Орнықтылықтың жиіліктік критерийлері

5.5.1 Михайлов критерийі

Михайловтың орнықтылық критерийі жиіліктік критерийлердің қатарына жатады және годографтың түрі бойынша тұйықталған жүйенің орнықтылығын бағалауға мүмкіндік береді. Годографты сипаттамалық теңдеуден алуға болады

. (5.28)

деп ұйғарайық, онда аламыз

. (5.29)

Жиілік ( ; ) аралығында өзгергенде (5.29) теңдеуі комплексті жазықтықта годографты салуға мүмкідік береді және оның түрі бойынша жүйенің орнықтылығы туралы қорытындылауға болады.

Сипаттамалық теңдеу (5.28) n түбірі болады, олардың ішінде нақты, комплексті және жорамал қос-қостан түйіндес, сондай-ақ нольдік түбірлер болуы мүмкін.

(5.28) теңдеуін әрқашанда мына түрге келтіруге болады

. (5.30)

Егер , онда (5.30) өрнегі мына түрді қабылдайды

, (5.31)

яғни

, (5.32)

мұнда - D(jω) векторының модулі;

- D(jω) векторының аргументі.

Сипаттамалық теңдеудің түбірлері s₁, s₂, …, s_n болып табылады, сондай-ақ (5.31) өрнегінің оң жағындағы (jω - s_i) көбейткіштері комплексті жазықтықта сәйкес векторлармен кескінделеді (сурет 5.5).

Мысалы, s₁ мен s₂ комплексті түйіндес қос түбірлер болып табылады және сол жақ жарты жазықтықта (А және В нүктелері) жатқан ОА және ОВ векторларымен сипатталады. тәуелсіз айнымалысы жорамал осьтегі Е нүктесі арқылы белгіленіп және оны А мен В нүктелері арқылы түзу сызықпен қосып, АЕ және ВЕ векторларын аламыз, ал олар (jω – s₁) және (jω – s₂) көбейткіштеріне сәйкес болады. Ұқсастық бойынша қалған түбірлер үшін де кескіндеулерді орындауға болады және осылайша әр (jω - s_i) көбейткішін сәйкес вектормен кескіндейміз.

Сурет 5.5

Ұйғарайық, n дәрежелі сипаттамалық теңдеудің барлық түбірлерінің ішінде m түбірі оң жарты жазықтықта орналасып, ал қалған n – m түбірі жорамал осьтің сол жағында орналасқан және теріс нақты бөлікті болады деп. D(jω) векторы аргументінің өзгеруін, яғни жиілік ( ; ) аралығында өзгергендегі табамыз. болады, онда жиілк көрсетілген диапазонда өзгергенде барлық (jω – s_i) векторлары аргументтері-нің өзгеруінің қосындысы D(jω) векторы аргументінің өзгеруін анықтайды.

Жиілік ω минус шексіздіктен плюс шексіздікке дейін өзгерген кезде Е нүктесі комплексті жазықтықтың жорамал осінде орналасады да (сурет 5.5), минус шексіздіктегі орнынан плюс шексіздіктегі орынға жылжиды. Бұл сипаттамалық теңдеудің s_i түбірі анықталатын нүктелердің айналасында (jω – s_i) векторларының айналуын ту-дырады. Сол жақ жарты жазықтықта орналасқан түбірлер үшін (jω – s_i) век-торларының әрқайсысы сағат тіліне қарама-қарсы айналатын болады және жиілік минус шексіздіктен плюс шексіздікке дейін өзгерген кезде олардың әрқайсысы 180^о айналады.

Мысалы, (jω – s₁) және (jω – s₂) векторлары А және В нүктелерінің маңайын айнала отырып, сағат тіліне қарсы әрқайсысы +180^о бұрылады (сурет 5.5). Оң жақ жарты жазықтықта орналасқан түбірлер үшін, сәйкесінше (jω – s_i) векторлары сағат тілі бойынша –180^о айналатын болады, мысалы, (jω – s₄) және (jω – s₅) векторлары жиілігі сол көрсетілген шекте өзгерген кезде, –180^о бұрылады. Сағат тіліне қарсы айналуды оң, ал сағат тілі бойынша айналуды теріс деп қабылдай отырып, қорытынды жасауға болады: ω жиілігі минус шексіздіктен плюс шексіздікке дейін өзгерген кезде, сол жақ жарты жазықтықта орналасқан (jω – s_i) векторларының әрқайсысы өз аргументін +180^о өзгертеді, ал оң жақ жарты жазықтықта болатын (jω – s_i) векторларының әрқайсысы –180^о өзгертеді. Сол жақ жарты жазықтықтағы түбірлердің саны n – m болғандықтан, (jω – s_i) түрлі сол жақ векторлардың жалпы аргументтерінің өзгерісі (n – m)π тең болады. Оң жақ жарты жазық-тықта m түбір орналасқан, ал барлық оң векторлардың аргументтерінің жалпы өзгерісі –mπ тең шаманы тудырады. Жиілік ω минус шексіздіктен плюс шексіздікке дейін өзгерген жағдайда D(jω) векторы аргументінің қорытынды нәтижелік өзгеруі

. (5.33)

Формула (5.33) орнықсыз жүйенің D(jω) векторы аргументінің өзгерісін анықтайды, себебі m ≠ 0. m = 0 деп ұйғарсақ, табамыз

. (5.34)

Формула (5.34) орнықты жүйенің D(jω) векторы аргументінің өзгеруін анықтайды және барлық түбірлер сол жақ жарты жазықтықтан табылған жағдайға сәйкес болады.

Теріс жиілік диапазонын алып тастауға болады, себебі D(jω) годографы оң жиілік үшін және D(-jω) годографы теріс жиілік үшін нақты оське қатысты симметриялы орналасқан. Бұл мынадан шығады

, (5.35)

мұндағы ω айнымалысына қатысты - жұп функция, ал - тақ функция.

Теріс жиілік диапазонын алып тастау D(jω) векторы аргументінің өзгеруін екі есеге кішірейтеді. (jω - s_i) векторлары жиілік нольден (0) плюс шексіздікке дейін өзгергенде аргументтің өзгерісі екі есе кіші болады, қарастырылған жағдай салыстырғанда.

Сонымен, (5.34) формуласын мына түрде көрсетуге болады

. (5.36)

Формула (5.36) тұйықталған жүйе орнықтылығының қажетті және жеткілікті шартын анықтайды және сонымен қатар, Михайлов критерийінің математикалық жазылуы болады.

Михайловтың орнықтылық критерийі:тұйықталған күйдегі жүйенің орнықтылығы үшін қажетті және жеткілікті, жиілік нольден (0) плюс шексіздікке дейін өзгерген кезде D(jω) векторы өз ұшымен Михайлов қисығын сызып, өзінің қозғалысын нақты оң осьтен бастап және сағат тіліне қарсы айналып, еш жерде нольге айналмай ретімен n квадранттан өткені.

Орнықты жүйе үшін Михайлов қисықтары сурет 5.6а) көрсетілген, онда сипаттамалық теңдеулер реті n = 1,3,5.

n = 3 болғанда D(jω) векторы жиілік өскен кезде координаталар басы айналасында сағат тіліне қарсы бұрылып, ретімен үш квадрантты: I, II және III өтеді. III квадрантта D(jω) векторының модулі шексіз үлкен болып өседі. n = 5 болғанда D(jω) векторы I, II, III IV квадранттарынан және қайтадан I квадранттан өтеді. Бұл жағдайларда D(jω) векторы еш жерде нольге айналмайды.

а) б) в)

Сурет 5.6

Егер критерийде жазылған шарт бұзылса, онда жүйе орнықсыз болады. Орнықсыздық белгілері ретінде мына жағдайлар қарастырылуы мүмкін: Михайлов қисығы оң нақты осьтен басталмауы мүмкін (n = 1 болғанда годограф 1, сурет 5.6б); Михайлов қисығы координаталар басы арқылы өтеді (n = 3 болғанда годограф 1, сурет 5.6в); D(jω) сипаттамалық векторының квадранттарды өту реті бұзылады (годограф 2, сурет 5.6б).