Элементы гармонического анализа

3.1Написать пять первых членов ряда по данному общему члену .

Решение. Полагая , получаем . Если , то и далее (при ) , , . Следовательно,

3.2 Написать формулу общего члена для ряда

Решение. Знаменатели членов данного ряда – квадраты натуральных чисел, следовательно, общий член ряда

.

3.3 Найти для ряда частичную сумму первых n членов (S_n); показать, пользуясь определением, сходимость (расходимость) ряда; найти сумму ряда (S):

Решение. Общий член ряда запишем иначе:

.

Определяя коэффициенты А и В, получаем .

Следовательно, .

Напишем частичную сумму ряда

.

,

отсюда следует, что ряд сходится и его сумма S=1.

3.4Исследовать сходимость ряда

Решение: Найдем - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.

3.5Исследовать на сходимость ряд

Решение: Т.к. , а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд .

3.6 Исследовать на сходимость ряд

Решение: Т.к. , а ряд сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится.

3.7Определить сходимость ряда .

Решение: Используем признак Даламбера

ряд сходится.

3.8Определить сходимость ряда

Решение: Используем признак Даламбера

ряд сходится.

3.9Определить сходимость ряда .

Решение: Используем признак Коши

ряд сходится.

3.10Исследовать по интегральному признаку Коши сходимость ряда:

.

Решение. Пусть y= –непрерывная, монотонно убывающая и принимающая только положительные значения в интервале (0, ) функция, причем ее значения, отвечающие целым положительным числам 1, 2, 3,…, совпадают с соответствующими членами данного ряда. Найдем несобственный интеграл

Несобственный интеграл расходится, следовательно, по интегральному признаку данный ряд тоже расходится.

3.11 Исследовать сходимость знакопеременных рядов:

1) ; 2) ; 3) .

Решение. 1) Члены данного ряда убывают по абсолютной величине, знаки чередуются и общий член с возрастанием n стремится к нулю. Поэтому, согласно признаку Лейбница, ряд 1 сходится. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

,

есть гармонический ряд, который, как уже известно, расходится. Следовательно, ряд 1 сходится условно.

2) Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине, однако общий член не стремится к нулю с возрастанием n, , т. е. необходимое условие сходимости ряда не выполнено, поэтому ряд 2 расходится.

3) Составим ряд из абсолютных величин данного знакопеременного ряда

(в)

Сравним ряд (в) со сходящимся рядом

(г)

Каждый член ряда (в) не превосходит соответствующего члена ряда (г), поэтому, согласно признаку сравнения, ряд (в) сходится. Следовательно, данный ряд 3 сходится абсолютно (безусловно).

3.12 Исследовать на сходимость ряд

Решение: Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1: ряд сходится по признаку Лейбница

При х = -1: ряд расходится (гармонический ряд).

3.13Найти область сходимости рядов:

1) ; 2) .

Решение. 1) . Ряд сходится только в одной точке x=0.

2) Положив в данном ряду x-1 =y, получим ряд

. (a)

Найдем радиус сходимости этого ряда:

. Исследуем поведение ряда на концах интервала . Пусть y= , тогда получим расходящийся ряд . Пусть y= , тогда получим ряд , который также расходится. Следовательно, ряд (а) сходится в интервале . Заменив переменную y через переменную x, получим искомую область сходимости данного ряда:

или .

Элементы гармонического анализа. Ряды Фурье.

3.14. Исследовать на периодичность функцию у = cos 5х + cos 7x.
Решение: Период функции cos5x T1 = 2 /5, а функции cos7x Т2 = 2 /7.
Наименьшее число Т, при делении которого на 2 /5 и на 2/7 получаются целые числа, есть число 2 , которое и будет периодом исходной функции.
Ответ: периодическая, T = 2 .

3.15. Исследовать на периодичность функцию y = sin 3x + sin pх.
Решение:Период функции sin3x T1 = 2 /3, а функции sin х - T2 = 2 / = 2. Однако общего периода у функций sin3x, sin х не существует, поскольку нет числа, при делении которого на 2 /3 и на 2 получились бы целые числа. Числа 2 /3 и 2несоизмеримые.
Ответ: функция непериодическая.

3.16 Определить период функции y=cos2x.Решение. cos2x=cos2(x+T)=cos(2x+2T), где 2T=2π, т.е. Т=π.

3.17Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом T = 2p на отрезке [-p;p].

Решение: Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде:

Получаем: .

3.18Разложить в ряд Фурье функцию

.

Решение.Здесь . Коэффициенты определяются по формуле (10), а коэффициенты – по формуле (11), в которых надо вместо подставить 2. Поэтому

;

Итак, ( ).

Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд (9), получим:

.