Елементи матлогіки

Алгебра висловлювань

1.Поняття висловлювань

Під висловленням розуміють будь-яке твердження про яке можна сказати, що воно істинне чи хибне.

Наприклад, твердження, що 3>2 істинне, 2>3 – хибне.

Відмітимо, щодовільне визначення не являється висловленням. Теореми (будь-яка) є висловленням. Наприклад, колом є замкнута крива, точки якої рівновіддалені від заданої – не є висловленням.

Висловленням є: якщо f(x) диференційована в околі Х₀, то вона неперервна.

В подальшому матлогіка не цікавиться змістом висловлень, а лише їх істинністю чи хибністю. Висловлення позначається p, q, r, s, t… Істинне висловлення приймають «1», якщо хибне «0».

Над висловленням визначені наступні операції: заперечення, диз’юнкція, кон’юнкція, імплікація, еквівалентність.

Визначення

1. Запереченням ( або ùp) висловлювання p є висловлювання, яке істинне, коли p – хибне і хибне, якщо p істинне.

2. Диз’юнкцією ( ) висловлювань p і q називають висловлення, яке є хибним, коли p і q хибні і істинне в інших випадках.

3. Кон’юнкція ( ) висловлювань p і q називають висловленням, коли воно є істинне лише коли при p і q – істинні, і хибне в інших випадках.

4. Імплікація висловлень p і q називають висловлення, яке є хибним лише коли p істинне а q - хибне і істинне в інших випадках.

5. Еквівалентністю висловлювань p і q називають висловлення, яке є істинним тоді і тільки тоді, коли p і q мають однакові істинності значення.

Таблиця істинності

змінні	змінні	НЕ	АБО	І	ЯКЩО	Тоді і тільки тоді
	Заперечення	Диз‘юнкція	Кон‘юнкція	Імплікація	Еквівалентність

Через P позначено множену усіх висловлень. На множені P визначенні: унітарна операція ùі бінарні відносно яких P є замкнута ( у множені P містяться окрім окремих висловлень також результати операцій над ними). Оскільки аргументи функції та результати дії операцій належать одній і тій ж множині, то виникає алгебра логіки.