Диференціювання функцій, заданих неявно
4.1. Рівняння задає неявно функцію
, на інтервалі
, якщо для всіх
виконується рівність
.
Для обчислення похідної функції треба продиференціювати по
тотожність
, пам'ятаючи, що
є функція від
, а потім отримане рівняння розв’язати відносно
.
4.2. Приклади. а) Знайти значення у точці
для функції, заданої неявно рівнянням
.
Розв’язання. Диференціюючи по обидві частини даного рівняння та вважаючи при цьому, що
є функцією від
, одержуємо:
,
звідки: .
Знаходимо значення у точці
:
.
б) Знайти величину кута між дотичними, проведеними в точках перетину кривої з віссю
. Зробити креслення.
Розв’язання. За аналогією з попереднім прикладом, знаходимо:
(*)
Точки перетину даної кривої із прямою знаходимо з розв’язку наступної системи:
Таких точок дві: і
.
Враховуючи, що ,
, знаходимо згідно з (*) кутовий коефіцієнт
дотичної до даної кривої в точці А:
.
Аналогічно знаходимо кутовий коефіцієнт дотичної в точці В:
.
Кут задовільняє рівності
, отже
, звідки
126055.
Перш ніж зробити креслення, перетворимо початкове рівняння кривої у рівняння
, що визначає коло із центром у точці
та радіусом
(рис. 4.3).
Рис. 4.3
Завдання 4. Знайти значення у точці
для функцій, заданих неявно.
1. | 5x2+ 3xy – 2y2 + 2 = 0 | M (0; 1) |
2. | x3 – 2x2 + y2 = 0 | M (1; 1) |
3. | x2 + xy + y2 = 7 | M ( –1; –2) |
4. | 2x3 – xy + y – 2 = 0 | M (1; 5) |
5. | x3 + y3 – 3xy + 1 = 0 | M ( –2;1) |
6. | 3x2 – xy + y – 3 = 0 | M (1; –2) |
7. | x2 + 2y2 + 6x – 4y – 13 = 0 | M (1; –1) |
8. | 3x2 – 5y2 – 6x – 20y + 25 = 0 | M (2; 1) |
9. | 4x2 + y2 + 8x – 4y + 3 = 0 | M (0; 1) |
10. | x3 – 2x2 y2 + 5x + y – 5 = 0 | M (1; 1) |
11. | 2x2 – 9y2 + 4x + 18y + 11 = 0 | M (2; –1) |
12. | x3 – xy + y + 7 = 0 | M ( –1; –3) |
13. | x2 + y2 – 4x – 10y + 19 = 0 | M (3; 2) |
14. | x4 – y2 – y – 1 = 0 | M (1; 0) |
15. | x3 + 2xy2 + y + 11 = 0 | M ( –1; –2) |
16. | x3 + x2y + y2 –13 = 0 | M (1; 3) |
17. | x3 + 5xy + y3 – 7 = 0 | M (1; 1) |
18. | x2 + 5xy + y2 – 2x + y – 6 = 0 | M (1; 1) |
19. | 3x2 – xy + y3 – x = 0 | M (0; 2) |
20. | x 6 + y 6 – 2xy = 0 | M (1; 1) |
21. | x 2 +x2 y – y2 – y = 0 | M (1; 1) |
22. | x4 – 6x2y2 + 9y2 – 5x2 + 15y2 + 4 = 0 | M (2; 1) |
23. | 7x2 + xy – y3 + 3 = 0 | M (1; –2) |
24. | x2y2 + xy + x2 – 7 = 0 | M (1; 2) |
25. | 2x5 + y5 – 2xy + 26 = 0 | M (1; –2) |
26. | x5 + y5 – 2xy = 0 | M (1; 1) |
27. | 3x2 – xy + y 2 + x – 34 = 0 | M ( –2; 4) |
28. | x2 + 2xy2 + 3y4 –6 = 0 | M (1; –1) |
29. | x2 – x2 y + y 2 = 13 | M ( –1; –3) |
30. | x2 y2 – 4y3 – x = 4 | M (0; –1) |
Завдання 5. Знайти величину кута між дотичними, проведеними в точках перетину кривої з віссю
. Зробити креслення.
1. | x 2+ y 2 + 2x + 2y –3 = 0. | 2. | x 2 + y 2 – 2x + 4y –3 = 0. |
3. | x 2 + y 2 + 10x + 9 = 0. | 4. | x 2 + y 2 + 6x + 6y + 8 = 0. |
5. | x 2 + y 2 + 4x + 2y + 3 = 0. | 6. | x 2 + y 2 + 4x – 2y – 4 = 0. |
7. | x 2 + y 2 + 6x – 6y + 8 = 0. | 8. | x 2 + y 2 + 4x – 4y + 3 = 0. |
9. | x 2 + y 2 + 6x + 2y + 1 = 0. | 10. | x 2 + 6x + y 2 – 2y + 1 = 0. |
11. | x 2 + 10x+ y 2 – 6y +16 = 0. | 12. | x 2 + y 2 + 14x + 40 = 0. |
13. | x 2 + y 2 – 6x – 2y + 6 = 0. | 14. | x 2 + y 2 – 10 x+ 9 = 0. |
15. | x 2 + y 2 + 10x + 6y + 16 = 0. | 16. | x 2 + y 2 – 4x + 2y + 3 = 0. |
17. | x 2 + y 2 – 2x + 4y – 20 = 0. | 18. | x 2 + 6x + y 2 – 2y + 6 = 0. |
19. | x 2 + y 2 – 4y – 4 = 0. | 20. | x 2 – 6x + y 2 – 6y + 8 = 0. |
21. | x 2 + y 2 – 14x + 40 = 0. | 22. | x 2 + y 2 – 2x + 6y – 6 = 0. |
23. | x 2 + y 2 – 6x + 6y + 8 = 0. | 24. | x 2 + y 2 – 6x + 2y + 1 = 0. |
25. | x 2 + 4x + y 2 – 2y + 3 = 0. | 26. | x 2 + 4x + y 2 + 2y – 4 = 0. |
27. | x 2 + y 2 + 4x – 4 = 0. | 28. | x 2 + y 2 + 2x – 2y – 4 = 0. |
29. | x 2 + 4x + y 2 – 2y – 3 = 0. | 30. | x 2 + y 2 + 2x + 4y – 4 = 0. |
ПРАВИЛО ЛОПІТАЛЯ
5.1.При розкритті невизначеностей ,
крім класичних методів обчислення границь, у багатьох випадках можна користуватися правилом Лопіталя: якщо
або
й існує границя відношення їх похідних
, то
.
Це правило справедливе й у випадку, коли .
Приклад 1. Застосовуючи правило Лопіталя, знайти границі:
а) ; б)
; в)
.
Розв’язання. Переконавшись, що має місце випадок або
, застосовуємо правило Лопіталя.
а) ,
б) .
Тут двічі було застосовано правило Лопіталя й використана перша чудова границя.
в) .
5.2. При розкритті невизначеностей для застосування правила Лопіталя, початковий вираз необхідно перетворити до невизначеностей виду
або
шляхом алгебраїчних перетворень.
Приклад 2. Знайти границі: а) ; б)
.
Розв’язання: а) Маємо невизначеність . Наведемо цю невизначеність до невизначеності
, а потім застосуємо правило Лопіталя:
.
б) Маємо невизначеність . Перетворимо початковий вираз до невизначеності
, після чого застосуємо правило Лопіталя:
.
5.3. При розкритті невизначеностей ,
,
рекомендується знайти попередньо границю логарифма шуканої функції.
Приклад 3.Обчислити .
Розв’язання. Маємо невизначеність . Введемо позначення
, тоді
.
. Одержали
, застосовуємо правило Лопіталя:
. Тому що
. Отже
.
Завдання 6.Обчислити границі, використовуючи правило Лопіталя.
1. | а) ![]() | б) ![]() |
2. | а) ![]() | б) ![]() |
3. | а) ![]() | б) ![]() |
4. | а) ![]() | б) ![]() |
5. | а) ![]() | б) ![]() |
6. | а) ![]() | б) ![]() |
7. | а) ![]() | б) ![]() |
8. | а) ![]() | б) ![]() |
9. | а) ![]() | б) ![]() |
10. | а) ![]() | б) ![]() |
11. | а) ![]() | б) ![]() |
12. | а) ![]() | б) ![]() |
13. | а) ![]() | б) ![]() |
14. | а) ![]() | б) ![]() |
15. | а) ![]() | б) ![]() |
16. | а) ![]() | б) ![]() |
17. | а) ![]() | б) ![]() |
18. | а) ![]() | б) ![]() |
19. | а) ![]() | б) ![]() |
20. | а) ![]() | б) ![]() |
21. | а) ![]() | б) ![]() |
22. | а) ![]() | б) ![]() |
23. | а) ![]() | б) ![]() |
24. | а) ![]() | б) ![]() |
25. | а) ![]() | б) ![]() |
26. | а) ![]() | б) ![]() |
27. | а) ![]() | б) ![]() |
28. | а) ![]() | б) ![]() |
29. | а) ![]() | б) ![]() |
30. | а) ![]() | б) ![]() |
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. | Берман Г.Е. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977. – 456 с. | |
2. | Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Сравочник по математике для инженеров и студентов ВУЗов. – М.: Наука, 1986. – 544 с. | |
3. | Бубняк Т.І. Вища математика: Навчальний посібник. – Львів: «Новий світ-2000», 2004. – 434 с. | |
4. | Вища математика: Підручник: У 2 кн. – 2-ге вид., перероб. і доп. – К.: Либідь, 2003. – Кн. 1. Основні розділи / Г.Й. Призва, В.В. Плахотник, Л.Д. Гординський та ін.; за ред. Г.Л. Кулініча. – 400 с. | |
5. | Вища математика. Основні означення, приклади і задачі. Ч. 1, 2. – К.: Либідь, 1992. – 349 с. | |
6. | Глушков П.М., Шунда Н.М. Диференціальне числення фукнцій однієї змінної. – К.: Вища шк., 1991. – 343 с. | |
7. | Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1,2 – М.: Высш. шк., 1980. – 320 с. | |
8. | Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1966. – 269 с. | |
9. | Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. – Харьков.: Изд-во ХГУ, 1967. – 236 с. | |
10. | Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1969. – 123 с. | |
11. | Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. – М.: Высш. шк., 1986. – 296 с. | |
12. | Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1969. – 350 с. | |
13. | Овчинников П.Ф., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Высшая математика. Ч.1, 2. – К.: Вища шк., 1987, 1989. – 551 с. | |
14. | Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление, т.1, 2. – М.: Наука, 1982. – 294 с. | |
15. | Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П. Курс высшей математики. – М.: Высш. шк., 1987. – 320 с. |