Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии

Пусть признак Х некоторой генеральной совокупности распределен по нормальному закону. Генеральная дисперсия неизвестна, но есть основания предполагать, что она равна некоторому значению D0. Это значение может быть установлено теоретически или по результатам предыдущих опытов. Требуется при определенном уровне значимости проверить гипотезу о равенстве генеральной дисперсии числу D0.

Рассматриваемая гипотеза чаще всего возникает на практике тогда, когда нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и т.д. Например, если известна характеристика D0 величины отклонения от среднего норматива времени пробега стометровки для положительной оценки, а найденная по выборке исправленная выборочная дисперсия окажется значимо больше, то для группы необходимы дополнительные тренировки.

Рассмотрим общую схему для гипотезы о генеральной дисперсии.

1. Формулируется основная гипотеза Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru и одна из альтернативных Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru или Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru или Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru .

2. Выбирается уровень значимости α.

3. Выбирается критерий – случайная величина χ2, распределенная по закону «хи-квадрат» с числом степеней свободы ν = n – 1.

4. Вычисляется выборочное значение критерия Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru , где n – объем выборки, а S – исправленное среднее квадратическое отклонение.

5. Выбирается критическая область по альтернативной гипотезе Н1, а критические точки χ2кр. по таблице критических точек распределения «хи-квадрат», используя следующую схему

  Альтернативная гипотеза Н1  
       
       
Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru   Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru   Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru
       
V1 – двусторонняя, несимметричная.   V1 – правосторонняя   V1 – левосторонняя
       
Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru ; Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru ; ν = n – 1.   Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru ν = n – 1.   Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru ν = n – 1.
                       

6. Принимается статистическое решение.

Пример 9.5. Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера изделий, которая не должна превышать величину 0,1. Взята проба из 25 случайно отобранных изделий и получены следующие результаты измерений:

Контролируемый размер изделия хi 3,0 3,5 4,0 4,5
Частоты ni

Требуется при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что станок обеспечивает требуемую точность.

Решение. Применим общую схему.

1. Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru и, очевидно, что Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru

2. α = 0,05.

3. Критерий – случайная величина χ2, распределенная по закону «хи-квадрат» с числом степеней свободы ν = 25 – 1= 24.

4. Выборочное значение Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru ; так как справедливо следующее Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru ;

Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru ;

Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru .

5. По альтернативной гипотезе Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru выбираем второй столбец схемы и определяем, что V1 – правосторонняя критическая область. Критические точки χ2кр. определяем по таблице критических точек распределения «хи-квадрат»: χ2кр.(0,05; 24) = 36,4. Строим критическую область и отмечаем на оси выборочное значение

χ2кр=36,4
Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru

6. Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru , следовательно, гипотеза Н0 отвергается, т.е. станок требуемую точность не обеспечивает. ■

Рассмотрим еще одну задачу без текстового содержания.

Пример 9.6. Пусть из генеральной совокупности, признак которой распределен по нормальному закону, извлечена выборка объема n = 17. По значениям признака выборочных элементов найдена выборочная дисперсия Dв = 0,16. Требуется при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что генеральная средняя равна 0,18. В качестве альтернативной рассмотреть две гипотезы о том, что генеральная средняя не равна 0,18 и что меньше 0,18.

Решение. Проверку этой гипотезы проведем также по общей схеме.

1 случай.

1. Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru и пусть Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru

2. α = 0,05.

3. Критерий – случайная величина χ2, распределенная по закону «хи-квадрат» с числом степеней свободы ν = 17 – 1= 16.

4. Выборочное значение Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru , так как Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru .

5. По альтернативной гипотезе Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru выбираем третий столбец схемы, получаем V1 – левосторонняя критическая область. Находим критическую точку χ2кр.(1- 0,05; 16) = χ2кр.(0,95; 16) = 7,96. Строим критическую область и отмечаем выборочное значение критерия:

χ2кр=7,96
Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru

6. Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru , следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу Н0.

2 случай.

1. Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru и пусть Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru

2. α = 0,05.

3. Критерий – случайная величина χ2, распределенная по закону «хи-квадрат» с числом степеней свободы ν = 17 – 1= 16.

4. Выборочное значение Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru , так как Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru .

5. По альтернативной гипотезе Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru выбираем первый столбец схемы, получаем V1 – двусторонняя несимметричная критическая область. Находим критические точки

χ2пр.кр.(0,05/2; 16) = χ2кр.(0,025; 16) = 28,8;

χ2лев.кр.(1-0,05/2; 16) = χ2кр.(0,925; 16) = 6,91.

Строим критическую область и отмечаем выборочное значение критерия:

6,91
28,8
Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru

6. Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии - student2.ru , следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу Н0.

Рассмотренными в данной работе гипотезами далеко не исчерпывается список гипотез, необходимость в проверке которых может возникнуть при обработке и анализе статистических данных. Например, особое значение имеют гипотезы о законе распределения признака Х, для проверки которых применяются, так называемые, критерии согласия. Однако их рассмотрение выходит за рамки данного пособия.

Наши рекомендации