ОXeYeZe систем координат. За початок координат обох систем береться точка, в якій розташований центр тяжіння літака. Вісь ОX пов'язаної системи координат проводиться паралельно хорді крила і називається подовжньою віссю літака. Нормальна вісь ОY перпендикулярна осі ОX і розташована в площині симетрії літака. Вісь ОZ перпендикулярна до осей ОX і ОY, а отже, і до площини симетрії літака. Вона називається поперечною віссю літака. Вісь ОXe напівпов'язаної системи координат лежить в площині симетрії літака і спрямована по проекції на неї вектору швидкості. Вісь ОYe перпендикулярна осі ОXe і розташована в площині симетрії літака. Вісь ОZe перпендикулярна до осей ОXe і ОYe.

Інші позначення, прийняті на рис. 1: – угол атаки, – угол тангажа, –угол наклона траектории, – вектор воздушной скорости, – подъемная сила, – сила тяги двигателей, – сила лобового сопротивления, – сила тяжести, – угол отклонения рулей высоты, – момент тангажа, вращающий самолёт вокруг оси ОZ.

, (1)

где – суммарный вектор внешних сил. Представим вектор скорости с использованием его модуля V и угла его поворота относительно горизонта:

.

Тогда производная вектора скорости по времени запишется в виде:

. (2)

З урахуванням цього рівняння подовжнього руху центру мас літака в напівпов'язаній системі координат(у проекціях на осі ОXe і ОYe) наберуть вигляду:

; (3)

. (4)

Рівняння обертання літака навколо пов'язаної осі OZ має вигляд:

, (5)

де J_z – момент інерції літака відносно осі OZ, M_z – суммарный вращающий момент относительно оси OZ.

Отримані рівняння повністю описують подовжній рух літака.

В соответствии с рис. 1, имеем:

, (6)

Где

– (7)

кутова швидкість обертання літака навколо поперечної осі OZ(кутова швидкість тангажа).

При оцінці якості керованості літака велике значення має перевантаження. Вона визначається як відношення сумарної сили(без урахування ваги), що діє на літак, до сили ваги літака. У подовжньому русі літака використовують поняття "Нормальне перевантаження". По ГОСТ 20058-80 вона визначається як відношення проекції головного вектору системи сил, що діють на літак, без урахування інерційних і гравітаційних сил, на вісь OY пов'язаної системи координат до твору маси літака на прискорення вільного падіння :

. (8)

Перехідні процеси по перевантаженню і кутовій швидкості тангажа визначають оцінку льотчиком якості керованості подовжнього руху літака.