Степенная, показательная и логарифмическая

Степенная функция с натуральным показателем непрерывна на R как произведение n непрерывных функций . Если , то степенная функция строго возрастает и поэтому обратима на всем множестве R (см. рис. 1.19):

Если , то степенная функция с четным показателем не обратима на всем множестве R (так как разным значениям х₀ и -х₀ соответствует одно значение функции: (х₀)^2k=(-х₀)^2k=y₀).

Если рассмотреть функцию на положительной части области определения , то для нее существует обратная функция , которая также является строго возрастающей

Рассмотрим степенную функцию с целым отрицательным показателем . Она определена и непрерывна при и по определению степени с целым показателем записывается в виде

Дадим определение степенной функции с рациональным показателем :

Если , то положим .

Функция непрерывна и строго возрастает при x>0. Функция непрерывна при t>0 и строго возрастает, если m>0; строго убывает при m<0.

Поэтому, согласно теореме о непрерывности сложной функции, степенная функция х^r непрерывна на (0;+¥) и возрастает при r>0, а убывает при r<0.

Лемма 1. Для функций имеет место .

Пусть теперь x - произвольная точка числовой прямой и - последовательность рациональных чисел, сходящаяся к х: . Предполагая a>0, положим по определению: .

Функция а^х (а>0), определенная для равенством называется показательной с основанием a.

Свойства функции :

1. При a>1 функция строго возрастает, при 0<a<1 – строго убывает на всей числовой оси.

2. .

3. .

4. Функция непрерывная на R.

5. при .

6. множество значений функции при 0<a¹1- .

Используя теорему о существовании и непрерывности обратной функции, на промежутке определим функцию, обратную к показательной . Эта функция называется логарифмической и обозначается .

Показательная функция у=а^х при возрастает, поэтому обратная функция при a>1 также строго возрастает и непрерывна: . При 0<a<1 функция также непрерывна и строго убывает:

Пусть , то по свойствам взаимно-обратных функций справедливы равенства: , .

Если , то из свойства 2 показательной функции и формулы (4) следует, что:

1) ; 2) ; 3) .

4) или при x=b .

Степенная функция с вещественным показателем

Полагают, что: .

Функция - непрерывна при x>0 как сложная функция двух непрерывных: и .

Из равенства (1) и свойств показательной, логарифмической функций следует: при функция строго возрастает, а строго убывает на .

Функцию , где u(x), v(x) определены на DÍR и называют показательно-степенной и обозначают

.

Если u и v - непрерывны на D, то u^v - непрерывна как сложная функция.