Численные методы вычисления

Определенных интегралов

Определенный интеграл

Численные методы вычисления - student2.ru (48)

с пределами интегрирования a и b можно трактовать как площадь фигуры (рисунок 20), ограниченной ординатами a и b, осью абсцисс х и графиком подынтегральной функции f(x).

 
  Численные методы вычисления - student2.ru

Рисунок 20 – Графическая интерпретация определенного интеграла

Определенный интеграл, у которого известна его первообразная F(x), вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

I = F(b) - F(a) .

Поэтому достаточно вычислить значения первообразной функции F(x) при x=a и x=b.

Численное интегрирование применяется, если невозможно аналитически записать первообразную F(x) или эта запись имеет очень сложный вид. Оно заключается в замене подынтегральной функции f(x) на отрезке [a; b] аппроксимирующей функцией.

Наиболее распределенными численными методами интегрирования являются: метод прямоугольника, метод трапеций и метод Симпсона [3-5]. Все эти методы являются приближенными.

Метод прямоугольников

Это самый простейший метод.

Идея метода: кривая подынтегральной функции f(x) заменяется ломаной линией, отрезки которой параллельны оси абсцисс.

Отрезок [a; b] разобьем на n равных частей. Расстояние между двумя соседними точками xi и xi+1 обозначим через h - шаг интегрирования. В полученных точках проведем ординаты, которые будут выступать в качестве сторон прямоугольников (рисунок 20). Есть три варианта этого метода.

Рассмотрим случай, когда стороной прямоугольника выступает левая ордината (рисунок 21а). Площадь любого прямоугольника равна

DSi = (xi+1 - xi) f(xi) = h f(xi). (49)

Тогда, значение определенного интеграла будет соответствовать сумме прямоугольников:

Численные методы вычисления - student2.ru , (50)

где h=(b-a)/n - шаг интегрирования;

n - число интервалов разбиения.

Рассмотрим случай, когда стороной прямоугольника выступает правая ордината (рисунок 21б). Тогда, формула для нахождения определенного интеграла примет вид:

Численные методы вычисления - student2.ru . (51)

Выражения (50) и (51) обеспечивают низкую точность значения интеграла. Для того, чтобы интегральная сумма мало отличалась от значения интеграла, число интервалов n должно быть достаточно велико. Для повышения точности также применяют следующее, в качестве стороны прямоугольника принимается ордината, соответствующая середине интервала разбиения (рисунок 21в). Тогда, определенный интеграл равен:

Численные методы вычисления - student2.ru , (52)

где Численные методы вычисления - student2.ru - середина интервала i.

Погрешность вычисления по методу прямоугольников e » h при h<<1.

       
  Численные методы вычисления - student2.ru   Численные методы вычисления - student2.ru

а б

 
  Численные методы вычисления - student2.ru

в

Рисунок 21 – Графическая интерпретация метода прямоугольников:

а) левых; б) правых; в) средних

Блок-схема алгоритма для вычисления значений определенного интеграла методом средних прямоугольников приведена на рисунке 22.

Численные методы вычисления - student2.ru

Рисунок 22 – Блок схема метода средних прямоугольников

Метод трапеций

Идея метода: участок интегрирования [a; b] разбивается на n равных частей. Во всех точках деления проводятся ординаты, и каждая из полученных криволинейных трапеций заменяется прямолинейной трапецией. Тогда приближенной значение интеграла будет равно сумме площадей прямоугольных трапеций (рисунок 23).

При равных значениях шага интегрирования h метод трапеций обеспечивает большую точность, чем метод прямоугольников, поскольку подынтегральная функция f(x) аппроксимируется более точно.

Сторонами трапеции будут две соседние ординаты yi-1 и yi, участок оси ОХ длиной h и хорда кривой, тогда площадь трапеции равна

Численные методы вычисления - student2.ru . (53)

Суммирование выражений (53) на участке интегрирования [a; b] приводит к значению определенного интеграла:

Численные методы вычисления - student2.ru . (54)

 
  Численные методы вычисления - student2.ru

Рисунок 23 – Графическая интерпретация метода трапеций

Погрешность интегрирования по методу трапеций при h<<1 составляет e»h2 .

Блок-схема алгоритма для нахождения значений определенного интеграла методом трапеций приведена на рисунке 24.

Численные методы вычисления - student2.ru

Рисунок 24 – Блок-схема метода трапеций

Метод Симпсона (метод парабол)

Идея метода: подынтегральная кривая f(x) аппроксимируется параболами. Интервал интегрирования [a; b] разбивается на n=2m равных отрезков (их число должно быть четным) (рисунок 25).

На паре соседних отрезков, например, в точке x0=a, кривая y=f(x) заменяется параболой y=ax2+bx+c, коэффициенты которой подбираются так, что она проходит через точки с ординатами y0, y1, y2 .

Численные методы вычисления - student2.ru

Рисунок 25 – Графическая интерпретация метод Симпсона

Тогда, площадь фигуры, ограниченной параболой можно определить по формуле:

Численные методы вычисления - student2.ru . (55)

Суммируя DSi получим формулу Симпсона для вычисления определенного интеграла:

Численные методы вычисления - student2.ru . (56)

Метод Симпсона дает более точное приближение интегральной суммы к интегралу и при равных значениях шага интегрирования h обеспечивает большую точность, чем методы прямоугольников и трапеций. Погрешность метода при h<<1 составляет e»h3… h4.

Блок-схема алгоритма нахождения значений определенного интеграла методом Симпсона приведена на рисунке 26.

 
  Численные методы вычисления - student2.ru

Рисунок 26 – Блок-схема метода Симпсона

Наши рекомендации