Решение СЛАУ методом Гаусса
Обратная матрица
Матрица называется обратной к матрице если AB = BA = Е; при этом пишут Матрица А имеет обратную только в том случае, если она невырожденная, то есть если . Если – невырожденная матрица, то
где алгебраические дополнения элементов
Системы линейных алгебраических уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система уравнений вида
Система называется однородной, если свободные члены равны нулю: Однородная система всегда является совместной - она имеет решение (возможно, не единственное).
Матрицы
называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно; столбцы называются столбцом неизвестных и столбцом свободных членов соответственно. С учетом этих обозначений систему можно записать в матричной форме
Решение СЛАУ с помощью обратной матрицы (матричный способ)
Система совместна при и имеет единственное решение – столбец
Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия.
1.Найти обратную матрицу к матрице А и сделать проверку, если:
1) ;
Решение. Вычислим .
Матрица A невырожденная, следовательно, имеет обратную матрицу.
Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A:
Тогда
Проверка
.
2) .
Ответ. 1) ; 2) .
2.Решить СЛАУ матричным способом:
1)
Решение. Пусть , , .
Тогда систему можно записать в матричном виде . Умножая последнее
равенство на слева, получим: , .
Найдем detA: . Следовательно, существует обратная
матрица : . Желательно сделать проверку:
.
Отсюда .
Имеем , т.е. .
2)
Ответ. 1) ; 2) .
3.Даны , , . Решить матричные уравнения:
1) ; 2) ; 3) .
Решение. 1) . Умножим слева на : , .
Найдем , .
Матрица A невырожденная, т.е. имеет обратную матрицу.
.
.
2) . Умножим справа на : , .
.
3) . .
;
.
Ответ. 1) ; 2) ; 3) .
Задания для самостоятельного решения
1.Найти g(A), если:
1) ;
2) ;
3) .
Ответ. 1) ; 2) ; 3) .
2.Решить матричные уравнения:
1) ; 2) .
Ответ. 1) ; 2) .
Правило Крамера
Обозначим
(определитель получается из D заменой i-го столбца на столбец свободных членов). Правило Крамера состоит в том, что при СЛАУ совместна и имеет единственное решение
Решение СЛАУ методом Гаусса
При решении методом Гаусса расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями приводят к трапецеидальному виду. Затем, начиная с последнего уравнения, последовательно находят неизвестные.
К числу элементарных преобразований относят:
1) перестановку столбцов или строк;
2) умножение столбца (строки) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к столбцу (строке) другого столбца (другой строки), умноженного предварительно на некоторое число;
4) зачеркивание нулевого столбца (строки).
Трапецеидальной матрицей называется матрица имеющая вид
где
Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия.
1.Решить систему по правилу Крамера:
1)
Решение. Находим главный определитель системы:
. Следовательно, система имеет единственное решение. Формулы Крамера:
, , .
Вычислим определители , , .
.
В главном определителе первый столбец заменили столбцом свободных членов.
.
.
В главном определителе второй столбец заменили столбцом свободных членов.
.
В главном определителе третий столбец заменим столбцом свободных членов.
.
Находим , , .
; ; .
2)
Ответ. 1) ;
2) .
2.Решить СЛАУ методом Гаусса:
1)
Запишем расширенную матрицу системы и выполним эквивалентные преобразования. В результате получим:
.
Последней матрице соответствует система линейных уравнений треугольного вида, т.е имеет единственное решение:
Получим решение системы:
Метод последовательного исключения неизвестных предусматривает, что переменные можно исключать в любом порядке.
.
Последней матрице соответствует система линейных уравнений:
2)
Запишем расширенную матрицу системы и выполним эквивалентные преобразования. В результате получим:
.
В последней матрице отбросили нулевую строку. Запишем систему линейных уравнений, соответствующую последней матрице:
Эта система является совместной и неопределенной. Перенесем одно неизвестное, например , в правую часть последнего уравнения системы, получим решение:
Неизвестному можно придать любые значения, поэтому система имеет бесчисленное множество решений.
Рассуждая в терминах строчного ранга матрицы, можно заключить, что ранг матрицы системы равен 3 (число ненулевых строк после применения к ней метода Гаусса), а количество свободных неизвестных равно (n-число неизвестных системы).
3)
Выполнив над системой эквивалентные преобразования, получим:
.
Получим систему:
Получили противоречивый результат . Система несовместна (ранг расширенной матрицы, равный 4, оказался больше ранга матрицы системы, равный 3).
4) .
Ответ. 1) ; 2) ;
3) Система несовместна; 4) .