Как пример аффинного, евклидова и метрического пространств

Важнейшим примером аффинного пространства является пространство . Положим

,

.

Для любых и определим операцию . Проверим выполнение аксиом:

;

положим

.

Тогда

Предположим, что существует вектор такой, что . Пусть . Значит, . Так как , то и поэтому . Следовательно, – противоречие.

Таким образом, пространство с введенной в нем операцией откладывания вектора от точки становится n-мерным аффинным или точечным пространством. Упорядоченные наборы из чисел в зависимости от контекста рассматриваются либо как векторы, либо как точки, а операция складывания упорядоченных наборов, опять же в зависимости от контекста, рассматривается либо как сложение векторов, либо как откладывание вектора от точки.

В качестве системы координат в выбирают, как правило, следующую:

Эта система координат удобна тем, что в ней координаты точек и векторов совпадают с упорядоченными наборами, изображающими эти точки или векторы.

Введем в еще одну операцию. Скалярным произведением векторов и пространства назовем число

.

Свойства скалярного произведения

1°.

2°.

3°.

4°. причем

Свойства 1° – 4° вы легко докажете в качестве упражнения исходя из определения скалярного произведения в .

Пространство с введенной в нем операцией скалярного произведения называется евклидовым пространством (подробно категорию евклидовых пространств мы будем изучать в шестой главе).

Из свойства 4°скалярного произведения видно,что для любого вектора существует . Это позволяет ввести в понятие длины вектора.

Длиной вектора называется число .

Очевидно, если , то , т. е., как и в школьной математике, длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Приведем без доказательства еще два свойства скалярного произведения (доказывать их будем в 6-й главе).

Неравенство Коши – Буняковского:

, или ;

неравенство треугольника:

, или .

Из неравенства Коши – Буняковского вытекает, что для всех ненулевых векторов пространства выполняется неравенство , что дает возможность ввести понятие угла между векторами.

Углом между ненулевыми векторами и пространства называется угол такой, что

Введем еще в понятие расстояния между точками.

Расстоянием между точками М и N в пространстве называется число . Если , а , то

.

Таким образом, как и в школьной математике, расстояние между двумя точками в пространстве равно корню квадратному из суммы квадратов разностей их соответствующих координат.

Свойства расстояния

1°.

► ◄

2°.

►◄

3°. (неравенство треугольника).

►Вытекает из равенства и неравенства треугольника для векторов. ◄

Пространство с введенным таким образом расстоянием между двумя точками называется метрическим пространством.

Таким образом, замечательное пространство – это линейное, аффинное (точечное), евклидово и метрическое пространство.

Вопрос 8