Давление Лапласа под искривленной поверхностью жидкости
Форма поверхности жидкости, налитой в сосуд, определяется тремя факторами: силами взаимодействия между молекулами жидкости, силами взаимодействия между молекулами жидкости и молекулами, входящими в состав стенок сосуда, и действием силы тяжести.
Если достаточно большое количество жидкости налито в широкий сосуд, то жидкость вследствие преобладающего действия силы тяжести в этом случае имеет плоскую горизонтальную поверхность. Однако непосредственно у стенок сосуда поверхность жидкости несколько искривлена. Если молекулы жидкости, соприкасающиеся со стенкой сосуда, взаимодействуют с молекулами твердого тела сильнее, чем между собой, в этом случае жидкость стремится увеличить площадь соприкосновения с твердым телом. При этом поверхность жидкости изгибается вниз и говорят, что она смачивает стенки сосуда, в котором находится.
Если же молекулы жидкости взаимодействуют между собой сильнее, чем с молекулами стенок сосуда, то жидкость стремится сократить площадь соприкосновения с твердым телом, ее поверхность искривляется вверх, имеет место несмачивание жидкостью стенок сосуда.
| Рис. 6.13 |
В узких трубочках, диаметр которых составляет доли миллиметра, искривленные края жидкости охватывают весь поверхностный слой, и вся поверхность жидкости в таких трубочках имеет вид, напоминающий полусферу. Это так называемый мениск. Он может быть вогнутым, как на рис. 6.13а, в случае смачивания, и выпуклым, как на рис. 6.13б, при несмачивании. Радиус кривизны поверхности жидкости при этом того же порядка, что и радиус трубки. Явления смачивания и несмачивания характеризуются краевым углом θ между смоченной поверхностью твердого тела и мениском в точках их соприкосновения (рис. 6.13а, б).
Наличие сил поверхностного натяжения и кривизны поверхности жидкости в капиллярной трубочке ответственно за дополнительное давление под искривленной поверхностью, называемое давлением Лапласа.
| Рис. 6.14 |
Для вывода формулы, определяющей величину давления Лапласа, рассмотрим случай, когда поверхность жидкости в сосуде принимает форму выпуклого мениска (рис. 6.14). Пусть – сила поверхностного натяжения, действующая по касательной к поверхности жидкости, R – радиус кривизны поверхности мениска, r – радиус кривизны сечения мениска горизонтальной плоскостью. Силу можно разложить на две составляющие и . Очевидно, что при суммировании по периметру мениска все составляющие дадут ноль, и давление Лапласа будет обусловлено суммарным действием составляющих . Найдем составляющую и проведем суммирование по контуру, ограничивающему мениск в горизонтальном сечении, имея в виду, что сила поверхностного натяжения , где Δl – элемент длины контура.
| , | (6.17) |
| . | (6.18) |
Действие этой силы приходится на круговое сечение мениска площадью (рис. 6.14). Следовательно, избыточное давление Лапласа, обусловленное кривизной поверхности и действием сил поверхностного натяжения, равно
| . | (6.19) |
Можно обобщить полученную формулу на случай более сложной поверхности. В общем случае давление Лапласа определяется соотношением
| , | (6.20) |
где R1 и R2 – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений мениска.
| Рис. 6.15 |
Радиусы кривизны, входящие в последнюю формулу, являются алгебраическими величинами. Если центр кривизны нормального сечения мениска находится под его поверхностью, то соответствующий радиус кривизны является положительной величиной (рис. 6.15а). В случае, когда центр кривизны находится над поверхностью мениска, R – отрицательно (рис. 6.15б). Отсюда следует, что под выпуклой поверхностью мениска давление Лапласа положительно (оно добавляется к атмосферному давлению Р0), под вогнутой поверхностью мениска давление Лапласа отрицательно (оно меньше атмосферного давления Р0 на величину РЛ). Очевидно, что давление Лапласа тем больше, чем меньше радиус кривизны сечения, поэтому оно играет наиболее важную роль в капиллярных явлениях.
Применяя формулу Лапласа для частного случая сферической капли , находим:
| . | (6.21) |
Если поверхность мениска имеет цилиндрическую форму, то один из радиусов кривизны сечения можно считать равным бесконечности. Для этого частного случая давление Лапласа равно
| . | (6.22) |
В случае мыльного пузырька дополнительное давление, которое испытывает находящийся внутри него газ, равно , так как у пузырька две поверхности – наружная и внутренняя, каждая из которых создает дополнительное давление Лапласа.
Убедительной иллюстрацией существования лапласовского давления служит описанный ниже опыт.
| Рис. 6.16 |
С помощью двух сообщающихся трубочек выдуваются мыльные пузыри (рис. 6.16), после этого трубочка С закрывается. Вследствие неизбежных случайных обстоятельств радиусы пузырей будут отличаться друг от друга. Внутри пузырька меньшего радиуса давление Лапласа больше, и воздух из него начнет перемещаться в пузырек большего радиуса. В результате большой пузырек будет увеличиваться в размерах, а маленький спустя непродолжительное время исчезнет.