Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые

Отображение Вейля представляет собой билинейное отображение Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru , обладающее следующими свойствами:

• (билинейность) Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru

• e(P,P) = 1 для любого P ∈ E[n],

• (невырожденность) (∃P, Q ∈ E[n]) Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru ,

• (вычислимость) e(X,Y ) может быть эффективно вычислено.

Если степень вложения k принимает небольшие значения (до k = 6), то для поиска ключа шифрования вместо решения задачи ДЛЭК можно решать более легкую задачу вычисления дискретного логарифма в конечном поле размерности qk. Таким образом, эллиптические кривые, допускающие вложение в конечные поля с небольшой степенью k, не могут быть использованы в криптографии. Таковыми, например, являются все суперсингулярные кривые, имеющие степень вложения k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Кривая Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru называется суперсингулярной, если ее мощность #E = pr + 1 − t, и p|t.

Примером суперсингулярной кривой может служить кривая E : Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru (mod p), если характеристика поля p ≡ 2 (mod3), тогда E содержит p + 1 элемент, t = 0 и E имеет степень вложения, равную 2.

Способ вычисления дискретного логарифма на ЭК, использующий сведение Вейля, получил называние MOV-атаки.

Многие протоколы, использующие шифрование и электронные цифровые подписи на эллиптических кривых, специально запрещают использование суперсингулярных кривых. Таким образом, суперсингулярные кривые были изъяты из криптографии.

Однако в 2002 году А.Джоукс нашел неожиданное применение спариванию Вейля и суперсингулярным кривым для построения однораундового протокола выработки общего секретного ключа на основе метода Диффи-Хеллмана. Далее были найдены и другие, не менее интересные приложения такие, как, например, построение открытого ключа пользователя на основе его общеизвестных идентификационных данных таких, как, например, имя или адрес электронной почты (identity based open keys) (см. Advances in Elliptic Curve [?]).

Вычисление кратного точки ЭК с помощью MOV– алгоритма

Пусть заданы эллиптическая кривая EC : y2 = Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru (modpr), и точки P , Q ∈ EC порядка n, где n–простое число, причем существует m такое, что Q = mP . Требуется найти множитель m. Отображение Вейля будем обозначать через e(X,Y ). Алгоритм вычисления m заключается в

следующем:

1. Находим случайную точку Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru

2. Находим порядок M точки T .

3. Находим d =Н.О.Д.(n,M). Если d = 1, то возвращаемся к п.1. Иначе, перейдем к следующему пункту. Определим, что в этом случае т.T имеет порядок n.

4. Вычислим a = e(P,T) и с = e(Q,T).

5. Вычисляя дискретный логарифм в поле Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru , найдем искомый множитель m.

Отметим, что можно выполнять этот алгоритм с составным n, тогда число d может оказаться собственным делителем n и найденный множитель окажется равным m mod d. В этом случае можно повторять вычисление с различными точками Ti, вычисляя mi = m mod di до тех пор, пока

произведение различных di не станет больше или равно n. После этого можно найти m с помощью китайской теоремы об остатках.

Замечание. Если речь идет о произвольной точке Q, то прежде, чем вычислять дискретный логарифм, полезно знать, найдется ли такое m, что Q = mP . Эту проверку можно выполнить, используя следующее утверждение:

Теорема 6.1. Для произвольной т. Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru найдется число m такое, что Q = mP в том и только в том случае, если выполняются два условия:

1. nQ = ∞,

2. e(P, Q) = 1.

19. Пусть Е: Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru - эллиптическая кривая над алгебраически замкнутым полем К, n-положительное число и E[n] – подгруппа точек кривой Е порядка n: Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru (1)

Пусть точка Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru Рассмотрим дивизор Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru Его степень равна 0, а сумма Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru . По теореме 6.2 найдется функция Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru дивизор которой равен D:

Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru (2)

Будем называть функцию Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru удовлетворяющую (2), функцией Вейля.

Алгоритм Миллера вычисления функции Вейля Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru

1. Найдем бинарное представление числа Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru

2. Определим исходные значения переменной Z и функции f равными P и 1 соответственно.

3. Выполняем цикл по i от i = t – 1 до i = 0:

Установим Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru

Если Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru тогда выполним операцию сложения P + Z: Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru

4. Определим выходное значение функции Вейля Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru

20.Преобразование Вейля. Пусть Е: Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru - эллиптическая кривая над алгебраически замкнутым полем К, n-положительное число и E[n] – подгруппа точек кривой Е порядка n:

Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru (1)

Пусть точка Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru Пусть Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru не принадлежит орбите P, т.е не совпадает ни с каким кратным Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru точки Т. Рассмотрим дивизоры Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru где R – произвольно выбранная точка.

Опр.

Отображение Вейля – это билинейное отображение Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru

где Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru - подгруппа по умножению корней n-й степени из 1 поля К, задаваемое следующей формулой: Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru или другой вид Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru

Преобразование Тейта. Пусть точка Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru Обозначим через Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru множество точек Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru а через Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru мн-во классов эквивалентностей кривой Е по множеству Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru .

Опр.

Отображение Тейта – это билинейное отображение Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru где Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru - подгруппа по умножению корней n-й степени 1 поля Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru задаваемое следующей формулой: Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru где Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru

Важным отличием отображения Тейта от преобразования Вейля является то, что оно не вырождено (не равно 1) при P = Q.

21. Использование преобразования Вейля в трехстороннем протоколе Диффи-Хелмана.

Идея алгоритма Диффи-Хеллмана легко может быть обобщена на несколько участников. Приведем пример для случая n = 3:

1. Каждый из участников A, B, и C вырабатывает секретный ключ

Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru , Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru и Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru соответственно и вычисляет точки Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru = Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru G, Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru = Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru G и

Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru = Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru G, которые пересылает по циклу A к B, B к C, C к A.

2. Далее, участники A, B, и C вычисляют точки Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru = Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru , QB =

Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru , Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru = Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru соответственно и пересылают по тому же циклу.

3. На последнем шаге вычисляется общая точка R = Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru G,

домножением точки, полученной на предыдущем шаге, на соответствующий

секретный ключ: R = Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru G= Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru = Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru = Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru

Замечание 1. Выполнение протокола Диффи-Хеллмана для двух

участников требует два обмена данными, для трех – уже шести обменов, а

для произвольного n – n! обменов данными, что является слишком большим

числом при сравнительно небольших n.

Основной ответ:

Протокол Диффи-Хеллмана генерации общего секретного ключа для трех

участников (Tripple Diffi–Hellman) с использованием преобразований Вейля–Тейта.

Рассматривается эллиптическая кривая EC : Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru

и точка P большого порядка n.

Каждый из участников A,B и C выбирает случайное число Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru , Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru и Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru

на интервале [2; n − 1] и вычисляет точку Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru , Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru , Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru соответственно, которую пересылает остальным участникам.

3. Теперь каждый участник вычисляет общий элемент конечного расширения поля Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru ,

где n| Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru − 1 по формуле

k = Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru = Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru = Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru = Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru

Выигрышем применения преобразований Вейля–Тейта является

уменьшение числа информационных обменов по сети (от 6 до 3).

22. Сведение проблемы вычисления кратного на ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в конечных полях.

Пусть заданы эллиптическая кривая EC : Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru ,

и точки P , Q ∈ EC порядка n, где n–простое число, причем существует

m такое, что Q = mP . Требуется найти множитель m. Отображение Вейля

будем обозначать через e(X, Y ). Алгоритм вычисления m заключается в

следующем:

1. Находим случайную точку T ∈ EC( Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru ).

2. Находим порядок M точки T .

3. Находим d =Н.О.Д.(n,M). Если d = 1, то возвращаемся к п.1.

Иначе, перейдем к следующему пункту. Определим, что в этом случае т.T

имеет порядок n.

4. Вычислим a = e(P, T) и с = e(Q, T).

5. Вычисляя дискретный логарифм в поле Свойства отображения Вейля. Сведение проблемы вычисления кратного ЭК к проблеме дискретного логарифмирования в КП. Суперсингулярные кривые - student2.ru , найдем искомый

множитель m.

Отметим, что можно выполнять этот алгоритм с составным n, тогда

число d может оказаться собственным делителем n и найденный множитель

окажется равным m mod d. В этом случае можно повторять вычисление

с различными точками Ti , вычисляя mi = m mod di до тех пор, пока

произведение различных di не станет больше или равно n. После этого можно

найти m с помощью китайской теоремы об остатках.

Замечание. Если речь идет о произвольной точке Q, то прежде,

чем вычислять дискретный логарифм, полезно знать, найдется ли такое

m, что Q = mP . Эту проверку можно выполнить, используя следующее

утверждение:

Теорема.

Для произвольной т.Q ∈ EC(Fqk) найдется число m такое,

что Q = mP в том и только в том случае, если выполняются два условия:

1. nQ = ∞,

2. e(P,Q) = 1.

23.Вирусы, их виды и классификация.

1) Компьютерные вирусы – самовоспроизводящаяся программа размещающаяся на жестком диске.

2) Сетевой червь.

3) Троянский конь – вредоносное ПО, внедряющееся или заменяющее полезные программы.

4) Программы зомби – перехватывающие управление компьютером для удаленных хакеров.

5) Шпионские программы.

6) Программы для фишинга (рекламные) – обманные рассылки с целью получения конфиденциальной информации или коммерческой выгода.

7) Pharming – переход на поддельные сайты маскирующиеся под легальные.

8) Мобильные вирусы.

Наши рекомендации