Решение СЛАУ методом Гаусса

Обратная матрица

Матрица Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru называется обратной к матрице Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru если AB = BA = Е; при этом пишут Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru Матрица А имеет обратную только в том случае, если она невырожденная, то есть если Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru . Если Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru – невырожденная матрица, то

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

где Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru алгебраические дополнения элементов Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Системы линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система уравнений вида

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Система называется однородной, если свободные члены равны нулю: Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru Однородная система всегда является совместной - она имеет решение Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru (возможно, не единственное).

Матрицы

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно; столбцы Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru называются столбцом неизвестных и столбцом свободных членов соответственно. С учетом этих обозначений систему можно записать в матричной форме Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Решение СЛАУ с помощью обратной матрицы (матричный способ)

Система совместна при Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru и имеет единственное решение – столбец Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Задачи

Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия.

1.Найти обратную матрицу к матрице А и сделать проверку, если:

1) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ;

Решение. Вычислим Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Матрица A невырожденная, следовательно, имеет обратную матрицу.

Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A:

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Тогда Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Проверка

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

.

2) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Ответ. 1) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ; 2) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

2.Решить СЛАУ матричным способом:

1) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Решение. Пусть Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru , Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru , Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Тогда систему можно записать в матричном виде Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru . Умножая последнее

равенство на Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru слева, получим: Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru , Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Найдем detA: Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru . Следовательно, существует обратная

матрица Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru : Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru . Желательно сделать проверку:

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Отсюда Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Имеем Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru , т.е. Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

2) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Ответ. 1) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ; 2) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

3.Даны Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru , Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru , Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru . Решить матричные уравнения:

1) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ; 2) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ; 3) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Решение. 1) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru . Умножим слева на Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru : Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru , Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Найдем Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru , Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Матрица A невырожденная, т.е. имеет обратную матрицу.

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

2) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru . Умножим справа на Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru : Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru , Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

3) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru . Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ;

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Ответ. 1) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ; 2) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ; 3) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Задания для самостоятельного решения

1.Найти g(A), если:

1) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ;

2) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ;

3) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Ответ. 1) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ; 2) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ; 3) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

2.Решить матричные уравнения:

1) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ; 2) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Ответ. 1) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ; 2) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Правило Крамера

Обозначим

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

(определитель Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru получается из D заменой i-го столбца на столбец свободных членов). Правило Крамера состоит в том, что при Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru СЛАУ совместна и имеет единственное решение Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Решение СЛАУ методом Гаусса

При решении методом Гаусса расширенную матрицу Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru системы элементарными преобразованиями приводят к трапецеидальному виду. Затем, начиная с последнего уравнения, последовательно находят неизвестные.

К числу элементарных преобразований относят:

1) перестановку столбцов или строк;

2) умножение столбца (строки) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к столбцу (строке) другого столбца (другой строки), умноженного предварительно на некоторое число;

4) зачеркивание нулевого столбца (строки).

Трапецеидальной матрицей называется матрица Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru имеющая вид

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

где Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Задачи

Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия.

1.Решить систему по правилу Крамера:

1) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Решение. Находим главный определитель системы:

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru . Следовательно, система имеет единственное решение. Формулы Крамера:

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru , Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru , Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Вычислим определители Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru , Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru , Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

В главном определителе первый столбец заменили столбцом свободных членов.

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

В главном определителе второй столбец заменили столбцом свободных членов.

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

В главном определителе третий столбец заменим столбцом свободных членов.

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Находим Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru , Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru , Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ; Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ; Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

2) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Ответ. 1) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ;

2) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

2.Решить СЛАУ методом Гаусса:

1) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Запишем расширенную матрицу системы и выполним эквивалентные преобразования. В результате получим:

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Последней матрице соответствует система линейных уравнений треугольного вида, т.е имеет единственное решение:

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru Получим решение системы:

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Метод последовательного исключения неизвестных предусматривает, что переменные можно исключать в любом порядке.

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Последней матрице соответствует система линейных уравнений:

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

2) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Запишем расширенную матрицу системы и выполним эквивалентные преобразования. В результате получим:

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

В последней матрице отбросили нулевую строку. Запишем систему линейных уравнений, соответствующую последней матрице:

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Эта система является совместной и неопределенной. Перенесем одно неизвестное, например Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru , в правую часть последнего уравнения системы, получим решение:

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Неизвестному Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru можно придать любые значения, поэтому система имеет бесчисленное множество решений.

Рассуждая в терминах строчного ранга матрицы, можно заключить, что ранг матрицы системы равен 3 (число ненулевых строк после применения к ней метода Гаусса), а количество свободных неизвестных равно Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru (n-число неизвестных системы).

3) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Выполнив над системой эквивалентные преобразования, получим:

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Получим систему:

Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru

Получили противоречивый результат Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru . Система несовместна (ранг расширенной матрицы, равный 4, оказался больше ранга матрицы системы, равный 3).

4) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Ответ. 1) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ; 2) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru ;

3) Система несовместна; 4) Решение СЛАУ методом Гаусса - student2.ru .

Наши рекомендации