Связь между изучаемыми рядами наблюдений криволинейна

Как видно из формулы (10.34) 0 ≤ ηT ≤ 1. Чем ближе ηT к 1, тем

Связь между изучаемыми признаками более тесная. Так как

Рассматриваемые нами ряды наблюдений слишком коротки

(n < 30), необходимо проверить значимость полученных нами

параметров a и b (так же, как мы проверяли на значимость ).

Для этого мы применяем t-критерий Стьюдента. Выдвигаем ги-

Потезу H0, которая говорит о том, что полученные нами значе-

ния параметров а и b случайны, а на самом деле они равны 0.

Сначала определим значимость параметра b. Вычисляем рас-

четное значение t-критерия по формуле:

, (10.35)

Где — среднее квадратическое отклонение исходных зна-

чений результативного признака yi от теоретических (выров-

Ненных) .

Поэтому находится по формуле

. (10.36)

Применительно к результатам нашего примера имеем

.

Теперь по формуле (10.35) находим:

.

Далее tbрасч сравниваем с tтабл, а его мы нашли, когда про-

веряли на значимость по t-критерию Стьюдента (см. табл. 10)

Коэффициент корреляции.

Если tтабл = 2,78, так как tb расч > tтабл, то гипотеза H0 отбрасы-

вается и параметр b признается значимым. Теперь определим

значимость параметра а, для этого найдем расчетное значение

t-критерия по формуле

. (10.37)

Подставляя в формулу (10.37) данные рассматриваемого

примера, получаем:

.

Видно, что ta расч > tтабл, поэтому параметр а признается зна-

Чимым. Для проверки значимости уравнения регрессии в целом

можно применить F-критерий Фишера. Расчетное значение

F-критерия для случая парной корреляции имеет вид

. (10.38)

Fрасч сравнивается с табличным значением F-критерия

(приложение 4), который определяется по заданному уровню

значимости б и по степеням свободы v1 = 1 и v2 = n − 2. В том

случае, если Fрасч > Fтабл, уравнение регрессии в целом призна-

Ется значимым. Используя данные рассматриваемого примера

по формуле (10.38) вычисляем:

.

Выбираем ошибку первого рода (уровень значимости)

α = 0,05. В нашем случае: v1 = 1 (в случае парной корреляции

v1 = 1 всегда); v2 = 4. Затем по таблице F-критерия Фишера на-

ходим: Fтабл = 7,71. Так как в нашем случае Fрасч > Fтабл, то по-

Лученное уравнение регрессии (10.29) признается значимым с

ошибкой первого рода 5%. Вообще говоря (как мы уже упомина-

Ли в главе 8), коррелировать непосредственно уровни двух ря-

Дов можно только в том случае, когда в каждом из них отсутс-

Твует автокорреляция, так как ее наличие может существенно

Повлиять на величину коэффициента, измеряющего зависи-

Мость между изучаемыми показателями (в нашем примере это

Коэффициент корреляции и корреляционное отношение). Поэ-

Тому, прежде чем вычислять коэффициент корреляции между

рядами наблюдений x и y, надо каждый из этих рядов прове-

Рить на автокорреляцию.

Сначала проверим на автокорреляцию ряд x (хищения ог-

нестрельного оружия.) Для этого параллельно со значениями xt

запишем xt-1 (сдвинутые на единицу). А для того чтобы ряд не

Укоротился и характеристики обоих рядов были одинаковыми

( и ), последнее значение xt поставим первым в

столбце значений xt-1. Для измерения автокорреляции между

Уровнями одного ряда используем следующую модификацию

формулы коэффициента автокорреляции (8.41):

. (10.39)

Необходимые данные для расчета по формуле (10.39) при-

ведены в табл. 10.2.

Таблица 10.2

Год xt xt−1 xt ⋅ xt−1

1991 773 1130 597529 873490

1992 1138 773 1295044 879674

1993 1396 1138 1948816 1588648

1994 1352 1396 1827904 1887392

1995 1336 1352 1784896 1806272

1996 1130 1336 1276900 1509680

;

;

.

Теперь применяем формулу (10.39) и получаем

.

Далее по таблицам значения коэффициента автокорреля-

ции (приложение 9) находим raтабл по заданному уровню зна-

чимости б и имеющемуся объему выборки n. Примем α = 0,01,

объем выборки в нашем примере 6, т. е. n = 6. Тогда получаем

raтабл = 0,447. Так как ra < raтабл, то делаем вывод об отсутствии

автокорреляции в ряду xt (хищения огнестрельного оружия).

Проверим теперь на автокорреляцию ряд yt (вооруженные

Преступления). Данные, необходимые для расчета коэффици-

ента автокорреляции, приведены в табл. 10.3.

Таблица 10.3

Год yt yt−1 yt ⋅ yt−1

1991 4481 (9549) 20079361 42789069

1992 8873 4481 78730129 39759913

1993 19154 8873 3,6687571·108 1,6995344·108

1994 18059 19154 3,2612748·108 3,4590208·108

1995 12160 18059 1,478656·108 2,1959744·108

1996 9549 12160 91183401 1,1611584·108

;

;

;

Теперь используем формулу (10.39) и получаем:

.

Так как ra < raтабл, то делаем вывод об отсутствии автокор-

реляции в ряду yt (вооруженные преступления).