Работа и кинетическая энергия

Энергия — универсальная мера различ­ных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения мате­рии связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнит­ную, ядерную и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холод­ное), в других — переходит в иную фор­му (например, в результате трения меха­ническое движение превращается в тепло­вое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы

количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействую­щими телами, в механике вводится по­нятие работы силы.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, которая составляет некоторый угол а с на­правлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы F_s на направление перемещения (F_s =Fcosa), умноженной на перемещение точки приложения силы:

A = F_ss = F_scosa. (11.1)

В общем случае сила может изменять­ся как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (11.1) пользоваться не­льзя. Если, однако, рассмотреть элемен­тарное перемещение dr, то силу F можно считать постоянной, а движение точки ее

приложения — прямолинейным. Элемен­тарной работойсилы F на перемещении drназывается скалярная величина

dА =Fdr = Fcosa•ds=F_sds,

где а — угол между векторами F и dr; ds = |dr| — элементарный путь; F_s — про­екция вектора F на вектор dr (рис. 13).

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сум­ма приводится к интегралу

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы F_s от пути s вдоль траектории 1—2. Пусть эта зависимость представлена графически (рис. 14), тогда искомая работа А определяется на графи­ке площадью закрашенной фигуры. Если, например, тело движется прямолинейно, сила F=const и a=const, то получим

где s — пройденный телом путь (см. также формулу (11.1)).

Из формулы (11.1) следует, что при a<p/2 работа силы положительна, в этом случае составляющая F_s совпадает

по направлению с вектором скорости дви­жения v (см. рис. 13). Если a>p/2, то работа силы отрицательна. При a=p/2 (сила направлена перпендикулярно пере­мещению) работа силы равна нулю.

Единица работы — джоуль(Дж): 1 Дж — работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м (1 Дж = 1 Н•м).

Чтобы охарактеризовать скорость со­вершения работы, вводят понятие мощ­ности:

N=da/dt. (11.3)

За время dt сила F совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени

N=Fdr/dt=Fv

т. е. равна скалярному произведению век­тора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N — величина скалярная.

Единица мощности — ватт(Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

Кинетическая энергиямеханической системы — это энергия механического движения этой системы.

Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает рабо­ту, а энергия движущегося тела возраста­ет на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, кото­рый тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела, т. е.

dA= dT.

Используя второй закон Ньютона F=mdv/dt

и умножая обе части равен­ства на перемещение dr, получим

Fdr =m(dv/dt)dr=dA

Таким образом, тело массой т, движущее­ся со скоростью v, обладает кинетической энергией

Т = тv²/2. (12.1)

Из формулы (12.1) видно, что кинети­ческая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее дви­жения.

При выводе формулы (12.1) предпола­галось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать за­коны Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг отно­сительно друга, скорость тела, а следова­тельно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетиче­ская энергия зависит от выбора системы отсчета.