Метод преобразования (свертки) схемы

Если схема электрической цепи содержит только один источник энергии (E или J), то пассивная часть схемы может быть преобразована (свернута) к одному эквивалентному эле­менту R_Э( рис. 7).

Свертка схемы начинается с самых удаленных от источника ветвей, про­водится в не­сколько этапов до достижения полной свертки. После полной свертки схемы по закону Ома определяется ток источника: . Токи в ос­тальных элементах исходной схемы находятся в процессе об­ратной развертки схемы. Такой метод расчета токов получил название метода последова­тельного преобразования (свертки) схемы.

При применении данного метода возможны следующие виды преобразо­ваний.

1) Последовательное преобразование заключается в замене нескольких элементов, включенных последовательно, одним эквивалентным (рис. 8).

Несложно доказать, что справедливы следующие соотношения:

и

2) Параллельное преобразование состоит в замене нескольких элемен­тов, вклю­чен­ных параллельно, одним эквивалентным (рис. 9).

Несложно доказать, что справедливы следующие соотношения:

и

Для двух элементов: и

3) Взаимное преобразование схем звезда-треугольник (рис. 4) возни­кает при свертке сложных схем.

Условием эквивалентности двух схем являются равенства для них токов (I₁, I₂, I₃), на­пряжений (U₁₂, U₂₃, U₃₁) и входных сопротивлений (R₁₂, R₂₃, R₃₁) и соответственно входных проводимостей ( G₁₂, G₂₃, G₃₁).

Приравняем входные сопротивления для обеих схем со стороны двух произвольных ветвей при отключенной третей (рис. 10):

(1)

(2)

(3)

Сложим почленно уравнения (1) и (3) и вычтем из суммы уравнение (2), получим:

, по аналогии: , .

Приравняем входные проводимости для обеих схем со стороны произ­вольной вер­шины и двух других вершин, замкнутых накоротко (рис. 11):

(4)

(5)

(6)

Сложим почленно уравнения (4) и (5) и вычтем уравнение (6), получим:

, по аналогии: , .

В последних уравнениях заменим проводимости на соответствующие им сопротивле­ния , получим:

; ; .

При наличии полной симметрии соотношение между параметрами экви­валентных схем составляет: .

4) Замена параллельных ветвей эквивалентной ветвью (рис. 12) осу­ществляется со­гласно теореме об эквивалентном генераторе.

Напряжение холостого хода U_xxaв=E_Э определяется по методу двух уз­лов:

.

Эквивалентное входное сопротивление находится методом свертки схемы:

.

5) Перенос источника ЭДС через узел схемы: источник ЭДС Е можно перенести че­рез узел во все ветви, отходящие от узла (рис. 13а, б.).

6) Привязка источника токак произвольному узлу согласно схеме(рис. 14а, б):

7) Взаимное преобразование схемс источником напряжения и систоч­ником тока согласно схеме(рис. 15а, б):

Схемы эквивалентны при равенстве для обеих напряжений U и токов I на на­грузке:

.

Сравнивая левые и правые части равенства, получим соотношения между парамет­рами эквивалентных схем:

.

Метод законов Кирхгофа

Теоретическая база метода: 1-й и 2-й законы Кирхгофа.

1-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов ветвей в узле схемы равна нулю ( ).

2-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений в произ­вольном кон­туре схемы равна алгебраической сумме ЭДС ( ).

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме (рис. 16) и оп­ределить токи в ветвях, напряжения на отдельных элементах, мощности источников и при­емников энергии. Задана схема цепи и параметры ее отдельных элементов (E₁, E₂, J₁, J₁, J₂, R₁, R₂, R₃, R₄, R₅).

Анализируем структуру схемы: схема содержит n=3 (0, 1, 2) узлов и m=5 ветвей с не­определенными токами. В ветвях с источниками тока J токи оп­ре­делены источниками. Об­щее число уравнений должно быть равно числу опре­деляемых токов “m”.

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Задаются (произвольно) положительными направлениями токов в вет­вях схемы (I₁, I₂, I₃, I₄, I₅).

2) Составляется (n-1) уравнений для узлов по первому закону Кирхгофа. Уравнение для последнего n-го узла является зависимым (оно может быть по­лучено путем сложения первых (n-1) уравнений).

3) Не­достающие m-(n-1) уравнений составляются по 2-му закону Кирх­гофа. Пра­вило выбора контуров для составления уравнений: каждый после­дующий контур должен включать в себя хотя бы одну новую ветвь, не охвачен­ную предыдущими уравнениями. Число неза­висимых контуров для схемы лю­бой сложности не может быть больше числа m-(n-1).

Ниже приведена система уравнений Кирхгофа для схемы рис. 16, состоя­щая из m=5 уравнений, из которых n-1=2 составлены для узлов 1 и 2 по 1-му закону Кирхгофа и m-(n-1)=3 составлены для контуров К₁, К₂, К₃ по 2-му за­кону Кирхгофа:

- узел 1,

- узел 2,

- контур К₁,

- контур К₂,

- контур К₃.

4) Система уравнений приводится к матричной форме, составляются мат­рицы ко­эф­фициентов:

;

5) Система уравнений решается на ЭВМ по стандартной программе для решения ли­нейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициен­тами (SU1), в резуль­тате чего определяются неизвестные токи I₁, I₂, I₃, I₄, I₅. От­рицательные результаты, по­лучаемые для некоторых токов, означают, что их действительные (физические) направ­ления не соот­ветствуют направлениям, принятым в начале расчета.

6) Определяются напряжения на отдельных элементах схемы ( ), мощно­сти источников ЭДС ( ),источников тока ( ) и прием­ников ( ). При этом мощности приемников энергии всегда положи­тельны, а мощности источников энергии могут быть отрицательными, если со­множители в произведениях и не совпадают по направлению.

4. Метод контурных токов

Теоретическая база метода контурных токов – 2-ой закон Кирхгофа в со­четании с принципом наложения. Предполагают, что в каждом элементарном контуре-ячейке схемы протекает «свой» контурный ток I_k, а действительные токи ветвей получаются по принципу наложения контурных токов как их ал­гебраические суммы. В качестве неизвестных величин, подлежащих определе­нию, в данном методе выступают контурные токи. Общее число неиз­вестных составляет m-(n-1).

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 11. Пара­метры отдельных элементов схемы заданы.

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Задаются (произвольно) положительными направлениями контурных токов в кон­турах-ячейках схемы(I_к1 , I_к2 , I_к3 ). Контуры-ячейки следует выби­рать так, чтобы они не включали в себя ветви с источниками тока. Ветви с ис­точниками тока J образуют свои кон­туры с заданными токами (J₁, J₂).

2) Составляются m-(n-1) уравнений по 2-му закону Кирхгофа для вы­бранных конту­ров-ячеек с контурными токами I_к1, I_к2, I_к3. В уравнениях учиты­ваются падения напряжений как от собственного контурного тока, так и от смежных контурных токов.

Ниже приведена система контурных уравнений для схемы рис. 17:

В обобщенной форме система контурных уравнений имеет вид:

Здесь введены следующие обозначения:

R₁₁= R₁ +R₄; R₂₂ = R₂ +R₅ и т. д. – собственные сопротивления контуров, равные сумме сопротивлений всех элементов контура;

R₁₂ = R₂₁ = 0 ; R₂₃ = R₃₂ = -R₅ и т. д. – взаимные сопротивления между двумя смежными контурами, они положительны – если контурные токи в ветви совпадают, и отрицательны – если контурные токи в ветви направлены встречно, всегда отрицательны – если все контур­ные токи ориентированы оди­наково (например, по часовой стрелке), равны нулю – если кон­туры не имеют общей ветви;

E₁₁ = E₁ + J₁R₄, E₂₂ = -E₂, E₃₃ = - E₃ +J₂R₃ и т. д. – контурные ЭДС, равные алгебраиче­ской сумме слагаемых E_nn = SE + SJR от всех источников контура.

Система контурных уравнений в матричной форме:

или в сокращенно ,

где - матрица контурных сопротивлений, - матрица контурных токов, - мат­рица контурных ЭДС.

3) Система контурных уравнений решается на ЭВМ по стандартной про­грамме для решения систем линейных алгебраических уравнений с веществен­ными коэффициентами (SU1), в результате чего определяются неизвестные контурные токи I_к1, I_к2, I_к3.

4) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной схемы (рис. 1) (I₁, I₂, I₃, I₄, I₅). Токи ветвей определяются по принципу наложе­ния как алгебраические суммы контурных токов, протекающих в данной ветви.

I₁ = I_к1 - J₁; I₂ = -I_к2; I₃ = -I_к3 – J₂; I₄ = I_к1 – I_k3; I₅ = -I_к2 + I_k3 .

5) При необходимости определяются напряжения на отдельных элемен­тах (U_k = I_kR_k), мощности источников энергии (P_Ek = E_kI_k, P_Jk = U_k J_k) и приемни­ков энергии (P_k = I_k² ×R_k).

Метод узловых потенциалов

Теоретическая база метода узловых потенциалов – 1-ый закон Кирхгофа в сочетании с потенциальными уравнениями ветвей. В этом методе потенциал одного из узлов схемы при­нимают равным нулю, а потенциалы остальных (n-1) узлов считают неизвестными, подле­жащими определению. Общее число неиз­вестных составляет (n-1).

Рассмотрим обобщенную ветвь некоторой сложной схемы (рис. 18).

Свяжем потенциалы концов ветви (узлов) между собой через падения напряжений на отдельных участках:

или

Уравнение, связывающее потенциалы конечных точек ветви через паде­ния напряже­ний на ее отдельных участках, называется потенциальным уравне­нием ветви.

Из потенциального уравнения ветви могут быть определены ток ветви и напряжение на резисторе:

, .

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 19. Пара­метры отдельных элементов схемы заданы.

Принимаем потенциал узла 0 равным нулю (j₀ = 0), а потенциалы узлов 1 и 2 (j₁ и j₂) будем считать неизвестными, подлежащими определению.

Зададимся положительными направлениями токов в ветвях схемы I₁, I₂, I₃, I₄, I₅. Со­ставим потенциальные уравнения ветвей и выразим из них токи ветвей:

I₁ = (j₁ – j₀ + E₁ )/ R₁

I₂ = (j₂ – j₀ + E₂ )/ R₂

I₃ = (j₁ – j₀ + E₃ )/ R₃

I₄ = (j₀ – j₁ )/ R₄

I₅ = (j₀ - j₂ )/ R₅

Составим (n-1) уравнение по 1-му закону Кирхгофа для узлов 1 и 2:

-I₁ – I₃ + I₄ – J₁ – J₂ = 0

-I₂ + I₃ + I₅ + J₂ =0

Подставим значения токов из потенциальных уравнений в уравнения 1-го закона Кирхгофа. После приведения коэффициентов получим систему узловых уравнений:

В обобщенной форме система узловых уравнений имеет вид:

Здесь введены следующие обозначения:

G₁₁ =1/R₁ +1/R₃ +1/R₄; G₂₂ =1/R₂ +1/R₃ +1/R₅ и т.д. – собственные прово­димости узлов, равные суммам проводимостей всех ветвей, сходящихся в дан­ном узле, всегда положи­тельны;

G₁₂ = G₂₁ = 1/R₃; G_nm = G_mn– взаимные проводимости между смежными узлами (1 и 2, m и n), равные сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы, всегда отрицательны;

J₁₁ = - E₁ /R₃ – E₃ /R₃ – J₁; J₁₁ =- E₂ /R₂ – E₃ /R₃ + J₁ и т.д. – узловые токи уз­лов, равные алгебраической сумме слагаемых E/R и J от всех ветвей, сходя­щихся в узле (знак ”+”, если источник действует к узлу, и знак “-” , если источ­ник действует от узла).

Система узловых уравнений в матричной форме:

или сокращенно ,

где - матрица узловых проводимостей, - матрица узловых по­тенциа­лов, - матрица узловых токов.

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Принимают потенциал одного из узлов схемы равным нулю, а потен­циалы осталь­ных (n-1) узла считают неизвестными, подлежащими определе­нию.

2) Руководствуясь обобщенной формой, составляют (n-1) уравнение для узлов с неиз­вестными потенциалами.

3) Определяются коэффициенты узловых уравнений и составляются их матрицы.

4) Система узловых уравнений решается на ЭВМ по стандартной про­грамме для ре­шения систем линейных алгебраических уравнений с веществен­ными коэффициентами (SU1), в результате чего определяются неизвестные по­тенциалы узлов j₁, j₂, …

5) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной схемы I₁, I₂ , I₃, I₄, I₅. Токи ветвей определяются из потенциальных уравнений ветвей через потенциалы узлов j₁, j₂, ….

6) При необходимости определяются напряжения на отдельных элемен­тах (U_k = I_kR_k), мощности источников энергии (P_Ek = E_kI_k, P_Jk = U_k J_k) и приемни­ков энергии (P_k = I_k² ×R_k).

Метод двух узлов

Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов при числе узлов в схеме n = 2 (рис. 20).

Принимаем j₀ = 0, тогда уравнение для узла 1 по методу узловых потен­циалов будет иметь вид: j₁G₁₁ = J₁₁, откуда следует непосредственное опреде­ление напряжения между уз­лами схемы:

- уравнение метода двух узлов.

Применительно к схеме рис. 20 данное уравнение примет конкретную форму: