Метод вузлових потенціалів

Лабораторна робота №1

Тема:Розрахунок лінійного електричного кола методом вузлових потенціалів та накладання.

Мета: Експериментально перевірити розрахунки стуму електричного кола методом вузлових потенціалів і накладання.

Короткі теоретичні відомості

Найтиповішою задачею розрахунку електричного кола є така, в якій за заданою конфігурацією схеми, параметрами її пасивних елементів і джерел електроенергії визначають струми віток, напру­ги на ділянках, споживані потужності. Для розв’язання поставленої задачі можна використовувати різні методи. Розглянемо два з них: метод вузлових потенціалів і метод накладання.

Метод вузлових потенціалів

Потенціал являє собою відносну величину і визначається залеж­но від вибору вихідної точки відліку, тому один з вузлів кола можна взяти за базисний і задати його потенціал будь-яким числом (як правило, його задають таким, що дорівнює нулю). У цьому разі потенціали інших вузлів однозначно розраховують за рівняннями. За знайденими потенціалами вузлів і заданими параметрами віток визначають струми в усіх вітках за другим законом Кірхгофа чи за законом Ома.

Кількість незалежних рівнянь, складених за методом вузлових потенціалів, буде (n—кількість вузлів у схемі).

Задамо довільним числом потенціал вузла nсхеми (зручно ) і складемо ( ) рівняння, потрібне для визна­чення потенціалів інших вузлів:

(2.1)

В загальному випадку g_kk— власна провідність k-го вузла, тобто сума провідностей усіх віток, що сходяться у k-му вузлі; g_km— сума провідностей усіх віток, які безпосередньо з’єднують вузли kі m, взятої зі знаком мінус. Якщо між будь-якими двома вузлами вітка відсутня, то відповідна провідність дорівнює нулю. У формуванні вузлового струму k-го вузла приймають участь ті вітки, що сходяться у вузлі, які містять джерела ЕРС і (або) струму. Якщо ЕРС p-вітки напрямлена до k-го вузла, то її внесок у формуванні вузлового струму дорівнює , а якщо ця ЕРС напрямлена від k-вузла, то її внесок у вузловий струм складає . Якщо до k-вузла підтікає струм від джерела струму, то він повинен бути введений до складу вузлового струму зі знаком плюс, якщо цей струм напрямлений від k-вузла, то він повинен входити до складу вузлового струму зі знаком мінус. Після розв’язку системи (2.1) відносно потенціалів вузлів, визначають струми у вітках за законом Ома для ділянки кола, що містить ЕРС.

Якщо в колі є вітки з ідеальними джерелами напруги, як базис доцільно вибрати вузол, до якого підходить максимальна кількість віток з ідеальними джерелами напруги. Потенціали вузлів, зв’язаних з базисною віткою при ідеальному джерелі напруги, визначаються за ЕРС джерел і є заданими. Рівняння складають лише для тих вуз­лів, потенціали яких залишаються невідомими.

Вітки з ідеальними джерелами напруги можна не приєднувати до базисного вузла. В цьому разі відомо різницю потенціалів на затискачах такої вітки, але потенціали затискачів вітки відносно базисного вузла залишаються невідомими, і необхідно складати рів­няння для так званих узагальнених вузлів. Під узагальненим вуз­лом треба розуміти будь-яку частину кола, охоплену замкненим контуром (для планарного кола) чи замкненою поверхнею (для непланарного кола). Вітку з ідеальним джерелом напруги можна охопити замкненим контуром (чи поверхнею)і розглядати як узагальнений вузол відносно всіх зовнішніх віток. Для узагальненого вузла, як і для звичайного,

справедливий І-й закон Кірхгофа.

Якщо всі точки зовнішніх віток виразити через потенціали вузлів і підставити їх у рівняння І-го закону Кірхгофа, дістанемо відсутнє рівняння вузла. За своїм складом воно відрізняється від звичайного вузлового рівняння (2.1):

де φ_a і φ_b— потенціали внутрішніх вузлів, тобто вузлів, охоплених замкненим контуром (чи поверхнею) (фактично це потенціали затискачів ідеального джерела напруги); g_aa, g_bb— сума провідностей віток, які перерізані на непарну кількість разів замк­неним контуром (чи поверхнею), що підходить до відповідного внут­рішнього вузла; φ₁, φ₂, ..., φ_k— потенціали зовнішніх вузлів, розміщених за краями замкненого контуру (чи поверхні); g_ab,k— сума провідностей віток, що з’єднують k-й вузол з узагальненим вузлом; I_ab— вузловий струм узагальненого вузла, тобто алгебраїчна сума струмів еквівалентних джерел струмів, зв’язаних з узагальненим вузлом.

Метод накладання

Для лінійних електричних кіл справедливий принцип суперпози­ції (накладання), який полягає в тому, що струм у будь-якій вітці можна одержати як результат накладання часткових струмів, які створює в цій вітці кожне з джерел енергії окремо.

Метод розрахунку, що базується на визначенні струму в тій самій вітці при почерговому впливі джерел енергії і наступному алгебраїчному додаванні цих часткових струмів, називається мето­дом накладання.

При розрахунку кіл методом накладання діють наступним чином: почергово розраховують часткові струми, що виникають від дії кожного джерела енергії, арешту ЕРС і джереластрумів умовно видаляють зі схеми, але зберігають в схемі їх внутрішні опори, і потім діючі струми віток визначають як алгебраїчну суму частковихструмів.

Зауваження. Метод вузлових потенціалів і метод накладання можна

застосовувати для розрахунку й аналізу лінійних електричних кіл

із синусоїдними джерелами електроенергії, при цьому рівняння слід записувати в комплексній формі.

Порядок виконання роботи

Схема блоку має вигляд:

R₁ = 14 Ом R₂ = 26 Ом R₃ = 34 Ом R₄ = 27 Ом

R₅ = 67 Ом E₁ = 13,1 B E₃ = 12,9 B