Основные расчетные соотношения

Для определения токов и напряжений в электрической цепи по заданным параметрам источников и элементов составляется и решается система уравнений электрического равновесия. Эта система состоит из топологических и компонентных уравнений. Топологические – это уравнения, составленные по законам Кирхгофа для токов (первый закон Кирхгофа) для каждого из независимых узлов (уравнение баланса токов):

Основные расчетные соотношения - student2.ru . (1.1)

и напряжений (второй закон Кирхгофа) для каждого из независимых контуров (уравнение баланса напряжений):

Основные расчетные соотношения - student2.ru . (1.2)

Здесь in(t) – ток n-й, ветви, взятый с плюсом ( Основные расчетные соотношения - student2.ru =1), если он втекает в узел, и с минусом – если вытекает( Основные расчетные соотношения - student2.ru =-1). Это справедливо и для ветвей с источниками тока.

В ЗКН uk(t) – напряжение на k-й ветви, взятое с плюсом, если совпадают выбранные направления тока в ветви и обхода контура ( Основные расчетные соотношения - student2.ru =1), в который эта ветвь входит. В противном случае uk(t) отрицательно, ( Основные расчетные соотношения - student2.ru =-1). Для ветвей с источниками напряжения, напряжение источника входит в напряжение ветви со знаком минус, если стрелка внутри источника совпадает с условно выбранным направлением напряжения ветви, в противном случае – со знаком плюс. Что касается источников тока, то напряжение ветви на каждом из них можно выбирать произвольно. На идеальном источнике тока напряжение на нем находится на основании решения полной системы уравнений для данной цепи.

В топологии доказывается, что в электрической цепи, состоящей из q узлов и p ветвей независимых узлов Kну:

Kну= q-1-NE, (1.3)

а независимых контуров Kнк:

Kнк = p-q+1- NJ . (1.4),

Где: NE- число идеальных источников напряжения, которые не могут быть преобразованы в эквивалентные источники тока, NJ - число идеальных источников тока, которые не могут быть преобразованы в эквивалентные источники напряжения.

Это означает, что для не имеющей особенности цепи количество независимых уравнений, которое может быть составлено по первому закону Кирхгофа для токов равно q-1 , а по второму закону Кирхгофа для напряжений p-q+1.

Компонентные уравнения связывают токи и напряжения на идеальных пассивных элементах. Количество этих уравнений p-pит-pин, где pит и pин – количество ветвей с источниками тока и напряжения соответственно. Эти уравнения имеют следующий вид соответственно для сопротивления, емкости и индуктивности:

iR = uR/R; Основные расчетные соотношения - student2.ru ; Основные расчетные соотношения - student2.ru . (1.5)

Для цепи, находящейся под гармоническим воздействием, составляется комплексная эквивалентная схема замещения, в которой мгновенные токи и напряжения представляются их комплексными амплитудами ( Основные расчетные соотношения - student2.ru и Основные расчетные соотношения - student2.ru соответственно):

Основные расчетные соотношения - student2.ru ,

Основные расчетные соотношения - student2.ru , (1.6)

а пассивные элементы цепи – комплексными сопротивлениями в соответствии с соотношениями:

Основные расчетные соотношения - student2.ru , Основные расчетные соотношения - student2.ru; Основные расчетные соотношения - student2.ru. (1.7)

Связь между токами и напряжениями в них при этом определяется законом Ома в комплексной форме

Основные расчетные соотношения - student2.ru , (1.8)

а законы Кирхгофа для токов и напряжений приобретают вид:

Основные расчетные соотношения - student2.ru , Основные расчетные соотношения - student2.ru . (1.9)

Таким образом, система уравнений электрического равновесия становится алгебраической, но комплексной.

Что касается мощностей, то комплексная мощность, потребляемая цепью определяется в виде

Основные расчетные соотношения - student2.ru , (1.10)

где Основные расчетные соотношения - student2.ru – активная мощность, характеризующая преобразование в цепи электрической в другие виды энергии, Основные расчетные соотношения - student2.ru – реактивная мощность, характеризует процессы обмена энергией между цепью и источником, Основные расчетные соотношения - student2.ru – полная мощность, потребляемая от источника.

Приведенные соотношения используются при выполнении заданий 1 и 2 и подробно обсуждаются в [2,3].

Расчет сложных цепей при выполнении самотоятельной работы (задания 3, 4 и 5) выпоняется методами контурных токов, узловых напряжений (потенциалов), методом наложения и методом эквивалентного генератора.

Метод контурных токов (МКТ) основан на том, что токи всех ветвей могут быть выражены через токи главных ветвей (контурные токи). Каждый контурный ток проходит только по элементам своего контура. Количество контурных токов определяется количеством независимых контуров цепи (1.4). Количество же составляемых уравнений в МКТ может быть меньше (при наличии в цепи ветвей с вырожденными источниками тока уравнения для контуров в которые они входят не составляются, поскольку их контурные токи равны токам этих источников).

Уравнения МКТ в канонические форме записываются в виде:

Основные расчетные соотношения - student2.ru . (1.11)

Здесь Основные расчетные соотношения - student2.ru – собственное сопротивление n-го контура (всегда положительно), элементы Основные расчетные соотношения - student2.ru – взаимные сопротивления n-го и k-го контуров, взятые со знаком плюс при совпадении по направлению контурных токов в них. Контурная э.д.с. Основные расчетные соотношения - student2.ru – алгебраическая сумма э.д.с. источников, входящих в контур (при совпадении с направлением контурного тока э.д.с. источника берется со знаком плюс).

В методе узловых потенциалов (МУП) напряжения всех ветвей выражаются через разность потенциалов узлов, между которыми они включены. Количество узловых потенциалов определяется количеством независимых узлов цепи (1.3). Количество же составляемых в МУП уравнений может быть меньше (при наличии в цепи ветвей с вырожденными источниками напряжения уравнения для узлов к которым они подключены не составляются, поскольку их потенциалы равны напряжениям этих источников при подключении последних между данным узлом и базисным).

Уравнения МУП в канонические форме записываются в виде:

Основные расчетные соотношения - student2.ru

Основные расчетные соотношения - student2.ru (1.12)

Основные расчетные соотношения - student2.ru

Основные расчетные соотношения - student2.ru

Здесь Основные расчетные соотношения - student2.ru – собственная проводимость n-го узла (всегда положительна) сумма проводимостей ветвей подключенных к узлу, элементы Основные расчетные соотношения - student2.ru – взаимная проводимость n-го и k-го узлов – сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы взятая со знаком минус. Основные расчетные соотношения - student2.ru -алгебраическая сумма токов источников, подключенных к n-му узлу (втекающие с плюсом).

Метод наложенияиспользуется для нахождения тока или напряжения в одной из ветвей, если в линейной цепи несколько независимых источников энергии. Искомый ток Основные расчетные соотношения - student2.ru или напряжение Основные расчетные соотношения - student2.ru представляют суммой частичных токов Основные расчетные соотношения - student2.ru и соответственно напряжений Основные расчетные соотношения - student2.ru , каждый из которых найден из эквивалентной схемы, полученной последовательным выключением всех (кроме одного) независимых источников:

Основные расчетные соотношения - student2.ru . (1.13)

При выключении источников э.д.с. они закорачиваются, а источники тока – разрываются.

В методе эквивалентного генератора находится ток в одной из ветвей цепи. При этом, данная ветвь разрывается, а оставшаяся часть цепи представляется автономным двухполюсником – эквивалентным источником напряжения или тока. Параметрами эквивалентного источника напряжения являются напряжение и сопротивление холостого хода автономного двухполюсника. Параметрами эквивалентного источника тока являются ток короткого замыкания автономного двухполюсника и его входная проводимость. После этого, например в методе эквивалентного источника напряжения, ток ветви находится в соответствие с соотношением

Основные расчетные соотношения - student2.ru , (1.14)

где Основные расчетные соотношения - student2.ru – напряжение холостого хода источника, Основные расчетные соотношения - student2.ru – его сопротивление, Основные расчетные соотношения - student2.ru – сопротивление нагрузки источника (ветви, в которой определяется величина протекающего тока).

Далее приводятся варианты заданий для самостоятельного решения по этим темам. С примерами решения подобных задач можно ознакомиться в [4, 5].

Варианты заданий

Вариант №1
Основные расчетные соотношения - student2.ru

  Составить две системы уравнений электрического равновесия для мгновенных и комплексных значений электрических величин.
Основные расчетные соотношения - student2.ru   R=1 кОм L=2 мГн C=0,5 нФ w=106 рад/с  
Определить комплексное сопротивление схемы Z экв и указать его характер (емкостной, индуктивный или резистивный) на заданной частоте.
Основные расчетные соотношения - student2.ru

  Составить уравнения контурных токов и узловых напряжений и решить их для численных значений: R1=1 кОм; R2=100 Ом ; XL1=2 кОм; XC1=3 кОм; J1=1 мА; E1=25 В: E2=20 В;  
Основные расчетные соотношения - student2.ru

  R=1 кОм; XL=2 кОм; XC=3 кОм; J1=1 мА; J2=0,4 мА; J3=0,8 мА   Рассчитать методом наложения ток в резисторе.  
Основные расчетные соотношения - student2.ru

  E1=25 В: E2=20 В; R1=R2=R4=XC=100 Ом; R3=25 Ом. Методом эквивалентного генератора рассчитать ток в ветви с емкостью.

Вариант №2
Основные расчетные соотношения - student2.ru Основные расчетные соотношения - student2.ru Основные расчетные соотношения - student2.ru

  Составить две системы уравнений электрического равновесия для мгновенных и комплексных значений электрических величин.
Основные расчетные соотношения - student2.ru   R=2 кОм L=4 мГн C=0,4 нФ w=106 рад/с  
Определить мгновенное значение всех напряжений, если амплитуда напря-жения между точками 1 и 2 равна 1 В, а начальная фаза напряжения равна 0°.
Основные расчетные соотношения - student2.ru

Составить уравнения контурных токов и узловых напряжений и решить их для численных значений: R1=R2=R4= XC1=100 Ом R3=R5=XL1= XL2=25 Ом E2(t)=3coswt,В; E3(t)=5coswt, В.; J2(t)=0,4coswt, мА  
Основные расчетные соотношения - student2.ru

R1=1 кОм; R3=2 кОм; XL=2 кОм; XC=3 кОм; e1=1 coswt, В; e2=3 coswt, В; e3=5 coswt, В. Рассчитать методом наложения ток в индуктивности.

  E=25 В; J=1 A; R1=R2=100 Ом; XL=25 Ом; XC=50 Ом. Методом эквивалентного генератора рассчитать ток в ветви с R1.
Вариант №3  
Основные расчетные соотношения - student2.ru

  Составить две системы уравнений электрического равновесия для мгновенных и комплексных значений электрических величин.  
Основные расчетные соотношения - student2.ru

  R=3 кОм L=6 мГн C=0,3 нФ w=106 рад/с  
Определить мгновенное значение всех напряжений, если U1-2=1 В.  
Основные расчетные соотношения - student2.ru

Составить уравнения контурных токов и узловых напряжений и решить их для численных значений: R1=R2=R3= XC1=100 Ом XL1= XL2=25 Ом E1(t)=3coswt,В; J 1(t)=30coswt,мА; E2(t)=3coswt,В; E3(t)=5coswt, В.;  

Е1=80 В J=0,4 мА R1=R2=1 кОм XC=3 кОм XL=2 кОм. Рассчитать методом наложения ток в сопротивлении R2.  
Основные расчетные соотношения - student2.ru Основные расчетные соотношения - student2.ru 1=12 В Основные расчетные соотношения - student2.ru 2=18 В Основные расчетные соотношения - student2.ru =1 A R1= XL =R2=12 Ом R3=XC=25 Ом Методом эквивалентного генератора рассчитать ток в ветви с R3.  
       

Вариант №4
Основные расчетные соотношения - student2.ru

  Составить две системы уравнений электрического равновесия для мгновенных и комплексных значений электрических величин.
Основные расчетные соотношения - student2.ru

  R=4 кОм L=8 мГн C=0,1 нФ w=106 рад/с  
Определить полную мощность, потребляемую цепью, если U1-2=1 В.
Для схемы задания 1 составить уравнения контурных токов и узловых

напряжений и решить их для численных значений: R1=R2=R3= XC1=100 Ом;

XL1= XL2=25 Ом; Основные расчетные соотношения - student2.ru 1=12 В, Основные расчетные соотношения - student2.ru 2=18 В, Основные расчетные соотношения - student2.ru 1=1 A

Основные расчетные соотношения - student2.ru

R1=1 кОм; J1=0,4 мА; Е1 =1 В; XC1=3 кОм; XL1=2 кОм Рассчитать методом наложения ток в сопротивлении R1.
Основные расчетные соотношения - student2.ru

E1=10 В; E2=20×еj90°; J=2×еj45° мA R1= 1 кОм R2=2 кОм R3=5 кОм XL1=4 кОм; XL2 =4 кОм Методом эквивалентного генератора рассчитать ток в ветви с R1.

Вариант №5
Основные расчетные соотношения - student2.ru

  Составить две системы уравнений электрического равновесия для мгновенных и комплексных значений электрических величин.
Основные расчетные соотношения - student2.ru

R1=5 кОм; L1=10 мГн; C1=0,1 нФ; w=106 рад/с    
Определить полную мощность, потребляемую цепью, если U1-2=1 В.

Наши рекомендации