Функция плотности распределения

Методические указания

к практическим занятиям по дисциплине

«Основы научных исследований»

Направление подготовки 190600.62 – Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов

Направление подготовки 190700.62 – Технология транспортных процессов

Ставрополь

2013

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Основы научных исследований» составлены в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и профессиональной образовательной программы подготовки, предназначены для студентов направления подготовки 190600.62 – Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов и 190700.62 – Технология транспортных процессов

Методические указания содержат практических работы по различным разделам дисциплины, изложены основные формулы, рекомендации по выполнению и оформлению работ.

Составитель:	К.т.н., доцент А. А. Порохня ст. преподаватель Д. И. Голуб
Рецензент:	к. э. н., доцент В. М. Павленко

СОДЕРЖАНИЕ

Практическое занятие 1 Определение объема выборки
Практическое занятие 2 Проверка однородности эмпирических данных
Практическое занятие 3, 4 Определение числовых характеристик распределения. построение эмпирических и теоретических функций распределения
Практическое занятие 5, 6Исследование распределения временных интервалов в транспортном потоке
Практическое занятие 7,8.Исследование влияния состава транспортного потока на среднее время обслуживания транспортных средств на перекрестке
Практическое занятие 9.Исследование распределения скоростей автомобилей в потоке
Практическое занятие 10.Методы теоретического и эмпирического исследований
Практическое занятие 11 Статистическое моделирование. марковские процессы
Практическое занятие 12. Определение характеристик одноканальной системы массового обслуживания с отказами
Практическое занятие 13. Определение характеристик одноканальной системы массового обслуживания с ожиданием
Практическое занятие 14. Определение характеристик многоканальной системы массового обслуживания с отказами
Практическое занятие 15. Определение характеристик многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием
Практическое занятие 16. Статистическое моделирование систем
Практическое занятие 17.Графическое решение задачи линейного программирования
Практическое занятие 18. Симплексный метод решения задачи
Практическое занятие 19.Методы нахождения опорного плана: метод искусственного базиса
Практическое занятие 20, 21.моделирование движения транспортных средств на регулируемых перекрестках
Практическое занятие 22.статистическая оптимизация цикла светофорного регулирования
Практическое занятие 23Корреляционно-регрессионный анализ. расчет параметров уравнений
Практическое занятие 24Корреляционно-регрессионный анализ. оценка качества уравнений
Практическое занятие 25. Временные ряды в научных исследованиях
Практическое занятие 26. Метод скользящего среднего
Практическое занятие 27.Аддитивные модели
Практическое занятие 28. Мультипликативные модели
Практическое занятие 29.метод экспоненциального сглаживания
Практическое занятие 30.Метод экспертных оценок
Практическое занятие 31, 32Составление плана многофакторного эксперимента. оценка многофакторной математической модели
Практическое занятие 33, 34. Построение многофакторной корреляционно – регрессионной модели

Практическое занятие 1

Определение объема выборки

Теоретическая часть

Исследуемая выборочная совокупность должна быть репрезентативной (представительной), т.е. давать представление о генеральной совокупности.

При планировании выборочной совокупности заранее задается величина допускаемой относительной ошибки d, доверительная вероятность g и может быть задан вид закона распределения. Таким образом, остается неизвестным минимальный объем выборки.

Методы расчета минимального числа объектов наблюдений могут быть:

Ø Непараметрические, если вид закона распределения неизвестен;

Ø Параметрические (при известном виде закона распределения случайной величины).

При непараметрическом методе минимальное число объектов наблюдения n определяется по формуле:

(1)
где P(t) – требуемая вероятность безотказной работы в течение некоторого времени t с доверительной вероятностью g, задаваемой из условия отсутствия отказа за время t.

Применение параметрического метода основано на использовании параметров закона распределения.

Для экспоненциального закона распределения расчетное уравнение минимального числа объектов наблюдения имеет вид:

, (2)

где d – относительная ошибка, равная

,

Где t_в –верхняя односторонняя доверительная граница;

– среднее значение.

Значение c²_{1-g; 2n} выбирается из таблицы 2 приложения.

Для нормального закона распределения минимальное число объектов рассчитывается по формуле

(3)

где t_g выбирается из таблицы 2 приложения.

Для логорифмически-нормального закона распределения минимальное число объектов наблюдения определяется:

(4)

где U_g – выбирается по таблице 1 приложения, а R находится по формуле:

, (5)

где V – коэффициент вариации.

Для закона распределения Вейбулла минимальное число объектов наблюдения рассчитывается по формуле:

,

где b – параметр формы закона распределения

Значение c²_{1-g; 2n} выбирается из таблицы 2 приложения.

Задание

2.1 По алгоритму, заданному преподавателем, выбрать из таблицы 1 данные необходимые для выполнения заданий работы.

2.2 Определить минимальное число объектов наблюдения (формула 1), чтобы с доверительной вероятностью g вероятность безотказной работы Р(t) была не менее 0,95.

2.3 Определить число n регулирующих гидроаппаратов, которые нужно поставить под наблюдение, чтобы с доверительной вероятностью g относительная ошибка d в определении средней наработки до отказа не превышала заданного числа.

Причина отказа гидроаппаратов – поломка пружин золотников. Предполагаем, что закон распределения наработки до отказа - экспонециальный.

Число степеней свободы определяем по формуле k=r-l-1,

где r – число интервалов; l – число параметров теоретического распределения.

2.4 Определить число n водяных насосов двигателя, чтобы с доверительно вероятностью g доверительная ошибка d в определении средней наработки до первого отказа не превышала заданной. Причина отказов водяных насосов - износ подшипников. Можно предположить, что закон распределения наработок насосов до первого отказа - нормальный. Требуется, чтобы коэффициент вариации не превышал заданного числа. Требуется, чтобы коэффициент вариации не превышал заданного.

2.5 Определить число гидроаппаратов гидроцилиндров двигателя, которые можно поставить под наблюдение, чтобы с доверительной вероятностью g относительная ошибка d в определении средней наработки до первого отказа не превышала заданной.

Причина отказов гидроаппаратов гидроцилиндров – заедание золотников. Известно, что закон распределения наработок до первого отказа логорифмически-нормальный с коэффициентом вариации V=0,44.

2.6 Определить число форсунок n дизельного двигателя, которые нужно поставить под наблюдение, чтобы относительная ошибка d в определении среднего ресурса не превышала 0,2 с заданной доверительной вероятностью. Известно, что распределение ресурса форсунок подчиняется закону распределения Вейбулла с параметром масштаба b=2,35.

2.7 Сделать выводы и оформить работу.

Таблица 1 – Исходные данные к выполнению практической работы

Номер варианта	Доверительная вероятность g	Относительная ошибка d	Число интервалов r	Коэффициент вариации V
	0,8	0,2		0,19
	0,9	0,15		0,21
	0,8	0,12		0,25
	0,99	0,08		0,3
	0,95	0,18		0,26
	0,975	0,25		0,15
	0,99	0,05		0,28
	0,95	0,14		0,19
	0,99	0,22		0,3
	0,9	0,2		0,29

Вопросы

1. Какие существуют методы расчета минимального числа объектов наблюдения?

2. Как определить минимальное число объектов наблюдения при неизвестном виде закона распределения?

3. Запишите формулы для определения минимального числа объектов наблюдения для нормального закона распределения.

Практическое занятие 2

Проверка однородности эмпирических данных

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Эмпирические данные о надежности автомобилей часто представляются для обработки в виде выборок сравнительно небольшого объема, полученных в различных условиях эксплуатации, или в разное время, и т.п.

Анализ однородности исходного статистического материала преследует цель установить возможность объединения различных выборок в одну общую выборку для дальнейшей обработки.

Если функции распределения генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, совпадают по всей области их определения, то выборки считаются однородными.

Методы анализа однородности исходного статистического материала выбираются на основании: предположения о виде закона распределения или отсутствия предположения о виде закона распределения; количества выборок; объемов выборок; значений наработок и или времен восстановления, составляющих каждую выборку.

Критерий Вилкоксона используется для анализа однородности двух малых, независимых выборок, когда либо о виде закона распределения нельзя сделать никаких предположений, либо когда генеральные совокупности подчиняются одному из распределений: экспоненциальному, нормальному, логарифмически-нормальному, гамма-распределению, распределению Вейбулла.

В работе рассматриваются случаи, когда имеются два независимых выборочных наблюдения объемами: n₁ – x₁, x₂, ……x_n и n₂ – y₁, y₂, ……y_n из двух генеральных совокупностей, для которых неизвестные функции распределения F(x) и J(y) предполагаются непрерывными.

1. Значение критерия Вилкоксона основано на вычислении инверсий U.

После упорядочения данных в обеих выборках n₁ и n₂ составляется общий вариационный ряд x₁, y₁, x₂, x₃, y₂, y₃, _{. . . .}

Значением критерия является вычисляемое для x и y общее число инверсий U.

Об инверсии можно говорить, когда в ранговом порядке n₁ + n₂ наблюдений, например, число значений x предшествует рассматриваемому числу y.

Оценка математического ожидания числа инверсий определяется по формуле:

. (1)

Оценка дисперсии числа инверсий вычисляется по уравнению:

. (2)

При проверке гипотезы об однородности двух выборок применяется двусторонний критерий, т.е.

(3)

(4)

где табличные данные [1], выбираются из таблицы П1 приложения.

Если U_aн<U<U_a,в, то гипотеза об однородности выборочных наблюдений принимается. Если значение U выходит за нижнюю или верхнюю границы, гипотезу об однородности выборочных наблюдений следует отвергнуть.

2. Проверка однородности полученных значений основывается на вычислении ранговой w-статистики.

Статистикой W критерия является сумма рангов (порядковых номеров в объединенном вариационном ряду) для той выборки, в которой число наблюдений меньше. Пусть имеется для двух выборок возрастающая последовательность наблюдений:

x₁, x₂, y₁, y₂, x₃, y₃, x₄, x₅,…..

Рангами элементов являются 1, 2, 3, 4, 5 ….

По единому вариационному ряду вычисляется w-статистика для меньших выборок:

, (5)

где r_j – ранг j-го наблюдения.

Математическое ожидание w-статистики определяется равенством:

, (6)

Дисперсия w-статистики определяется соотношением:

; (7)

Верхнее критическое значение находится с использованием зависимости:

(8)

Таким образом, если соблюдается неравенство

< <

находится в границах критической области, следовательно, гипотеза об однородности выборок с помощью w-статистики подтверждается. Если один из объемов выборок больше 25, то при вычислении нижнего критического значения пользуются приближенным значением, полученным по уравнению:

,

где — выбирается из таблицы 1П приложения

Задание

1. Составить общий вариационный ряд из результатов экспериментальных и теоретических исследований операции, выданной преподавателем, представленных в таблице 1.

2. Оценить математическое ожидание и дисперсию числа инверсий по формулам (1) и (2).

3. Проверить гипотезу об однородности результатов теоретических и экспериментальных исследований с применением двусторонних критериев.

4. Проверить однородность полученных значений на основе вычисления ранговой w-статистики.

5. Сделать выводы и оформить работу.

Таблица 1 - Исходные данные

№№ вариантов	Объемы выборок	Значения наработок, входящих в выборки
	n1=13	22,3; 20,7; 32,3; 18,4; 19,7; 21,5; 18,6; 26,5; 21,2; 20,3; 7,4; 17,3; 19,0
n2=16	15,3; 15,2; 14,0; 12,8; 6,5; 3,9; 16,9; 34,4; 6,6; 6,5; 24,1; 5,3; 5,8; 25,5; 21,1; 11,1
	n1=13	22,5; 20,9; 32,6; 18,6; 19,9; 21,7; 18,7; 26,8; 21,4; 20,5; 7,4; 17,5; 19,2
n2=16	15,5; 15,4; 14,2; 13,0; 6,6; 3,9; 17,2; 34,9; 6,7; 6,6; 24,5; 5,4; 5,9; 25,8; 22,4; 11,4
	n1=13	22,8; 21,1; 32,9; 18,8; 20,1; 21,9; 18,9; 27,0; 21,6; 20,7; 7,5; 17,7; 19,4
n2=16	15,7; 15,6; 14,4; 13,2; 6,7; 4,0; 17,4; 35,4; 6,9; 6,7; 24,5; 5,5; 6,0; 26,2; 22,7; 11,6
	n1=13	23,0; 21,3; 33,2; 18,9; 20,3; 22,1; 19,1; 27,3; 21,8; 20,9; 7,6; 17,9; 19,6.
n2=16	15,9; 15,8; 14,6; 13,3; 6,8; 4,0; 17,7; 35,9; 6,9; 6,7; 25,2; 5,6; 6,1; 26,5; 23,0; 11,8.
	n1=13	23,2; 21,5; 33,6; 19,1; 20,4; 22,3; 19,3; 27,6; 22,0; 21,1; 7,7; 18,0; 19,8
n2=16	16,2; 16,1; 14,8; 13,5; 6,9; 4,1; 17,9; 36,4; 7,0; 6,8; 25,5; 5,6; 6,2; 26,9; 23,3; 11,9
	n1=13	23,4; 21,7; 33,9; 19,3; 20,6; 22,6; 19,5; 27,8; 22,3; 21,3; 7,7; 18,2; 20
n2=16	16,4; 16,3; 15,0; 13,7; 7,0; 4,2; 18,1; 36,8; 7,1; 6,9; 25,8; 5,7; 6,3; 27,3; 23,6; 12,1
	n1=13	23,7; 21,9; 34,2; 19,5; 20,8; 22,8; 19,7; 28,1 22,5; 21,5; 7,8; 18,4; 20,2
n2=16	16,6; 16,5; 15,2; 13,9; 7,1; 4,2; 18,4; 37,3; 7,2; 7,0; 26,2 5,8; 6,3; 27,6; 23,9; 12,2
	n1=13	23,9; 22,1;34,5; 19,7; 21,0; 23,0; 19,9; 28,3; 22,7; 21,7 7,9; 18,6; 20,4
n2=16	16,8; 16,7; 15,4; 14,1; 7,2; 4,3; 18,6; 37,8; 7,3; 7,1; 26,5; 5,9; 6,4; 28,0; 24,1; 12,4
	n1=13	24,1; 22,3; 34,9; 19,9; 21,2; 23,2; 20,0; 28,6; 22,9; 21,9; 8,0; 18,7; 20,6
n2=16	17,0; 16,9; 15,6; 14,2; 7,3; 4,3; 18,8; 38,3; 7,4; 7,2; 26,9; 5,8; 6,5; 28,3; 24,5; 12,5

Практическое занятие 3, 4

Определение числовых характеристик распределения. построение эмпирических и теоретических функций распределения

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Значительно упростить и ускорить вычисления можно путем использования преобразования результатов наблюдений (совокупности значений t_i) в статистический ряд. С этой целью весь диапазон наблюдаемых значений Т делят на m интервалов или «разрядов» и подсчитывают число значений m_i, приходящихся на каждый i-й разряд. Для этого сначала выявляется наименьшее t_min и наибольшее t_max значение элементов выборки. Зона рассеивания определяется как разность между этими значениями. Вычисленная зона рассеивания делится на равное количество интервалов, которое в зависимости от объема выборки берется как целое число, ближайшее к значению r.

По формуле Стьюдента определяем количество:

(1)

и ширину интервалов для построения гистограммы:

, (2)

где − наибольшее и наименьшее значение в массиве данных;

N – количество значений в массиве.

Для примера в таблице 1 указаны результаты систематизации в виде статистического ряда 100 значений случайной величины, распределенной на интервале [8,5·10³ч; 20,5·10³ч] при условии, что DТ = 3·10³ч, r= 4.

Заполнять таблицу несложно. Последовательно просматривая массив значений {t_i}, оценивают, к какому разряду относится каждое число. Факт принадлежности числа к определенному разряду отмечают чертой в соответствующей строке таблицы. Затем подсчитывают n₁, …, n_i,…, n_m − число попаданий значений случайной величины (число черточек) соответственно в

1-й, …, i-й,…, m-й разряд. Правильность подсчетов определяют, используя следующее равенство:

. (3)

Таблица 1 – Результаты расчетов числа попаданий в каждый интервал и статистической вероятности отказа

Нижняя и верхняя границы интервалов, 103ч	Число попаданий на интервал	ni	Статистическая вероятность
8,5 ¸ 11,5	///// ///// /////	n1 =15	q1 = 0,15
11,5 ¸ 14,5	///// ///// ///// ///// ///// ///// /////	n2 =35	q2 = 0,35
14,5 ¸ 17,5	///// ///// ///// ///// ///// /////	n3 =30	q3 = 0,30
17,5 ¸ 20,5	///// ///// ///// /////	n4 =20	q4 = 0,20

Статистический ряд можно отразить графически в виде гистограммы, как показано на рисунке 1.

Рисунок 1 – Гистограмма распределения случайных величин

С этой целью по оси абсцисс отложите границы интервалов, и на каждой границе постройте прямоугольник, высота которого равна статистической вероятности попадания случайной величины в данный интервал. Здесь T₁, …, T_i, …, T_mсоответственно верхние границы 1‑го, …, i-го, …, m-го интервалов.

Статистическая вероятность q_i попадания случайной величины на

i-й интервал рассчитывается как:

. (4)

Подсчитайте значения q_iдля всех интервалов и проверьте правильность расчетов, используя выражение:

=1. (5)

Для вычислений среднего значения случайной величины Т непосредственно по ее выборочным значениям t₁, t₂, …, t_i, …, t_N используют формулу:

. (6)

Можно для расчета среднего значения случайной величины в качестве «представителя» всех ее значений, принадлежащих i-му интервалу, принимать его середину . Тогда средняя наработка до отказа определяется как:

(7)

Расчет с использованием формулы (7) вносит некоторую методическую ошибку. Однако ее значение обычно пренебрежимо мало. Эту ошибку в Ваших расчетах оцените по формуле:

100%, (8)

где и - средние значения, вычисленные соответственно с использованиемформул (6) и (7).

В работе выдвинута гипотеза о том, что приведенные наработки на отказ элементов автомобилей, описываются нормальным законом распределения.

Числовыми характеристиками (параметрами) случайной величины называются характеристики наиболее существенных особенностей закона распределения. Параметры характеризуют центр распределения, масштаб и форму кривой распределения.

Наиболее часто используемыми характеристиками случайной величины, используемыми в теории надежности, являются:

– математическое ожидание (среднее значение) ;

– дисперсия D или среднее квадратическое отклонение s;

– коэффициент вариации V(t);

– медиана М_е и мода М_о.

Дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации показывают, насколько тесно сгруппированы возможные значения случайной величины около ее математического ожидания, т. е. характеризуют степень разброса или рассеивания.

Дисперсия непрерывной случайной величины находится по формуле:

. (9)

Среднее квадратическое отклонение:

. (10)

В относительных единицах рассеивание выражается коэффициентом вариации:

. (11)

По значению коэффициента вариации можно сделать предварительные выводы о законе распределения случайных величин. Если значение

V(t) £ 0,3, можно выдвинуть гипотезу о том, что рассматриваемые наработки на отказ описываются нормальным законом распределения.

Функция распределения

Во многих практических задачах надежности вместо вероятности того, что случайная величина Т принимает вполне определенное значение t, достаточно знать вероятность того, что случайная величина T меньше или равна t. Эта вероятность задается интегральной функцией распределения:

.

Функция распределения F(t) представлена на рисунке 2. При построении и ее исследовании необходимо учитывать следующие ее свойства:

1. Вероятность того, что значение случайной величины Т заключенной в интервале t и t+Dt равна разности функции распределения, вычисленных в точках t и t+Dt,

(12)

2. F(t) всегда неотрицательная функция F(t)Ê0 для всех t.

3. Вероятность не может принимать значения больше 1, поэтому

.

4. Функция распределения F(t) − неубывающая функция, т. е. при t+Dt>t

.

5. При t=-¥ функция распределения равна 0, а при t=¥ функция распределения равна 1.

F(t)

1,0

0,8

0,6

F(t+∆t)-F(t)=

0,4 P(t<T<t+∆t)=

= ∆ F(t)

0,2

0 t t + ∆t t

Рисунок 2 - Вид функции распределения

Функция плотности распределения

Наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины в окрестностях различных точек дает особая функция, называемая плотностью распределения вероятности, или плотностью распределения f(t) (рисунок 3).

Предел отношения вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок от t до t + D t к его длине Dt,стремящейся к нулю, называется плотностью распределения случайной величины Т в точке t:

, (13)

т. е.

.

Следовательно, плотность распределения равна производной от функции распределения непрерывной случайной величины.

f(t)

Рисунок 3 - Функция плотности распределения

Плотность распределения, как и функция распределения, - одна из форм задания закона распределения. Она обладает следующими основными свойствами:

1. Плотность распределения - функция неотрицательная:

для всех t.

2. Функция распределения непрерывной случайной величины равна интегралу от плотности распределения на участке от -¥ до t:

. (14)

3. Вероятность того, что случайная величина Т попадает в интервал между t и t+Dt, равна относительной площади под кривой f(t) между точками t и t+Dt, т. е.:

. (15)

4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

т. е. площадь, ограниченная кривой плотности распределения и осью абсцисс, равна единице.

5. Плотность распределения вероятности имеет размерность обратную размерности случайной величины:

[f(t)]=1/[t].

Заданные в курсовой работе данные по наработке элемента автомобиля являются результатом наблюдений и сбора статистических данных. Поэтому первоначально определяем эмпирические значения интегральной функции и функции плотности распределения.

Эмпирическое значение интегральной функции распределения:

. (16)

Функция плотности распределения:

. (17)

Полученные для каждого интервала значения этих функций сводятся в таблицу 2.

Таблица 2 - Значения эмпирических значений функций F_э(t) и f_э(t)

Наименование показателей	Номер интервала
			……	……..	r
Границы интервала
Середина интервала
Fэ(t)
fэ(t)

После заполнения таблицы построить графики функций F_э(t) и f_э(t).

На графиках необходимо отметить значения моды и медианы.