Выводы и рекомендации по работе.

Должны содержать факторы, которые следует использовать в дальнейшем планировании факторного эксперимента.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1) Что такое планирование эксперимента и каковы его задачи?

2) Что должны содержать методика и план эксперимента?

3) Какие бывают эксперименты и в чем их различие?

4) Каким требованиям должны отвечать параметры оптимизации?

5) Назовите требования, предъявляемые к факторам.

6) С какой целью необходимо уметь выделять существенные переменные?

7) В чем сущность метода априорного ранжирования?

8) Укажите возможные причины отсутствия согласованного мнения экспертов?

9) Укажите ряд конкретных проблем в области стандартизации и сертификации, где можно использовать данный метод исследования.

Лабораторная работа №2

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА. ОЦЕНКА ВОСПРОИЗВОДИМОСТИ И ОДНОРОДНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТОВ

Цель работы: изучение методики обработки результатов предварительного эксперимента и оценки воспроизводимости и однородности результатов предварительных опытов.

Задание: по результатам предварительного эксперимента, выполненного при разных значениях факторов, оценить воспроизводимость и однородность значений параметров оптимизации.

Основные сведения

Метод математического планирования эксперимента - полный факторный эксперимент (ПФЭ) включает следующие этапы:

1. Составление матрицы планирования эксперимента;

2. Оценку воспроизводимости результатов предварительного эксперимента с помощью критерия Кохрена;

3. Составление математической модели в виде уравнения регрессии и расчета коэффициентов этого уравнения;

4. Регрессионный анализ полученных математических моделей (оценка значимости коэффициентов уравнения по критерию Стьюдента и оценка адекватности уравнений по критерию Фишера);

5. Оптимизация технологических процессов.

Метод полного факторного эксперимента дает возможность получить математическое описание объекта исследования в некоторой локальной области факторного пространства, лежащей в окрестности выбранной точки с координатами (x₀₁, x₀₂, …, x_0п). Перенесем начало координат факторного пространства в эту точку (рис. 2.1). С этой целью введем новые переменные:

Х_i = (x_i - x_oi) / ∆x_i (2.1)

где i = 1, 2, …, n; ∆x_i – масштаб по оси Х_i. Величину Х_i называют кодированной переменной.

Рис. 2.1. Введение кодированных переменных

Функцию отклика в окрестности нового начала координат разложим в виде ряда Тейлора:

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + …+ b_пx_п + b₁₂x₁x₂ + b₁₃x₁x₃+… +b_п–1,п x_п–1x_п + b₁₁x²₁ +

+b₂₂x²₂ +… +b_ппx²_п + …

где b₀ = у (0,…, 0) – значение функции отклика в начале координат

b_i = ду / дх _i ; b_ij = д²у / дх _i ·дх_j; b_ij = ½ д²у / дх_i² и т.д.

Математическое описание объектов исследования чаще всего имеет вид отрезка ряда Тейлора. При этом ограничиваются линейной частью разложения в ряд Тейлора и членами, содержащими произведения факторов в первой степени. В результате находят уравнение «локального» участка поверхности отклика, если его кривизна не слишком велика. Учитывая, что коэффициенты искомого уравнения определяют на основе экспериментальных данных и, следовательно, содержат в себе погрешности эксперимента, то в ПЭ в уравнении Тейлора символ b принято заменять символом b, таким образом, отражая выборочность их оценки. В результате уравнение, описывающее исследуемый объект имеет вид:

y = b ₀ + b ₁x₁ + b ₂x₂ + …+ b _пx_п + b ₁₂x₁x₂ + b ₁₃x₁x₃+… + b _п–1,п x_п–1x_п

Его называют уравнением регрессии, а коэффициенты b – коэффициентами регрессии.

Уровни варьирования факторов выбирает исследователь, исходя из возможного диапазона изменения каждого фактора и возможности применения линейной аппроксимации функции отклика в выбранном диапазоне изменений параметра. Принято считать, что кодированные значения Х_i принимают значения (–1) и (+1). При этом (-1) это нижний уровень варьирования факторов, а (+1) – верхний уровень. Таким образом, полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется система опытов, содержащая все возможные неповторяющиеся комбинации уровней варьирования факторов.

Полный факторный эксперимент типа 2^k, где 2 – указывает на число уровней, на которых варьируют факторы; k – количество факторов, воздействующих на объект исследования; количество точек (т.е. опытов) в этом плане N =2^k.

Для примера возьмем полный факторный эксперимент с двумя независимыми переменными Х₁ и Х₂ (табл. 2.1). Как видно из (рис. 2.2) опыты в (табл. 2.1) соответствуют на факторной плоскости вершинам квадрата с центром в начале координат. Третий и четвертый столбцы таблицы соответствуют собственно плану экспериментов, пятый столбец содержит значения произведений независимых переменных. Фиктивная переменная Х₀ =1 (второй столбец) введена для единообразия записи расчетных формул коэффициентов полинома.

В шестом столбце указываются данные функции отклика.

Строки соответствуют опытам, например, первая строка характеризует эксперимент, в котором все независимые переменные находятся на нижнем уровне.

Часть таблицы (2-5 столбцы) называется матрицей планирования эксперимента.

Рис. 2.2. Опыты полного двухфакторного эксперимента

Таблица 2.1. План двухфакторного эксперимента Номер опыта Факторы функция отклика Матрица планирования Х0 Х1 Х2 Х1 Х2 y 1 2 3 4 5 6 + – – + y1 + + – – y2 + – + – y3 + + + + y4

Матрица планирования эксперимента должна обладать следующими свойствами:

ортогональности. Сумма парных произведений элементов любых двух различных столбцов равна нулю. В частности, для простых переменных

симметричности. Сумма всех элементов любого столбца, за исключением первого- x₀, равна нулю, например,

нормированности. Сумма квадратов элементов любого столбца равна числу опытов, так для i-й переменной .

Здесь N – число опытов ПФЭ; i- номер опыта; j и n – номера факторов.

Первые два свойства обеспечивают независимость оценок коэффициентов модели и допустимость их физической интерпретации. Нарушение этих свойств приводит к взаимной зависимости оценок и невозможности придания смысла коэффициентам.

Любой эксперимент начинается с составления матрицы планирования и определения условий, при которых необходимо провести предварительный эксперимент. Для этого проводят несколько серий параллельных опытов (обычно m=3) в рассматриваемой области изменения влияющих факторов. Результаты опытов сводят в таблицу 2.2.

Если в распоряжении исследователя находится конечное число независимых результатов повторностей одного и того же опыта, то он может получить экспериментальные оценки истинного значения и дисперсии результата опыта.

Таблица 2.2. Таблица данных предварительных опытов

Номер серии опытов	Результаты параллельных опытов	ỹ	Sy2	Gр
	y11	y12	…	Y1m	ỹ1	S12
	Y21	Y22	…	Y2m	ỹ2	S22
	Y31	Y32	…	Y3m	ỹ3	S32
…	…	…	…	…	…	…
j	yj1	yj2	…	yjm	ỹj	sj2
…	…	…	…	…	…	…
N	yN1	yN2	…	yNm	ỹN	sN2

При этом оценки должны обладать следующими свойствами:

1. Несмещённости, проявляющейся в том, что теоретическое среднее совпадает с истинным значением измеряемого параметра.

2. Состоятельности, когда оценки при неограниченном увеличении числа измерений могут иметь сколь угодно малый доверительный интервал при доверительной вероятности.

3. Эффективности, проявляющейся в том, что из всех несмешанных оценок данная оценка будет иметь наименьшее рассеяние (дисперсию).

Для обработки результатов наблюдения необходимо сначала определить среднее значение полученных результатов:

(2.2)

где m- число параллельных опытов; ỹ – среднее арифметическое результатов опытов.

Определить отклонение от среднего значения для каждого результата:

(2.3)

Эти отклонения характеризуют абсолютную ошибку определения.

Экспериментальная оценка среднеквадратичного отклонения обозначается S с указанием в скобках символа анализируемой величины, т.е. S (y_ij) – среднеквадратичного отклонение единичного результата.

S (ỹ)– среднеквадратичное отклонение среднего результата.

Квадрат экспериментальной оценки среднеквадратичного отклонения является экспериментальной оценкой дисперсии:

(2.4)

Разность между числом тнезависимых результатов у_ij и числом уравнений, в которых эти результаты уже были использованы для расчета неизвестных оценок, называют числом степеней свободы f:

f=m –1. (2.5)

то есть число степеней свободы, равно количеству параллельных опытов минус единица, т.к. одна степень свободы использована для вычисления среднего. Для оценки дисперсии эталонного процесса f=m.

Среди результатов y_im повторностей опыта могут быть результаты, значительно отличающиеся от других. Это может быть связано либо с какой-то грубой ошибкой, либо с неизбежным случайным влиянием неучтенных факторов на результат повторностей опыта. Признаком наличия «выделяющегося» результата среди других является большая величина отклонения ,определеннаяпо формуле 2.3.

Ошибка опыта является суммарной величиной, результатом многих ошибок: случайных и систематических, в том числе ошибок измерений факторов, ошибок измерений параметра оптимизации и др. Каждую из этих ошибок можно, в свою очередь, разделить на составляющие, проанализировать и устранить или пренебречь, если это возможно. Однако очень важно исключить из экспериментальных данных грубые ошибки, так называемый брак при повторных опытах. Для определения брака используют, например, критерий Стьюдента t

(2.6)

Значение t берут из таблицы t-распределения Стьюдента. Опыт считается бракованным, если экспериментальное значение критерия t по модулю больше табличного значения. В этом случае придется все начинать сначала.

Если ∆y_ij>y_пред, то такие результаты относятся к грубым ошибкам.

Предельное абсолютное отклонение y_пред определяют, в зависимости от сложившейся ситуации, различными методами.

Если, например, проводится статистический анализ экспериментальных данных опыта в сравнении с эталонным процессом и если исследователь имеет в своем распоряжении оценку дисперсии с таким большим числом степеней свободы, то он может принять f→∞ и =σ² (σ²- дисперсия эталонного образца). Тогда для определения грубых ошибок можно применить правило «2-х сигм»:

все результаты, абсолютные отклонения которых по модулю превышают величину двух среднеквадратичных отклонений, с надежностью Р=0,95 считаются грубыми ошибками и исключаются из массива экспериментальных данных (вероятность исключения достоверных результатов равна уровню значимости q=0,05).

Если доверительная вероятность отличается от 0,95 то пользуются правилом «одной сигмы» с надежностью Р=0,68, или правилом «трех сигм» с надежностью Р=0,997, или по заданной вероятности Р=2Ф(t) – 1

находят Ф(t) по справочным данным и параметр t критерием Стьюдента, по которому и рассчитывают абсолютное отклонение по формуле:

(2.7)

Если в распоряжении исследователя имеется лишь приближенная оценка дисперсии с небольшим (конечным) числом степеней свободы, то применение правила «сигм» может привести либо к необоснованному исключению достоверных результатов, либо к необоснованному оставлению ошибочных результатов.

В этой ситуации для определения грубых ошибок можно применить критерий максимального отклонения r_max(P, m), взятый из таблицы 2.3. Для этого r_max сравнивают с величиной r, равной:

(2.8)

или

(2.9)

Таблица 2.3. Значения r _max (r _min) для уровней значимости 0,01 и 0,05

Число степеней свободы	Уровень значимости	Число степеней свободы	Уровень значимости	Число степеней свободы	Уровень значимости
0,01	0,05	0,01	0,05	0,01	0,05
	1,414 1,723 1,955 2,130 2,265 2,374 2,464 2,540	1,412 1,689 1,869 1,996 2,093 2,172 2,237 2,294		2,606 2,663 2,714 2,759 2,800 2,837 2,871 2,903	2,343 2,387 2,426 2,461 2,493 2,523 2,551 2,557		2,932 2,959 2,984 3,008 3,030 3,051 3,071 3,092	2,600 2,623 2,644 2,664 3,683 2,701 2,717 2,738

Если r>r_max, то данный результат должен исключаться из дальнейшего анализа, оценка ỹ должна быть пересчитана, изменяются абсолютные отклонения ∆у_ij и соответственно оценка дисперсии S²(y_ij) и S²_y. Анализ на грубые ошибки повторяют при новых значениях оценок ỹи S²_y, прекращают его при r <= r_max.

При использовании формулы (2.9) следует применять оценку дисперсии, полученную по результатам повторностей опыта, среди которых находится сомнительный результат.

Для определения грубых ошибок также можно использовать метод «по размаху», основанный на оценке максимальных различий полученных результатов. Анализ по этому методу включает:

1) результаты y_ij располагают в упорядоченный ряд, в котором минимальному результату присваивается номер первый (y₁), а максимальному – наибольший (y_m);

2) если результатом, вызывающим сомнение, будет y_m, рассчитывают отношение (2.10):

(2.10)

если сомнительным результатом будет y₁ – отношение (2.11):

; (2.11)

3) при заданном уровни значимости α и известном числе повторностей m находят табличное значение критерия r_табл.;

4) если r>r_табл, то подозреваемый результат является ошибочным и его следует исключить.

После исключения грубой ошибки находят по таблице новую величину r_табл и решают судьбу следующего «подозреваемого» результата, сравнивая r_табл и рассчитанный для него r.

Если есть основание предполагать, что 2 наибольших (2 наименьших) результата являются «промахами», то их можно выявить в один прием, используя соответствующий столбец таблицы для определения r_табл и рассчитывая r по формуле:

(2.12)

или

(2.13)

Проверку однородности оценок дисперсий проводят по критерию Кохренапо формуле (2.14):

(2.14)

Расчетное значение критерия Кохрена сравнивается с табличным значением G_табл – критерия, который выбирается из таблицы П.4 (приложение 4) для принятого уровня значимости α =0,05 и для чисел степени свободы соответственно: f₁=(m–1) – число степеней свободы максимальной дисперсии - числитель; f₂ = N – число степеней свободы или число опытов в факторном пространстве - знаменатель.

Гипотеза об однородности дисперсий подтверждается, если экспериментальное значение критерия Кохрена G_p не превышает табличное значение, то есть если G_табл > G_p, то опыты считаются воспроизводимыми, а оценки дисперсий s_y² - однородными.

Если данное условие не выполняется, то необходимо менять условия предварительного эксперимента, а опыты и расчеты повторить.

Если возникает предположение о наличии неоднородности дисперсий для случая, когда число повторных опытов неодинаково во всех точках, можно воспользоваться критерием Бартлета(B-критерий)

Дисперсия воспроизводимости подсчитывается по формуле (2.15):

(2.15)

где - число степеней свободы,

Далее рассчитывается В-критерий В=V/C

(2.16)

(2.17)

где r–1 - число степеней свободы, r – число сравниваемых дисперсий. При планировании эксперимента типа 2^k это число равно числу опытов в матрице.

Если критерий Бартлета В ≤ χ²_кр, где χ²_кр- квантили распределения Пирсона, то гипотеза о равенстве выборочных дисперсий может быть принята. Величина χ²_кр находится при (r –1) степенях свободы и заданном коэффициенте риска α=0,01; 0,025; 0,05; 0,1.

Провести проверку значимости результатов параллельных опытов, используя критерия Фишера F-критерия. Для этого из всех дисперсий выделяются наибольшая и наименьшая и производят проверку, значимо ли они различаются между собой.

(2.18)

Если наибольшая и наименьшая дисперсии не отличаются значимо, то дисперсии, имеющие промежуточные значения, также не могут значимо отличаться друг от друга. Тогда всю группу дисперсий можно считать принадлежащей к единой совокупности. В таких случаях нет надобности применять критерий Бартлета. Найденное расчетным путем F_p сравнивают с табличным значением критерия Фишера F_табл, которое определяется при уровне значимости α =0,05 и числе степеней свободы f₍₁₎=( m-1) и f₍₂₎ = N(m-1) (приложение 4). Если F_p< F_табл, то опыты считаются воспроизводимыми, а оценки дисперсий s_y² - однородными.

Если оценки дисперсии непосредственно измеряемого параметра у оказались неоднородными, т.е. оценками различных дисперсий, то средневзвешенная оценка не может быть рассчитана. Кроме того, величины у_ij уже нельзя считать подчиняющимися нормальному закону распределения, при котором дисперсия может быть лишь одной и неизменной при любом у.

Причиной нарушения нормального закона распределения может быть наличие оставшихся грубых ошибок (анализ на грубые ошибки либо не проводился, либо проведен недостаточно тщательно).

Другой причиной может быть наличие активного фактора, ошибочно отнесенного исследователем к неактивным и не снабженного системой стабилизации. Поскольку условия изменились, этот фактор стал значимо влиять на процесс.

Методические рекомендации

1. По результатам лабораторной работы №1 выбрать два основных фактора, которые будут варьировать на двух уровнях (-1) и (+1), и составить матрицу планирования.

2. Подготовить таблицу данных предварительного эксперимента для проверки воспроизводимости опытов У₁, аналогично табл. 2.4.

3. Провести эксперимент или задать значения параметру у_ij, повторив 3 раза параллельные опыты во всех точках факторного пространства Х.

4. Вычислить оценку дисперсии для каждой серии параллельных опытов.

5. Проверить однородность дисперсии по критерию Кохрена.

6. Оценить воспроизводимость опытов.

Рассмотрим этапы обработки результатов эксперимента на примере. Например, необходимо установить влияние двух факторов на прочность ткани. Факторы: х₁- линейная плотность нитей, текс; х₂- разрывная нагрузка нитей, сН/текс. В качестве параметра оптимизации: у - прочность ткани при разрыве, даН.

Прежде всего, необходимо убедиться в том, что опыты, проведенные при условиях, отраженных в матрице планирования (табл. 2.4), воспроизводимы. Для этого проводят несколько серий параллельных опытов в рассматриваемой области изменения влияющих факторов. Результаты опытов сводят в (табл. 2.4).

Таблица 2.4. Данные предварительного эксперимента для проверки воспроизводимости опытов

№ серии опытов N при разных условиях	Фактор воздействия или условия опыта Хi	Результаты параллельных опытов m	Сред. ариф. парал. опытов ỹj	Дисперсия опытов Sу2	Gр
X0	X1, текс	X2, сН	X1X2	ỹ1j	ỹ2j	ỹ3j
	уj	+1	-1	-1	+1						0,511
	уj	+1	+1	-1	-1
	уj	+1	-1	+1	-1
	уj	+1	+1	+1	+1

Среднее значение выходной величины ỹ_j в каждой точке определим по формуле 2.2 (m = 3)

Y₁₁ = (43+35+48)/3 = 42,

Y₁₂ = (90+86+94)/3 = 90

_Y13 = (42+51+45)/3 = 46,

_Y14 = (56+54+58)/3 = 56.

Определим по формуле (2.4) построчную дисперсию

S²{y₁₁}= [(43–42)² +(35–42)² + (48–42)²]/2 = 43

S²{y₁₂}= [(90–90)² +(86–90)² + (94–90)²]/2 = 16

S²{y₁₃}= [(42–46)² +(51–46)² + (45–46)²]/2 = 21

S²{y₁₄}= [(56–56)² +(54–56)² + (58–56)²]/2 = 4

Проверка однородности по критерию Кохренарассчитаем по формуле 2.14.

G_p = 43/(43+16+21+4) = 0,511.

Расчетное значение коэффициента Кохрена сравнивается с табличным значением G_табл – критерия, которое выбирается из таблиц для принятого уровня значимости a и для чисел степени свободы соответственно числителя f₁ и знаменателя f₂

f₁= m –1; f₂ = N.

Для этого значение f₁ находится в горизонтальном заголовке таблицы (приложение 1) (выбирается столбец), а f₂ выбирается слева в вертикальном заголовке таблицы (выбирается строка) и на пересечении получаем табличное значение коэффициента Кохрена G_табл.

В соответствии с таблицей коэффициентов для a = 0,05; f₁ =3–1=2; f₂=4, находим G_табл =0,77; G_табл>G_p, т.е. условие выполняется. Следовательно, опыты считаются воспроизводимыми, а оценки дисперсий s_у² - однородными.

Оформить результаты работы в виде отчета по лабораторной работе в соответствии с требованиями (см. стр. 5)