В соответствии с (45) имеем

t = (0.008/0.09)×[(20´13)/13]^1/2 = 0.25

Полученное значение t нужно сравнить с t_a,n для выбранного уровня значимости; n взять равным n₁+ n₂ – 1. Если принять уровень значимости 0.05, то t_a,n находим по табл.III для a = 0.95 и n = 32; t_32,0.95 = 2.0.

Мы видим, что t_32,0.95 > t. Отсюда следует, что результаты двух серий анализов значимо не различаются. Если t_a,n < t , то результаты <x>₁ и <x>₂ не случайно отличны друг от друга.

Для оценки расхождения между среднимиможно воспользоваться также критерием Романовского [28]. Для этого напишем выра­жение

R = t/S_t.

Средняя квадратическая погрешность величины t – S_t зависит только от числа наблюдений n₁ и n₂. Она определяется по соотно­шению

S_t = [(n₁ + n₂ – 2)/(n₁ + n₂ – 4)]^1/2

Если R > 3, то расхождения <x>₁ –<x>₂ значимы. При R < 3 – рас­хождения можно считать случайными.

В таком виде критерий Романовского соответствует уровню значимости около 0.003. В рассмотренном примере t = 0.2 t = 0.25/(31/29) = 0.24 << 3. Следовательно, расхождение между средними случайно, и результаты анализа, полученные обоими лаборантами, совместны, то есть принадлежат одной совокупности.

Если для обоих рядов измерений нам известны значения гене­ральных дисперсий s₁² и s₂², то значимость расхождений определя­ется совсем просто. Находим дисперсию разности (<x>₁ – <x>₂), то есть s²:

s² = s₁²/n₁ + s₂²/n².

Пусть |<x>₁ – <x>₂| = k×s. Если k больше 2 или 3 (соответственно уро­вень значимости 0.05 или 0.003), то следует признать наличие (вернее, достаточно большую вероятность) неслучайного расхожде­ния. Если k меньше 2, то <x>₁ и <x>₂ значимо не различаются.

Насколько важно может быть определение существенности рас­хождений между средними, иллюстрируется историческим примером, который приведен А.К. Митропольским [11]. При сравнении Рэле­ем плотности азота, полученного из воздуха путем отделения от него кислорода, CO₂ и водяных паров, с плотностью азота, выде­ляемого из азотистых соединений, оказалось, что плотность воз­душного азота примерно на 0.5% больше плотности химически связанного азота. Статистический анализ (проведенный, правда, значительно позже работы Рэлея) показал значимое различие меж­ду этими плотностями. На основании разницы в плотности Рэлей предсказал и доказал существование аргона.

10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУБЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Вопрос о принадлежности результатов i-го измерения к дан­ному ряду решается на основании того, что большие случайные по­грешности менее вероятны», чем малые, и результат измерения, со­держащий погрешность столь большую, что вероятность ее появления в данном ряду практически равна нулю, следует отбросить, как за­ведомо ошибочный. Вопрос о том, какую вероятность следует счи­тать равной нулю, решается по тем же соображениям, которые были изложены выше.

Приведем пример использования этого правила. Возьмем ряд измерений длины (табл. 6). По данным табл. 6 находим среднее арифметическое <x> = 257.17, если учитывать все результаты, в том числе первого и десятого измерений. Но результат десятого измерения 266.0 – явный промах: вместо 5 записано 6. Если его отбросить, то <x> = 256.54. Однако в этом ряду 'подозрителен так­же и результат 258.5 (возможно, что записано 8 вместо 6). Если отбросить и его, то получится среднее арифметическое <x> = 256.30. Нетрудно понять, что такой метод отбрасывания результатов, кото­рые кажутся нам слишком сильно выпадающими из других измере­ний, порочен.

Таблица 6. Результаты измерения длины

Номер измерения	l	Номер измерения	l
	258.5		256.0
2.	255.4		266.0
	256.6		256.3
	256.7		256.5
	257.0		256.0
G	256.5		256.3
	256.7		256.8
	256.3

Таким способом легко получить завышенную и совершенно фик­тивную точность измерений. Действительно, значение S с учетом всех приведенных в табл. 6 значений получается равным 2.5. Если отбросим два измерения – № 1 и №10, то S окажется равным 0.4. Идя по этому пути, можно отбросить также измерения № 2, 5 и 15, тогда <x> = 256.39 и S окажется равным всего 0.26. Оче­видно, что такая малая погрешность появилась только как резуль­тат незаконного отбрасывания не понравившихся нам результатов измерений. Поэтому следует объективно оценить, является ли дан­ное измерение промахом или же результатом случайного, но совер­шенно закономерного отклонения.

Если нам известно точное значение s, то вероятность появле­ния значения, уклоняющегося от среднего арифметического более чем на 3s, равна 0.003, и все измерения, отличающиеся от <x>на эту (или большую) величину, могут быть отброшены как очень маловероятные. Иначе говоря, мы считаем, что результаты, веро­ятность получения которых меньше 0.003, могут появиться только как следствие грубой погрешности (промаха). Отбрасывая такие значения, нужно помнить, что существует очень малая, но отличная от нуля вероятность того, что отброшенное значение является не промахом, а естественным статистическим отклонением. Однако если такой маловероятный случай и произойдет, то есть будет непра­вильно отброшен один из результатов измерений, то практически это обычно не приведет к существенному ухудшению оценки резуль­татов измерений.

Следует иметь в виду, что для совокупности измерений вероят­ность появления результата, отличающегося на величину более 3s от среднего значения, всегда больше 0.003.

Действительно, веро­ятность того, что результат первого измерения не будет отличать­ся от истинного значения более чем на 3s, составляет 1 – 0.003 = 0.997.

Ве­ро­ятность того, что это же будет иметь место для второго измерения, также равна 1 – 0.003.

А вероятность того, что и первое, и второе измерения не выйдут за указанный предел, будет, согласно правилу умножения вероятностей, равна (1– 0.003)².

Соответственно вероятность b того, что ни один из результа­тов n измерений не будет отличаться от среднего более чем на 3s, равна

b = (1 – 0.003)ⁿ.

Для не слишком больших n можно приближенно положить

(1–0.003)ⁿ » 1 – 0.003×n.

Сказанное означает, что вероятность того, что из 10 измерений хотя бы одно будет случайно отличаться от среднего более чем на 3s, равна уже не 0.003, а 0.03.

А при 100 измерениях вероят­ность такого события составит около 0.26.

Обычно число производимых измерений не очень велико. Срав­нительно редко оно превышает 10¸20. При этом точное значение s неизвестно и мы можем определить лишь его оценку ⁿS. Следовательно, отбрасывать результаты, отличающиеся от среднего более чем на 3ⁿs мы не можем, так как не знаем, насколько значимо они отличаются от среднего. Поэтому следует воспользо­ваться табл.VI, помещенной в Приложении, с помощью которой легко решить вопрос об отбрасывании подозрительных результатов. Она составлена для n < 25, при n > 25 можно положить ⁿS = s и оценку b делать, пользуясь нормальным распределением (табл.II).

Для применения табл.VI мы вычисляем среднее арифметическое <x> и среднюю квадратическую погрешность ⁿS из всех измерений, включая подозреваемое x_k, которое, на наш взгляд, недопустимо велико или мало.

Вычисляем относительное уклонение этого измерения от средне­го арифметического, выраженное в долях средней квадратической погрешности:

v_max = [<x> – x_k |/ⁿS]×[n/(n – 1)]^1/2. (46)

По табл.VI находим, какой вероятности b соответствует по­лученное значение v_max. Разумеется, следует договориться, при каких значениях b мы будем отбрасывать измерения.

Табл.VI составлена так, что наименьшее помещенное в ней значение b равно 0.01. Оставлять результаты, вероятность появ­ления которых меньше этой величины, обычно нецелесообразно.

Следует иметь в виду, что если мы в отдельных случаях и при­мем естественное случайное отклонение за промах и „неправильно” выбросим такой результат, то это обычно не приведет к заметному изменению оценок измеряемой величины. Важно не выбрасывать „по интуиции”, не пользуясь вполне определенными критериями.

В нашем примере l₁₀ = 266.0, v_max получается равным

(15/14)^1/2´(266.0 – 257.2)/2.5 = 3.64.

Наибольшее значение v_max для n = 15, приведенное в табл.VI, равно 2.80, чему соответст­вует b = 0.01. Так как с ростом v_max соответствующее значение b уменьша­ется, то при v_max = 3.38 значение b должно быть намного меньше 0.01. Такие b отсутствуют в таблице. Из того, что b << 0.01, следует, что результат 266.0 надо отбросить, счи­тая его промахом.

В оставшемся ряду представляется также подозрительным резуль­тат 258.5. Для него v_max получается равным (14 /13)^1/2´(258.5 –256.5)/2 » 1. Из табл.VI видно, что этому значению соответст­вует b > 0.1, и результат 258.5, разумеется, нужно оставить.

Рассмотрим еще один пример. Среднее значение плотности рту­ти d определенное из 15 наблюдений, равно 13.59504 г/см³; средняя квадратическая погрешность ¹⁵S = 5×10^–5 г/см³.

В ряду наблюдений имеется один результат: d = 13.59517 г/см³.

Для него v_max = [(13.50517–13.59504)/5×10^–5]×(15/14)^1/2

Для n = 15 этому значению v_max соответствует уровень значи­мости около 0.025.

Таким образом, выбрасывая измерение d = 13.591517, мы можем утверждать с вероятностью 0.075, что поступаем правильно, считая его промахом.

Бели все же оставить это наблюдение в общем ряду, то легко видеть, что оно изменит среднее значение d на 0.00001, то есть на число, малое по сравнению с ¹⁵S и не играющее поэтому ни­какой практической роли. Следовательно, решая вопрос об отбрасы­вании выскакивающего измерения, полезно посмотреть, как сильно оно меняет окончательный результат.

Бели вероятность появления данного измерения в ряду лежит в промежутке 0.1¸0.01, то представляется одинаково правильным – оставить это измерение или отбросить. В случаях же, когда она выхолит за указанные пределы, вопрос об отбрасывании, по-видимо­му, решается однозначно.

Разумеется, если мы отбрасываем какое-то измерение, то <x> и ⁿS следует пересчитать заново – без учета исключенного ре­зультата измерений.

11. ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

В большинстве случаев измеряется не непосредственно интересующая нас величина, а другая, зависящая от нее тем или иным об­разом. Например, для измерения площади прямоугольника мы изме­ряем длину двух его сторон a и b а площадь S вычисляем, поль­зуясь соотношением S = ab.

При таких измерениях, называющихся косвенными (в отличие от прямых, при которых нужная величина измеряется непосредственно), необходимо также уметь вычислять погрешности измерений.

Здесь могут быть два основных случая:

1) интересующая нас величина зависит от одной измеряемой величины;

2) интересующая нас величина зависит от нескольких измеряе­мых величин.

Общие правила вычисления погрешностей для обоих случаев мо­гут быть легко выведены с помощью дифференциального исчисления. Вначале мы ограничимся простыми частными задачами.

1. Пусть зависимость интересующей нас величины Y от изме­ряемой величины X имеет наиболее простой вид

Y = AX + В . (47)

Здесь А и В – постоянные, значения которых точно известны. Если X увеличить или уменьшить на некоторое число DX, то Y соответственно изменится на A×DX. Действительно, зададим X приращение DX..