Решение системы линейных уравнений

методом Гаусса

Вначале одно предварительное замечание. Применяя метод Гаусса, приходится выполнять такие преобразования системы: 1) переставлять местами два уравнения; 2) умножать обе части какого-нибудь уравнения системы на одно и то же число, отличное от нуля; 3) обе части одного из уравнений системы, умноженные на одно и то же число, вычитать из соответствующих частей некоторого другого уравнения системы. Нетрудно показать, что система, полученная в результате этих преобразований, будет эквивалентна исходной.

Перейдем теперь к изложению методом Гаусса, который называется также методом последовательного исключения неизвестных.

Пусть дана произвольная система линейных уравнений

(1)

Предположим, что а₁₁≠0 (в противном случае пришлось бы переставить два уравнения: ведь какой-нибудь из коэффициентов при x₁ отличен от 0). С помощью 1-го уравнения исключим неизвестное x₁ из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого вычтем из i-го уравнения первое уравнение, умноженное на а_і1/a₁₁ , i=2,3,…,m. В результате придем к новой системе, эквивалентной исходной:

(2)

Далее будем преобразовывать систему (2), причем 1-е уравнение мы не будем трогать совсем и подлежащей преобразованиям будем считать лишь часть этой системы, состоящую из всех уравнений, кроме первого. При этом мы считаем, что среди этих уравнений нет таких, все коэффициенты левых частей которых равны нулю: такие уравнения мы выбросили бы, если бы и их свободные члены были равны нулю, а в противном случае мы уже доказали бы несовместимость нашей системы. Таким образом, среди коэффициентов есть отличные от нуля; для определенности примем, что (в противном случае пришлось бы переставлять уравнения или неизвестные). С помощью 2-го уравнения системы (2) исключим неизвестное x₂ из всех уравнений системы (2), начиная с третьего. Для этого вычтем из j-го уравнения второе, умноженное на . Придем к следующей системе, эквивалентной системе (2), а значит (1):

(3)

Наша система содержит теперь p уравнений, p≤m, так как некоторые уравнения оказались, возможно, отброшенными. В дальнейшем подлежит преобразованиям, аналогично уже поделанным, часть полученной системы, содержащей все уравнения, кроме двух первых.

Когда остановится этот процесс последовательного исключения неизвестных?

Если мы придем к такой системе, одно из уравнений которой имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты левой части равны нулю, то, как мы знаем, наша исходная система несовместна.

Если же таких уравнений не встретится, то процесс исключения закончится не позже чем на (m–1)-ом шаге. Обозначим через k – число уравнений, которые останутся в системе после завершения процесса исключения неизвестных. Возможны случаи: k=n, k<n, k>n.

В случае, когда k=n получим так называемую “треугольную” систему

(4)

у которой в каждом последующем уравнении ровно на одно неизвестное меньше, чем в предыдущем. Из последнего уравнения мы получаем вполне определенное значение для неизвестного x_n. Подставив его в предпоследнее уравнение, мы найдем однозначно определенное значение для неизвестного x_n-1. Продолжая так далее, мы найдем, что система (4), а поэтому и система (1) обладают единственным решением, т.е. совместна и определена.

Пусть теперь k<n. Система, полученная после завершения процесса исключения, имеет так называемую “трапецеидальную” форму:

(5)

Назовем неизвестные x_k+1, x_k+2,…,x_n свободными, придадим им произвольные числовые значения и перенесем члены, содержащие их, в правые части уравнений. Мы получим систему “треугольной” формы (4), из которой однозначно определяется неизвестные x₁, x₂,…,x_k. Так как значения для свободных неизвестных можно выбирать бесконечным числом различных способов, то наша система (5) и, следовательно, система (1) будут совместными, но неопределенными. Легко проверить, что указанным здесь методом будут найдены все решения системы (1).

Третий случай, когда k>n кажется возможным лишь первый момент. Система имеет вид, получающийся приписыванием к системе (4) еще нескольких уравнений, содержащих лишь неизвестное x_n. В действительности, однако, в этом случае преобразования просто не доведены до конца: так как , то из всех уравнений, начиная с (n+1)-го, неизвестное x_n может быть исключено.

Итак, подведем итоги. Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система будет несовместной, если в процессе исключения неизвестных мы получим уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля; Если же такого уравнения мы не встретим, то система будет совместной. Совместная система будет определенной, если приводится к треугольному виду (4) (число оставшихся уравнений равно числу неизвестных), и неопределенной, если приводится к трапецеидальному виду (5) (число оставшихся уравнений меньше числа неизвестных).

Замечание. При практическом применении метода Гаусса следует выписать основную матрицу системы и, приписав к ней столбец свободных членов, получить так называемую расширенную матрицу системы. Все преобразования выполняют над строками этой матрицы. Для удобства столбец свободных членов можно отделить вертикальной чертой от остальных столбцов матрицы.

Пример. Решить систему

Решение. Подвергаем преобразованиям расширенную матрицу этой системы.

Краткие пояснения. 1-й шаг: первую строку вычитаем из третьей. 2-й шаг: вторую строку умножаем на 5 и вычитаем из третьей, а также умножаем на 7 и прибавляем к четвертой. 3-й шаг: третью строку умножаем на 2 и прибавляем к четвертой. 4-й шаг: отбрасываем четвертую строку, сплошь состоящую из нулей, и делим третью строку на 2. Мы приходим, следовательно, к системе:

В качестве свободного неизвестного можно принять любое из неизвестных х₃или х₄. Пусть х₄=α. Тогда из 3-го уравнения х₃=6+2α, из 2-го получаем х₂=3+α, а из первого х₁= –8. Итак, общий вид решения заданной системы:

(–8; 3+α; 6+2α; α), где α – произвольное число.