Определение коэффициентов канонических уравнений с помощью специальных таблиц

Элементы теории устойчивости

Общие положения

Устойчивость сжатых стержней рассматривалась в курсе сопротивления материалов. Там были получены формулы для критической нагрузки сжатого стержня при различных вариантах закрепления его концов.

Рис. 1

При μ =1 Р_кр =

μ =2 Р_кр =

μ =0,7 Р_кр =

μ =0,5 Р_кр =

Общая формула для критической нагрузки сжатого стержня

Как видно, можно записать общую формулу для критической нагрузки:

Р_кр = ,

где v – параметр устойчивости.

Эта формула применяется при расчете рам на устойчивость.

Основные допущения, принимаемые при расчете рам на устойчивость:

1. Действующая на раму нагрузка является узловой.

2. Стержни рамы являются нерастяжимыми и несжимаемыми.

3. Считается, что расстояние между концами стержня при его изгибе не меняется.

Расчет рам на устойчивость удобнее производить методом перемещений.

Основная система и канонические уравнения

Метода перемещений при расчете рам на устойчивость

Основная система метода перемещений при расчете на устойчивость образуется так же, как и при расчете на прочность: сначала определяется степень кинематической неопределимости рамы, а затем ставятся дополнительные связи, число которых равно степени кинематической неопределимости.

Действующая узловая нагрузка не вызывает изгиба стержней рамы. При увеличении нагрузки в некоторый момент произойдет потеря устойчивости: стержни рамы изогнутся, а ее жесткие узлы переместятся.

Линейные и угловые перемещения жестких узлов рамы при потере устойчивости принимаются за неизвестные при расчете на устойчивость методом перемещений.

Канонические уравнения метода перемещений при расчете на устойчивость записываются так же, как и при расчете на прочность, но с одним отличием.

Узловая нагрузка не вызывает реакции в дополнительных связях, поэтому свободные члены канонических уравнений будут равны нулю.

Канонические уравнения метода перемещений при расчете на устойчивость:

r₁₁Z₁ + r₁₂Z₂ +... + r_lnZ_n = 0

r₂₁Z₁ + r₂₂Z₂ +... + r_2nZ_n = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

r_n1Z₁ + r_n2Z₂ +... + r_nnZ_n = 0

Определение коэффициентов канонических уравнений с помощью специальных таблиц

Коэффициенты канонических уравнений определяются в общем так же, как и при расчете на прочность. Предварительно должны быть построены единичные эпюры. Эти эпюры строятся с помощью специальных таблиц. В этих таблицах приведены эпюры изгибающих моментов и опорные реакции для сжато-изогнутых стержней.

Эпюры изгибающих моментов будут криволинейными – следствие влияния сжимающей продольной силы на изгибающий момент.

𝜑₁(v) учитывает влияние сжимающей продольной силы. Значение этой и других функций приведены в таблице метода перемещений при расчете на устойчивость.

r_ij = r_ji.