Функціональна пропедевтика в початковій школі
Поняття функції є одним із фундаментальних математичних понять. Велика увага його формуванню надається в курсі математики середньої школи.
В початковій школі формуються початкові уявлення про функціональну залежність, хоч можливості досить обмежені, але вчитель повинен їх використовувати.
І етап
Одні з найпростіших видів функціональної залежності є пряма і обернена пропорційності.
Якщо є 3 величини а, b, с і відношення двох дорівнює третій, тобто 
, причому а (це третя величина) стала, то перші дві величини змінюються прямо пропорційно.
Чим більша кількість, тим більше вартість при однаковій ціні.
Ціна = 
Якщо ж одна з трьох величин дорівнює добутку двох інших, тобто 
, і її значення однакове (стале), то дві інші пов’язані обернено пропорційною залежністю.
Вартість = ціна · кількість
↓ ↓ ↓
стала = k у х
(однакова) 
При сталій (однаковій) вартості чим більша кількість, тим менша ціна і навпаки.
У початковій школі учні отримують перші уявлення про ці залежності. І перш за все тому, що вони мають загальноосвітнє значення, зустрічаються в повсякденному житті дітей.
Приклади:
| № | а | b | с |
| 1) | Ціна товару | Кількість товару | Вартість товару |
| 2) | Норма виробітку | Час роботи | Загальний виробіток |
| 3) | Маса 1 предмета | Кількість предметів | Загальна маса |
| 4) | Врожайність | Площа | Врожай |
| 5) | Швидкість | Час | Відстань |
| 6) | Витрати матеріалу на 1 виріб | Кількість виробів | Загальні витрати |
| 7) | Продуктивність праці | Час | Загальний виробіток |
| 8) | Місткість 1 посудини | Кількість посудин | Загальна місткість |
| 9) | Заробіток за 1 годину | Час | Загальний заробіток |
З величинами діти знайомляться через задачі.
Спочатку вчаться розв’язувати прості задачі з пропорційними величинами (після ознайомлення з діями ділення і множення).
Перші уявлення – при ознайомленні з конкретним смислом дії множення. Наприклад:
Маса однієї посилки 3кг. Яка маса 6 таких посилок?
Маса порося 18кг. Яка маса 3-х поросят?
Банка вміщує 3л соку. Скільки соку треба, щоб заповнити 4 таких банки?
На дитяче пальто витрачають 2м драпу. Скільки таких пальт можна пошити з 6м драпу?
Перші задачі спочатку можна коротко записати «традиційно».
1 пос. – 3 кг
6 пос. – ?
А далі показати інший варіант в таблиці.
| Маса 1 посилки | Кількість посилок | Загальна маса посилок |
| 3кг | ? |
Якщо важко вибрати дію, ілюструємо кресленням:
Далі звертається увага на зв'язок між величинами; як знаходити масу 1 предмета, кількість, загальну масу і т.д. Тобто встановлюється залежність між величинами і формулюються висновки.
Корисні вправи:
| Ціна | Кількість | Вартість |
| ? | ||
| ? | ||
| ? |
і з іншими величинами.
| Ціна | Кількість | Вартість |
| ? | ||
| ? | ||
| ? | ||
| ? |
Аналогічно:
однакова кількість (4; 4; 4; 4)
однакова вартість (40; 40; 40; 40).
Кожний рядок – окрема задача.
Встановлюємо, про які величини йдеться в задачі. Які величини відомі?
Яку треба знайти? Як?
Далі аналізуємо:
1. Зростає кількість; зростає вартість (ціна стала).
2. У скільки разів зростає кількість, у стільки разів зростає вартість.
У цій роботі потрібна система.
ІІ етап
Задачі на знаходження четвертого пропорційного.
Наприклад. Маса 6 однакових посилок 18 кг. Яка маса чотирьох таких самих посилок?
Умову доцільно подати в таблиці (складати разом).
- Про які величини іде мова?
- Про які відомо?
(про одну – 2 даних
про другу – 1 дане
третя – однакова)
| Маса 1 посилки | Кількість | Загальна маса |
| Однакова | 18 кг ? |
Задачі на четверте пропорційне називають задачами на потрійне правило.
Є три величини: відомо 2 значення – однієї;
1 значення другої величини, а друге – треба знайти;
значення третьої величини – стале.
Потрійне правило прийшло в Європу з Індії через посередництво Хорезмі і Леонардо Фібоначчі, а з Європи до нас.
Його довго вважали самим корисним в комерції і життєвій праці.
Це «ключ купців» - так його називали.
При вивченні арифметики (до ІХ ст.) його заучували догматично: «перемнож 2 останні, діли на першу».
На знаходження трьох величин за даним сюжетом можна скласти 12 задач на знаходження четвертого пропорційного.
| Ціна а | Кількість b | Вартість с | |
| Пряме зведення до 1 | Однакова |   |   - ? |
| Однакова | | - ? | |
| Обернене зведення до 1 | Однакова | - ? | |
| Однакова | - ? | |
Аналогічно 4 задачі при однаковій кількості. Це 8 задач з прямою пропорційності.
Ще 4 задачі при однаковій вартості.
Три прийоми розв’язування задач на знаходження четвертого пропорційного:
1. Спосіб прямого зведення до 1
2. Спосіб оберненого зведення до 1
3. Спосіб відношення
Всі вони вивчаються в початковій школі.
Питання для самоконтролю
1. Що є алфавітом математичної мови?
2. Що називається числовим виразом, значенням числового виразу?
3. Який вираз називається виразом зі змінною?
4. Що називається областю визначення виразу зі змінною?
5. Які вирази називаються тотожно рівними?
6. Що називається числовою рівністю?
7. Що називається числовою нерівністю?
8. Сформулюйте властивості істинних числових рівностей і нерівностей?
9. Що називається рівнянням з однією змінною, розв’язком рівняння?
10. Сформулюйте теореми про рівносильність рівнянь та наслідки з них.
11. Що називається нерівністю з однією змінною, розв’язком нерівності?
12. Сформулюйте теореми про рівносильність нерівностей та наслідки з них.
13. Дайте означення функції, графіка функції.
14. Які існують способи задання функції?
15. Яка функція називається лінійною? Її графік.
16. Яка функція називається прямою пропорційністю? Їх графіки.
17. Яка функція називається оберненою пропорційністю? Їх графіки.
Система вправ
1. Обчисліть значення числового виразу:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
.
2. Знайдіть область визначення виразу:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
.
3. Спростіть вираз:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
.
4. Знайдіть значення виразу раціональним способом:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
5. Розв’яжіть рівняння використовуючи теореми про рівносильність рівнянь та наслідки з них:
1) 
; 2) 
;
3) 
.
6. Розв’яжіть рівняння, використовуючи залежність між компонентами і результатами дій:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
7. Розв’яжіть нерівності, використовуючи теореми про рівносильність нерівностей та наслідки з них:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
8. Підберіть з підручників математики початкової школи завдання на обчислення значень числових виразів, виразів зі змінною.
9. У підручниках початкової школи знайдіть вправи на розв’язання нерівностей.
10. Використовуючи підручники Математика 3 клас, 4 клас знайдіть вправи на розв’язання найпростіших рівнянь і рівнянь на дві дії та способи їх розв’язування.
11. Використовуючи підручники Математика 3 клас, 4 клас знайдіть текстові задачі, які формують уявлення про функціональну залежність (пряму пропорційність, обернену пропорційність, лінійну функцію).
Розділ VI