Кинематическое уравнение вращательного движения материальной точки

где j – угол поворота; w_z – проекция угловой скорости на ось вращения.

Если w_z=const, то j=w_zt.

Если угловое ускорение e=const, то где w₀ – начальная угловая скорость. Угловая скорость при таком вращении w=w₀+et.

Ускорение в плоском криволинейном движении

Рис. 1.1

, или ,

где – скорость изменения модуля скорости (см. рис. 1.1).

Сопоставление уравнений поступательного и вращательного движения показано в табл. 1.

Таблица 1

Поступательное движение	Вращательное движение
S, x	φ
υ	ω
aτ	ε
ux=u0x+axt	wz=w0z+ezt
2axsx=ux2–u0x2	2ezjz=wz2–w0z2

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Заряд электрона e=1,6×10^-19 Кл

Масса электрона m=9,1×10^{-31 кг}

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с²

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Что изучает механика как один из разделов физики? Каково содержание: а) ньютоновской; б) релятивистской; в) квантовой механики?

2. Почему при изучении реальных физических явлений и объектов приходится использовать модельные представления и абстрагированные понятия? Дайте определение: а) материальной точке (частице); б) системе материальных точек; в) абсолютно твердому телу.

3. Каково содержание понятий пространства и времени в классической механике? Что означают понятия "однородность и изотропность пространства'', "однородность времени"?

4. Какие существуют способы описания движения материальной точки? Что представляет собой система отсчета, система координат? Что называется радиус-вектором ?

5. Покажите, что задание кинематического закона движения в координатной форме х=х (t), у=у (t), z=z (t) эквивалентно заданию его в векторной форме , где х, у, z – декартовы координаты положения материальной точки, – ее радиус-вектор. Каковы преимущества векторного описания движения?

6. Дайте определение кинематических величин: а) перемещения ; б) скорости ; в) ускорения . В каких единицах измеряются эти величины? Как ориентированы векторы скорости и ускорения относительно траектории и друг друга?

7. Частица движется по закону где u₀ и g – известные постоянные; – орт координатной оси z. Найдите скорость частицы и ее ускорение , а также их проекции и как функции времени.

8. Ускорение движущейся частицы где A – известная постоянная; – орт координатной оси х. В момент времени t=0 х=x₀ и u_x=u₀, где х₀ и u₀ – известные постоянные (начальные условия). Найдите проекцию скорости и координату x как функции времени.

9. Какое движение абсолютно твердого тела называется: а) поступательным; б) вращательным? Приведите примеры таких движений.

10. Что называется тангенциальным а_t и нормальным а_n ускорениями? Чему они равны? От чего зависит угол между векторами скорости и полного ускорения движущейся материальной точки?

11. Какие векторы называют аксиальными? Дайте определение: а) угла поворота твердого тела; б) угловой скорости ; в) углового ускорения относительно неподвижной в пространстве оси вращения. В каких единицах измеряются эти величины?

12. Колесо вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс. Обладает ли любая точка на ободе тангенциальным и нормальным ускорениями, если вращение происходит: а) с постоянной угловой скоростью; б) с постоянным угловым ускорением? Изменяются ли при этом модули этих величин?

ЗАДАЧИ ГРУППЫ А

1.(1.25) Зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением s=A+Bt+Ct²+Dt³, где С=0,14 м·с^-2 и D=0,01 м·с^-3. Через какое время t после начала движения тело будет иметь ускорение a=1 м·с^-2? Найти среднее ускорение <a> тела за этот промежуток времени.

Ответ: t=12 c, <a>=0,64 м·с^-2.

2.(1.27) Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через время t=0,5 с на расстоянии l=5 м по горизонтали от места бросания. С какой высоты h брошен камень? С какой скоростью u_x он брошен? С какой скоростью u он упадет на землю? Какой угол j составит вектор скорости камня с горизонтом в точке его падения на землю.

Ответ: h=1,22 м; u_x=10 м·с^-1; u=11,1 м·с^-1; j=26°12´.

3.(1.30) Камень брошен горизонтально со скоростью u₀=15 м·с^-1. Найти нормальное а_n и тангенциальное а_t ускорения камня через время t=1 с после начала движения.

Ответ: а_t=5,4 м·с^-2; а_n=8,2 м·с^-2.

4.(1.31) Камень брошен горизонтально со скоростью u₀=10 м·с^-1. Найти радиус кривизны R траектории камня через время t=3 с после начала движения.

Ответ: R=305 м.

5.(1.39) С башни высотой h₀=25 м брошен камень со скоростью u₀=15 м·с^-1 под углом a=30° к горизонту. Какое время t камень будет в движении? На каком расстоянии l от основания башни он упадет на землю? С какой скоростью u он упадет на землю? Какой угол j составит траектория движения камня с горизонтом в точке его падения на землю?

Ответ: t=3,16 c; l=41,1 м; u=26,7 м·с^-1; j=61°.

6.(1.49) Вентилятор вращается с частотой n=900 об·мин^-1. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N=75 об. Какое время t прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

Ответ: t=10 c.

7.(1.52) Точка движется по окружности радиусом R=20 см с постоянным тангенциальным ускорением а_t. Найти тангенциальное ускорение а_t точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки u=79,2 см·с^-1.

Ответ: а_t=0,1 м·с^-2.

8.(1.55) Колесо радиусом R=10 см вращается с угловым ускорением e=3,14 рад·с^-2. Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: а) угловую скорость w; б) линейную скорость u; в) тангенциальное ускорение а_t; г) нормальное ускорение а_n; д) полное ускорение а; е) угол a, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса.

Ответ: а) w=3,14 рад·с^-1; б) u=0,314 м·с^-1; в) a_t=0,314 м·с^-2; г) a_n=0,986 м·с^-2; д) a=1,03 м·с^-2; е) a=17°46^´.

9.(1.57) Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением s=A–Bt+Ct², где В=2 м·с^-1 и С=1 м·с^-2. Найти линейную скорость u точки, ее тангенциальное а_t, нормальное а_n и полное а ускорения через время t=3 с после начала движения, если известно, что при t¢=2 с нормальное ускорение точки а¢_n=0,5 м·с^-2.

Ответ: u=4 м·с^-1; a_t=2 м·с^-2; a_n=2 м·с^-2; a=2,83 м·с^-2.

10.(1.64) Во сколько раз нормальное ускорение а_n точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, больше ее тангенциального ускорения а_t для того момента, когда вектор полного ускорения точки составляет угол a=30⁰ с вектором ее линейной скорости?

Ответ: a_n/a_t=0,58.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГРУППЫ А

1.(1.25) Зависимость пройденного пути s от времени t дается уравнением , где м·c^-2, м·c^-3. Через какое время t после начала движения тело будет иметь ускорение м·c^-2? Найти среднее ускорение тела за этот промежуток времени.

м·c-2 м·c-3 а=1 м·c-2 =?

Решение. .

=12 с. ,

.

= м·c^-2.

Ответ: t=12 c, <a>=0,64 м·с^-2.

2.(1.27) Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через время t=0,5 с на расстоянии l=5 м по горизонтали от места бросания. С какой высоты h брошен камень? С какой скоростью он брошен? С какой скоростью он упадет на землю? Какой угол φ составит вектор скорости камня с горизонтом в точке его падения на землю?

t=0,5 с l=5 м		Решение. Если пренебречь силой сопротивления воздуха, то вдоль оси OY камень движется равноускоренно без начальной скорости, а вдоль оси OX – равномерно. (1), а координата – по закону (2). При ,
h=? =? =? φ=?

=0. Из (1) . . , , . . =10 м·с^-1, =11,1 м·с^-1, =0,49, .

Ответ: h=1,22 м; u_x=10 м·с^-1; u=11,1 м·с^-1; j=26°12´.

3.(1.30) Камень брошен горизонтально со скоростью м·с^-1. Найти нормальное и тангенциальное ускорения камня через время t=1 c после начала движения.

м·с-1 t=1 c		Решение.Если пренебречь силой сопротивления воздуха, то камень движется вдоль оси OX с ускорением , а вдоль оси OY равномерно . Полное ускорение камня все время направлено вертикально вниз и равно ускорению
=? =?

свободного падения , . Из рисунка имеем: ; . Отсюда ; . =8,2 м·с^-2;

=5,4 м·с^-2.

Ответ: а_n=8,2 м·с^-2; а_t=5,4 м·с^-2.

4.(1.31) Камень брошен горизонтально со скоростью =10 м·с^-1. Найти радиус кривизны R траектории камня через время t=3 с после начала движения.

=10 м·с-1 t=3 с R=?

Решение. , =g , , . ,

; . =305 м.

Ответ: R=305 м.

5.(1.39) С башни высотой =25 м брошен камень со скоростью υ₀=15 м·с^-1 под углом α=30º к горизонту. Какое время t камень будет в движении? На каком расстоянии l от основания башни он упадет на землю? С какой скоростью υ он упадет на землю? Какой угол φ составит траектория движения камня с горизонтом в точке его падения на землю?

=25 м =15 м·с-1 α=30º		Решение. ; y=0; ; .
t=? l=? =? φ=?

;

=3,15 c

=40,9 м;

; ;

= 26,7 м·с^-1; =0,487;

=60,9º

Ответ: t=3,16 c; l=40,9 м; u=26,7 м·с^-1; j=61°.

6.(1.49) Вентилятор вращается с частотой n=900 об·мин^-1. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N=75 об. Какое время t прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

n=900 об·мин-1 N=75 об ε=const ω=0 t=?

Решение. , , ; ; ; ; ; ; ; ; ; =10 c.

Ответ: t=10 c.

7.(1.52) Точка движется по окружности радиусом R=20 см с постоянным тангенциальным ускорением а_t. Найти тангенциальное ускорение а_t точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки u=79,2 см·с^-1.

R=20 см аt=const N=5 u=79,2 см·с-1 аt=?

Решение. ; ; S=2πRN; =0,05 м·с-2.

2 способ

, . , , . , . , . =0,05 м·с^-2.

Ответ: а_t=0,05 м·с^-2.

8.(1.55) Колесо радиусом R=10 см вращается с угловым ускорением e=3,14 рад·с^-2. Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: угловую скорость w; линейную скорость u; тангенциальное ускорение а_t; нормальное ускорение а_n; полное ускорение а; угол a, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса.

R=10 см e=3,14 рад·с-2 t=1 c w=? u=? аt=? аn=? а=? a=?

Решение. ; ; =3,14 рад·с-1; =0,314 м с-1; =0,314 м с-2; = =0,986 м·с-2;

=1,03 м·с^-2;

=0,303;

a=arcsin 0,303=17,67º.

Ответ: w=3,14 рад·с^-1; u=0,314 м·с^-1; a_t=0,314 м·с^-2; a_n=0,986 с^-2; a=1,03 м·с^-2; a=17,67º.

9.(1.57) Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением s=A–Bt+Ct², где В=2 м·с^-1 и С=1 м·с^-2. Найти линейную скорость u точки, ее тангенциальное а_t, нормальное а_n и полное а ускорения через время t=3 с после начала движения, если известно, что при t¢=2 с нормальное ускорение точки а¢_n=0,5 м·с^-2.

В=2 м·с-1 С=1 м·с-2 t=3 с t¢=2 с а¢n=0,5 м·с-2 u=? аt=? аn=? а=?

Решение. ; = =4 м·с-1; ; =2 м·с-2;

=2 м·с^-2;

=2,83 м·с^-2.

Ответ: u=4 м·с^-1; a_t=2 м·с^-2; a_n=2 м·с^-2; a=2,83 м·с^-2.

10.(1.64) Во сколько раз нормальное ускорение а_n точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, больше ее тангенциального ускорения а_t для того момента, когда вектор полного ускорения точки составляет угол a=30º с вектором ее линейной скорости?

a=30 º		Решение. =0,58.
=?

Ответ: =0,58.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ Б

1. По прямой линии движутся две материальные точки согласно уравнениям: x₁=А₁+В₁t+C₁t² и x₂=А₂+В₂t+С₂t², где А₁=5 м, В₁=1 м·с^-1, С₁=2 м·с^-2, А₂=–6 м, В₂=4 м·с^-1, С₂=0,8 м·с^-2. В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковы? Найти скорости u₁, u₂ и ускорения a₁, a₂ этих точек в момент времени t₁=1 c.

Ответ: t=1,25 c; u₁=5 м·с^-1; u₂=5,6 м·с^-1; а₁=4 м·с^-2; а₂=1,6 м·с^-2.

2. Движение материальной точки задано уравнением x=Аt+Bt², где А=4 м·с^-1, В=–0,05 м·с^-2. Определить момент времени t, в который скорость точки u=0. Найти координату x и ускорение точки a в этот момент.

Ответ: t=40 c; x=80 м; а=–0,1 м·с^-2.

3. Точка движется по окружности радиусом R=2 м. Уравнение движения точки j=Аt+Bt³, где А=1 с^-1, В=0,4 с^-3. Определить тангенциальноеa_t, нормальное a_n и полное a ускорения точки в момент времени t=2 с.

Ответ: а_t=9,6 м·с^-2; а_n=67,3 м·с^-2; а=68,0 м·с^-2.

4. Колесо радиусом R=0,2 м вращается так, что зависимость от времени линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, задается уравнением u=At+Bt², где А=0,06 м·с^-2, В=0,02 м·с^-3. Найти угол a, который составляет вектор полного ускорения с радиусом колеса в моменты времени t₁=1 с, t₂=2 с после начала движения.

Ответ: a₁=72,2°; a₂=35°.

5. На вал радиусом R=10 см намотана нить, к концу которой привязана гиря. Двигаясь равноускоренно, гиря за t=20 с от начала движения опустилась на h=2 м. Найти угловую скорость и угловое ускорение вала для этого момента времени.

Ответ: ; .

6. При выстреле пуля вылетела со скоростью u₀=200 м·с^-1 под углом a=60° к горизонту. Определить наибольшую высоту подъема h, дальность полета S и радиус кривизны R траектории пули в ее наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: h=1530 м; S=3530 м; R=1020 м.

7. Тело брошено со скоростью u₀=20 м·с^-1 под углом a=30° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость u тела, а также его нормальное a_n и тангенциальное a_t ускорения через t=1,5 с после начала движения. На какое расстояние x переместится за это время тело по горизонтали и на какой высоте yоно окажется?

Ответ: u=17,9 м·с^-1; a_n=9,72 м·с^-2; a_t=2,67 м·с^-2; x=26 м; y=4 м.

8. Электроны, обладающие кинетической энергией Е_к=1,6 кэВ, влетают посередине между пластинами плоского конденсатора параллельно им. Какое минимальное напряжение U_m необходимо подвести к пластинам, чтобы электроны не вышли за пределы пластин? Длина пластин l=2 см, расстояние между ними d=1 см (1 кэВ=1,610^-16 Дж).

Ответ: U_m=800 В.

9. Электрон влетает в плоский конденсатор со скоростью u₀=10⁷ м·с^-1, направленной параллельно пластинам. В момент вылета из конденсатора направление скорости электрона составляло угол a=35° с первоначальным направлением. Определить разность потенциалов между пластинами, если длина пластин l=10 см, а расстояние между ними d=2 см.

Ответ: U=79,6 В.

10. Определить величину отклонения луча y на экране осциллографа, если напряжение на отклоняющих пластинах U=150 В, их длина l₁=4 см, а расстояние между пластинами d=1 см. Расстояние от экрана до ближайшего края отклоняющих пластин l₂=15 см. Электроны ускоряются напряжением U₀=10³ В.

Ответ: y=51×10^{-3 м.}