Контролирующие материалы для аттестации студентов

По дисциплине

Экзаменационные вопросы (первый семестр):

1. Определение поля. Следствия из аксиом поля. Примеры полей.

2. Определение комплексных чисел. Поле комплексных чисел.

3. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел.

Покажите, что

.

4. Сопряженные комплексные числа. Покажите, что ; ; ; ; .

5. Основные операции над матрицами и их свойства.

6. Определение и свойства определителей.

7. Вычисление определителей второго и третьего порядков.

8. Разложение определителя по строке (столбцу).

9. Теорема Лапласа.

10. Докажите, что сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки) на алгебраические дополнения элементов другого столбца (строки) равна нулю.

11. Докажите, что алгебраическое дополнение элемента связано с минором соотношением .

12. Обратные матрицы, их вычисление.

13. Решение СЛАУ с невырожденной основной матрицей по формулам Крамера.

14. Определение линейного пространства. Свойства линейных пространств. Примеры линейных пространств.

15. Линейные комбинации, линейная зависимость. Докажите, что система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства следует равенство нулю всех коэффициентов линейной комбинации.

16. Докажите, что система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда либо , либо некоторый вектор является линейной комбинацией предшествующих векторов.

17. Докажите, что элементарные преобразования системы векторов не нарушают ее линейную зависимость или независимость.

18. Эквивалентные системы векторов. Докажите, что если каждый из векторов линейно независимой системы линейно выражается через векторы другой системы , то . Докажите, что эквивалентные линейно независимые системы состоят их одного и того же числа векторов.

19. База и ранг системы векторов. Докажите, что элементарные преобразования системы векторов приводят к эквивалентной системе.

20. Базис линейного пространства. Докажите, что разложение любого вектора по данному базису единственно. Докажите, что произвольную систему из k линейно независимых векторов можно дополнить до базиса n-мерного пространства L.

21. Понятие подпространства и линейной оболочки. Примеры подпространств.

22. Сумма и пересечение подпространств. Докажите, что для любых двух подпространств и конечномерного пространства имеет место равенство

.

23. Прямая сумма подпространств. Докажите, что для того чтобы пространство было прямой суммой своих подпространств , необходимо и достаточно, чтобы объединение базисов этих подпространств составляло базис всего пространства.

24. Докажите, что для того чтобы сумма двух линейных подпространств была прямой суммой, необходимо и достаточно, чтобы пересечение этих подпространств было нулевым.

25. Изоморфизм линейных пространств. Докажите, что все конечномерные пространства, заданные над одним полем, изоморфны, если и только если они имеют одинаковую размерность. Пример изоморфных линейных пространств.

26. Докажите, что всякое n-мерное векторное пространство над полем изоморфно .

27. Ранг матрицы, базисный минор. Докажите, что любая строка (любой столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов).

28. Докажите, что определитель равен нулю тогда и только тогда, когда между его строками (столбцами) существует линейная зависимость.

29. Докажите, что размерность линейной оболочки системы векторов-столбцов матрицы А равна рангу матрицы А; базис указанной линейной оболочки образуют базисные столбцы матрицы А.

30. Докажите, что ранг любой матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов (строк).

31. Докажите, что максимальное число линейно независимых строк любой матрицы совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов.

32. Докажите, что однородная СЛАУ нетривиально совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы А меньше числа неизвестных.

33. Критерий Кронекера-Капелли совместности неоднородной СЛАУ.

34. Докажите, что множество всех решений однородной СЛАУ с n неизвестными образует подпространство размерности n-r, где r-ранг матрицы системы.

35. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ.

36. Докажите, что сумма частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной системы дает общее решение неоднородной системы.

37. Определение евклидова пространства. Примеры евклидовых пространств.

38. Неравенство Коши-Буняковского для евклидова пространства.

39. Докажите, что неравенство Коши-Буняковского обращается в равенство тогда и только тогда, когда векторы x и y коллинеарны.

40. Докажите, что в любом конечномерном действительном линейном пространстве можно ввести скалярное произведение.

41. Нормированное пространство. Докажите, что всякое евклидово пространство является нормированным, если .

42. Ортонормированный базис и его существование в евклидовом пространстве.

43. Докажите, что ортогональная сумма ненулевых подпространств является прямой суммой.

44. Разложение n-мерного евклидова пространства на прямую сумму своего подпространства и его ортогонального дополнения.

45. Нахождение по наклонной ее ортогональной проекции и перпендикуляра.

46. Изоморфизм n-мерных евклидовых пространств.

47. Определение унитарного пространства. Примеры унитарных пространств.

48. Докажите, что в любом конечномерном комплексном линейном пространстве можно ввести скалярное произведение.

49. Докажите, что всякое унитарное пространство является нормированным, если .

50. Свойства ортонормированного базиса в унитарном пространстве.

51. Докажите, что все унитарные пространства одной размерности изоморфны между собой.

52. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

Экзаменационные вопросы (второй семестр):

1. Билинейные формы в вещественном линейном пространстве. Матрица билинейной формы и ее преобразование при изменении базиса.

2. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом Якоби.

4. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Определители Грама.

5. Закон инерции квадратичной формы. Ранг квадратичной формы.

6. Определение и примеры линейных операторов. Действия с линейными операторами. Пространство линейных операторов.

7. Ядро и образ линейного оператора. Связь между дефектом, рангом и размерностью области определения линейного оператора. Обратный оператор. Невырожденный оператор.

8. Определение и примеры нахождения матриц линейных операторов. Связь между координатами вектора - образа и вектора - прообраза. Изоморфизм пространства линейных операторов пространству прямоугольных матриц соответствующего размера.

9. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Эквивалентные и подобные матрицы. Критерий эквивалентности двух матриц.

10. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Доказать, что в комплексном линейном пространстве всякий линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

11. Доказать, что

а) характеристический многочлен не зависит от выбора базиса;

б) система собственных векторов, соответствующих попарно различным собственным значениям, линейно независима;

в) собственные векторы линейного оператора, соответствующие одному собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют подпространство.

Связь между линейными операторами и билинейными формами в унитарном пространстве.

12. Операция перехода от оператора A к сопряженному . Свойства операции *. Нахождение матрицы сопряженного оператора в ортонормированном (ортогональном) базисе.

13. Основные свойства самосопряженных операторов.

14. Унитарные операторы и их свойства.

15. Спектральная характеристика нормального оператора (линейный оператор тогда и только тогда является нормальным, когда он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов). Критерий простоты структуры линейного оператора.

16. Достаточный признак оператора простой структуры. Доказать, что у всякого линейного оператора в вещественном линейном пространстве существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

17. Основные свойства симметричных операторов.

18. Ортогональные операторы и их свойства.

19. Определение аффинного пространства. Различные способы задания прямой в аффинном пространстве (векторный, в параметрическом виде, канонический, по двум точкам). Угол между прямыми. Нахождение расстояния от данной точки до данной прямой. Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую.

20. Взаимное расположение двух прямых. Нахождение кратчайшего расстояния между двумя скрещивающимися прямыми. Общий перпендикуляр двух прямых.

21. Различные способы задания плоскостей (векторный, в параметрическом виде, по точке и нормали, по точке и направляющим векторам, по n точкам). Основная теорема о плоскости. Угол между плоскостями. Условие принадлежности n+1 точки одной плоскости.

22. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями.

23. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с классификацией возможных типов в случае .

24. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с классификацией возможных типов в случае .

25. Инварианты кривой второго порядка. Определение канонического уравнения кривой второго порядка по инвариантам.

26. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с классификацией типов в случае, когда все отличны от нуля.

27. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с классификацией типов в случае, когда одно из равно нулю.

28. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с классификацией типов в случае, когда два из равны нулю.

29. Доказать теорему о возможности расщепления пространства X, в котором действует линейный оператор, в прямую сумму корневых подпространств:

.

30. Выбор базиса в корневом подпространстве. Расщепление корневого подпространства на прямую сумму циклических подпространств.

31. Теорема о жордановой нормальной форме линейного оператора и основные этапы ее доказательства.

32. матрицы. Элементарные преобразования матриц. Доказать, что всякую матрицу путем элементарных преобразований можно привести к нормальной диагональной форме.

33. Доказать, что нормальная диагональная форма - матрицы определяется однозначно.

34. Определение и свойства функции от матрицы. Вычисление функции от матрицы через ее жорданову форму.

35. Интерполяционный многочлен Лагранжа – Сильвестра и основная формула.

Образец экзаменационного билета за первый семестр:

1. Докажите, что элементарные преобразования, выполняемые над системой векторов линейного пространства, не нарушают ее линейную зависимость или независимость.

2. Неравенство Коши - Буняковского для унитарного пространства.

3. Найдите общее решение и фундаментальную систему решений для следующей однородной СЛАУ:

4. Запишите разложение определителя четвертого порядка по минорам первых двух строк.

Образец экзаменационного билета за 2-ой семестр:

1. Определение и примеры нахождения матриц линейных операторов. Связь между координатами вектора - образа и вектора - прообраза. Изоморфизм пространства линейных операторов пространству прямоугольных матриц соответствующего размера.

2. Пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа - Сильвестра, вычислите , если .

3. Определите тип кривой второго порядка, составьте ее каноническое уравнение и найдите каноническую систему координат

.