Дробный факторный эксперимент

Для уменьшения числа опытов, т.е. чтобы сделать план более насыщенным, проводится дробный факторный эксперимент (ДФЭ). Проводится он в том случае, если нас интересует только линейная модель. Тогда подбирается ПФЭ, в котором число факторов и опытов меньше, чем в ПФЭ с исследуемым числом факторов k, но больше, чем число неизвестных коэффициентов регрессии. В выбранном ПФЭ в матрице планирования указываются эффекты взаимодействия.

Новый план для ДФЭ строится на основе выбранного плана ПФЭ, а вектор-столбцы факторов, которые превышают число факторов выбранного плана ПФЭ, заполняются в соответствии с вектор-столбцами выбранных эффектов взаимодействия. Например, необходимо построить более насыщенный план, чем при ПФЭ, для исследования объекта или процесса, зависящего от k = 3 факторов. При этом N = 8, а число неизвестных коэффициентов регрессии равно 4. Для проведения ДФЭ выбираем план ПФЭ для k = 2, который содержит 4 опыта и эффект взаимодействия (табл. 3.4).

Таблица 3.4 — ПФЭ типа 2²

Номер опыта	х0	х1	х2	х1 х2
	+ + + +	– + – +	– – + +	+ – – +

План ДФЭ приведен в табл. 3.5.

Таблица 3.5 — ДФЭ типа 2^3–1

Номер опыта	х0	х1	х2	х3
	+ + + +	– + – +	– – + +	+ – – +

Вектор-столбец х₃ приравниваем столбцу эффекта взаимодействия х₁ х₂. План получился насыщенным. Он содержит половину опытов ПФЭ и носит название полуреплики. Дробные реплики (или план ДФЭ) обозначаются следующим образом:

ДФЭ типа 2^k–p,

где k — общее число факторов;

p — число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия или дробность реплики;

(k – p) — число факторов в ПФЭ, к которому приравнивается дробная реплика.

Если р = 1, то имеем 1/2 реплика, р = 2 – 1/4 реплика, р = 3 – 1/8 реплика и т.д. (табл. 3.6) [15].

Таблица 3.6

Количество факторов	Дробная реплика	Условное обозначение	Количество опытов в ДФЭ	Количество опытов в ПФЭ
: :	1/2 реплика от 23 1/2 реплика от 24 1/2 реплика от 25 1/4 реплика от 25 1/4 реплика от 26 1/8 реплика от 26     1/256 реплика от 212	23–1 24–1 25–1 25–2 26–2 26–3     212–8

Чем больше факторов, участвующих в эксперименте, тем целесообразнее применять дробные реплики. Но применение дробных реплик приводит к снижению точности определения коэффициентов регрессии b_i, т.к. чем больше опытов, тем точнее можно вычислить коэффициенты.

В табл. 3.5 для дробного факторного эксперимента приравняли линейный фактор х₃ к эффекту взаимодействия х₁ х₂ (табл. 3.4):

х₃ = х₁× х₂.

Это соотношение называется генерирующим соотношением, поскольку оно генерирует дробную реплику 2^3–1.

Таких генерирующих соотношений может быть несколько, т.к. они определяются количеством линейных факторов, приравненных эффектам взаимодействия.

Если генерирующее соотношение умножить на х₃, то получим

где в левой части столбец имеет все значения +1.

Тогда

1 = х₁ х₂ х₃.

Это соотношение носит название определяющий контраст. Он определяет разрешающую способность дробной реплики. Разрешающая способность состоит в возможности нахождения коэффициентов уравнения регрессии b_i, являющихся несмешанными оценками теоретических коэффициентов регрессии b_i (b_i ®b_i).

Кроме несмешанных (независимых), оценки коэффициентов регрессии могут быть смешанными (зависимыми). Являются оценки смешанными или несмешанными зависит от совпадения или несовпадения знаков в вектор-столбцах матрицы. Так, при ПФЭ и линейной модели знаки столбцов в МПЭ (табл. 3.2) не совпадают. Значит, оценки будут несмешанными, т.е. b₀ ®b₀, b₁ ®b₁ и b₂ ®b₂.

При построении ДФЭ типа 2^3–1 (табл. 3.5) мы пренебрегли эффектами взаимодействия. Если ими пренебречь нельзя и они существенны, то МПЭ будет фактически иметь следующий вид (табл. 3.7).

В таблице 3.7 фактор х₃ приравнен эффекту взаимодействия (х₃=х₁×х₂) из таблицы 3.4. Как следует из таблицы 3.7, знаки столбцов из плана эксперимента и взаимодействий совпадают, например х₁и х₂× х₃. Это значит, что оценки коэффициентов будут смешанными, например b₁® b₁+ b₂₃.

Таблица 3.7 — ДФЭ типа 2^3–1

Номер опыта	х0	План эксперимента	Взаимодействия	y
х1	х2	х3	х1× х2	х1× х3	х2× х3	х1× х2× х3
	+ + + +	– + – +	– – + +	+ – – +	+ – – +	– – + +	– + – +	+ + + +	y1 y2 y3 y4

Определяющий контраст позволяет найти и другие смешанные оценки, т.е. найти столбцы с одинаковыми знаками.

Возьмем х₃= х₁× х₂и умножим на х₃, получим 1= х₁× х₂× х₃. Последовательно умножая определяющий контраст на независимые переменные, получаем систему смешивания дробной реплики, т.е. столбцы МПЭ, знаки которых совпадают:

х₁= × х₂× х₃ = х₂× х₃;

х₂= х₁× х₃;

х₃= х₁× х₂;

х₀= х₀× х₁× х₂× х₃.

Это значит, что оценки линейных коэффициентов уравнения регрессии

y = b₀+ b₁× x₁+ b₂× x₂+ b₃× x₃

будут смешанными, так как они определяются совместно с оценками для эффектов взаимодействия:

b₀ ® b₀+ b₁₂₃;

b₁ ® b₁ + b₂₃;

b₂ ® b₂ + b₁₃;

b₃ ® b₃ + b₁₂.

Что касается разрешающей способности дробной реплики: она тем выше, чем больше в определяющий контраст входит переменных. Например, при числе факторов N = 4 и дробной реплике типа 2^4–1 в качестве генерирующего соотношения следует брать х₄= х₁× х₂× х₃. В этом случае реплика будет называться главной, так как она обладает наибольшей разрешающей способностью. Это следует делать также, исходя из того, что обычно эффекты более высокого порядка менее значимы, чем эффекты взаимодействия низких порядков. Как показывает опыт [17], в радиоэлектронных устройствах тройными эффектами взаимодействия можно пренебречь. Это связано с самокомпенсацией на выходе устройства эффектов от того или иного соотношения между тремя и более первичными нормированными факторами в силу комбинаторного характера их взаимосвязей. Более того, в ряде случаев можно априори полагать незначительными и ряд парных взаимодействий, когда отклонения параметров схемных элементов от их номинальных значений малы.

Дробные реплики, в которых число опытов равно числу линейных коэффициентов регрессии, называются насыщенными. Однако стремление сделать дробную реплику насыщенной, т.е. провести минимальное число опытов, не всегда приводит к положительному результату в определении линейных коэффициентов регрессии, т.к. если линейная модель неадекватна, то эффекты взаимодействия будут заметно влиять на оценки линейных эффектов.