Схема и описание установки. Функциональная схема лабораторной установки представлена на рис.2.6, где: ФПЭ-02 – модуль “Сегнетоэлектрики”; PV – цифровой вольтметр; PO – осциллограф; ИП –

Функциональная схема лабораторной установки представлена на рис.2.6, где: ФПЭ-02 – модуль “Сегнетоэлектрики”; PV – цифровой вольтметр; PO – осциллограф; ИП – источник питания.

Схема, изображенная на рис. 2.7, собрана в модуле ФПЭ-02. На передней панели модуля имеются:

1. ручка "рег U" потенциометра R₃;

2. гнезда "PV" – для подключения вольтметра;

3. гнезда "РО" для подключения осциллографа.

От источника питания на схему поступают напряжение сети ~220 В, 50 Гц.

Напряжение, снимаемое со второй цепи понижающего трансформатора Т (220/100), через потенциометр R₃ подается на делитель напряжения, состоящий из сопротивлений R₁ и R₂. Параллельно делителю R₁ и R₂ включены последовательно два конденсатора, образующие емкостной делитель: исследуемый керамический сегнетоэлектрический конденсатор С₁ и эталонный конденсатор С₂. Вольтметр PV обеспечивает измерение величины напряжения, подаваемого на делители R₁, R₂ и С₁, С₂. R₁=4.7 кОм; R₂=20 кОм.

Осциллограф РО служит для наблюдения и изучения поляризации сегнетоэлектрического конденсатора С₁ при подаче на него переменного гармонического напряжения.

Методика измерений

Для получения симметричной петли гистерезиса в исследуемую электрическую цепь подается постоянная составляющая напряжения, величину которой можно изменять с помощью ручки плавной регулировки напряжения «12 В – 120 В», расположенной на передней панели источника питания ИП.

На вертикально отклоняющие пластины осциллографа подается напряжение U_у с эталонного конденсатора

, (2.13)

Так как С₁ и С₂ соединены последовательно, то они имеют одинаковый заряд q на обкладках. Величина этого заряда может быть выражена через электрическое смещение D поля в исследуемом конденсаторе С₁:

,

откуда

, (2.14)

где σ – поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора С₁; S – площадь обкладок конденсатора С₁, S=3 см².

С учетом (2.14) напряжение

, (2.15)

На горизонтально отклоняющие пластины подается напряжение U_х, снимаемое с сопротивления R₂:

, (2.16)

Это напряжение, как видим, составляет часть полного напряжения U, подаваемого на делитель напряжения R₁, R₂, а значит, и на емкостный делитель С₁ и С₂. Емкости С₁ и С₂ подобраны таким образом, что С₁<<С₂. С₂=0.047 мкФ. Поэтому с достаточной степенью точности (~ ) можно считать, что практически все напряжение U, снимаемое с потенциометра R₃, на емкостном делителе приложено к сегнетоэлектрическому конденсатору С₁. Действительно, так как >> 1, то . Тогда, полагая электрическое поле внутри конденсатора С₁ однородным, имеем:

, (2.17)

где Е – напряженность электрического поля в пластине сегнетоэлектрика; h – толщина пластины сегнетоэлектрика, h=0.2 см.

С учетом (2.17) напряжение U_х можно представить в виде

. (2.18)

Таким образом, в данной электрической схеме на вертикально и горизонтально отклоняющиеся пластины осциллографа одновременно подаются периодически изменяющиеся напряжения, пропорциональные, соответственно, электрическому смещению D и напряженности поля Е в исследуемом сегнетоэлектрике, в результате чего на экране осциллографа получается петля гистерезиса (см. рис. 2.3).

Выражения (2.15), (2.17) и (2.18) позволяют найти смещение D и напряженность Е электрического поля в сегнетоэлектрике, если предварительно определены величины U_y, U_x и U. Напряжение U определяется по показанию вольтметра PV. Напряжения U_y и U_х измеряются с помощью осциллографа и рассчитываются по формулам:

, (2.19)

, (2.20)

где у, х – отклонение электронного луча на экране осциллографа по осям У и Х соответственно; k_y, k_x – коэффициенты отклонения каналов У и Х осциллографа. k_x=0.3 В/дел.

Учитывая (2.19) и (2.20), из выражений (2.15) и (2.18) получим:

, (2.21)

, (2.22)

Кроме того, из выражения (2.17) следует:

, (2.23)

где U – эффективное значение напряжения, измеряемое вольтметром PV.

Для напряженности поля получили две формулы. Формула (2.22) используется для определения текущего, а формула (2.23) – для определения амплитудного значения напряженности поля в сегнетоэлектрике.

Применим полученные соотношения для нахождения тангенса угла диэлектрических потерь в сегнетоэлектрике и исследования зависимости .

Подставляя в (2.12) выражения (2.21) и (2.22), имеем

, (2.24)

где S_п – площадь петли гистерезиса в координатах х, у; х₀, у₀ – координаты вершины петли гистерезиса.

Для измерения диэлектрической проницаемости сегнетоэлектрика ε используем тот факт, что основная кривая поляризации (кривая ОАВ на рис. 2.3) является геометрическим местом точек вершин циклов переполяризации, полученных при различных максимальных значениях Е₀ напряженности поля в образце. Для каждой ее точки можем записать соотношение (2.5) в виде: , где D₀, Е₀ – координаты вершин циклов переполяризации. Тогда, определив с помощью формул (2.21) и (2.23) значения D₀ и Е₀ вершин нескольких циклов, можно из (2.5) найти значения ε при различных значениях Е₀ согласно выражению:

, (2.25)

и изучить зависимость .

Порядок выполнения работы

Перед выполнением работы необходимо ознакомиться с описанием приборов, используемых в данной установке.

1. Установить ручку «Рег U» на панели кассеты ФПЭ – 02 в среднее положение.

2. Установить органы управления на панелях осциллографа РО в положение, обеспечивающее наблюдение фигур Лиссажу, измерение величины переменного напряжения и исследование зависимости между двумя внешними сигналами.

3. Подготовить к работе источник питания ИП и вольтметр PV.

4. Собрать схему согласно рис. 2.6.

5. После проверки схемы преподавателем или лаборантом присоединить все приборы к сети ~220 В, 50 Гц и включить тумблеры «Сеть» на панелях всех приборов. На экране осциллографа должна появиться петля гистерезиса.

6. Установить петлю гистерезиса в центральную часть экрана осциллографа. С помощью ручки «12 В – 120 В» на панели источника питания подобрать такую величину постоянной составляющей напряжения, при которой изображение петли гистерезиса на экране является симметричным.

Задание 1. Определение тангенса угла диэлектрических потерь.

1. Получить петлю гистерезиса предельного цикла. Для этого повернуть в крайнее правое положение ручку «Рег U» на панели кассеты и подобрать, если это необходимо, такой коэффициент отклонения k_у осциллографа, чтобы кривая гистерезиса предельного цикла целиком размещалась в пределах экрана, занимая не меньше половины экрана (по вертикали).

2. Измерить координаты х₀ и у₀ вершины петли гистерезиса. Для этого, подводя каждую из вершин петли (точки А и С на рис. 2.3) сначала к оси Х, а затем к оси У (центральным, градуированным линиям сетки экрана), определить их координаты +х₀ и –х₀, +у₀ и –у₀ и взять среднее арифметическое из модулей полученных значений. Записать значение коэффициента отклонения k_у при измерении у₀.

3. Установить кривую гистерезиса симметрично относительно осей У и Х и перерисовать ее с экрана осциллографа на миллиметровую бумагу по точкам, снятым с помощью сетки экрана.

4. Определить площадь петли гистерезиса, используя рисунок, выполненный на миллиметровой бумаге.

5. Вычислить tgδ по формуле (2.24).

6. Занести в таблицу 2.1 результаты всех вычислений.

Таблица 2.1

x0, дел	kx, В/дел	y0, дел	ky, В/дел	Sn, дел2	tg δ
	0.3

Задание 2. Определение остаточного смещения D_r, коэрцитивного поля Е_с и спонтанной поляризации насыщения Р_smax.

1. Установить петлю гистерезиса предельного цикла, полученную в задании 1, пункт 1, симметрично относительно оси У. Измерить значение у_r как половину ширины петли при х=0. Записать значение k_у, соответствующее этому измерению.

2. Установить петлю гистерезиса симметрично относительно обеих осей. Измерить значение х_с как половину ширины петли при у=0.

3. Продолжить линейные участки петли предельного цикла (АВ и СD на рис. 2.3) до пересечения с осью У, используя рисунок петли, выполненный в задании 1, п.3. Измерить значение у_s как половину расстояния между точками пересечения экстраполированных участков с осью У.

4. По формулам (2.21) и (2.22) рассчитать значения D_r; Р_smax≈D_s и Е_с.

5. Оценить погрешности измерения остаточного смещения D_r и коэрцитивного поля Е_с.

6. Занести в таблицу 2.2 результаты всех вычислений.

Таблица 2.2

yr, дел

Dr, Кл/м2

ky, В/дел

ys, дел

Ds, Кл/м2

xc, дел

kх, В/дел

Ес, В/м

S, см2

h, см

C2, пФ

R1, кОм

R2, кОм

0.3

0.2

4.7

Задание 3. Получение основной кривой поляризации и изучение зависимости ε=f(Е).

1. Для кривой гистерезиса предельного цикла, полученной в задании 1, пункт 1, измерить значения координат х_omax и у_omax вершины цикла (точки В на рис. 2.3) по методике, описанной в том же задании 1, пункт 2. Записать значение коэффициента k_у при измерении у_omax. Определить по показанию вольтметра PV напряжение U.

2. Уменьшить напряжение U с помощью ручки «Рег. U» на панели кассеты и получить петлю предельного цикла, соответствующую такому амплитудному значению Е₀ напряженности поля, ниже которого предельный цикл исчезает (т.е. начинают изменяться площадь петли и координаты ее вершин). Для этой петли: а) определить по показанию вольтметра PV напряжение U; б) взять из задания 1, пункт 2 значения х₀, у₀ и k_у.

3. Получить несколько частных циклов, уменьшая напряжение U ручкой «Рег U» и изменяя коэффициент k_у осциллографа таким образом, чтобы каждая петля гистерезиса занимала не менее половины экрана (по вертикали). Число частных циклов должно быть не менее пяти при различных значениях коэффициента k_у.

Таблица 2.3

№	U, В	x0, дел	y0, дел	kу, В/дел		Е0, 104 В/м	ε, 103	Δε, 103
		хomax=	yomax=

4. Построить основную кривую поляризации в координатах х, у.

5. По формулам (2.23) и (2.25) рассчитать значения Е₀ и ε для всех исследованных циклов переполяризации.

6. Оценить погрешности измерения ε.

7. Занести в табл. 2.3 результаты всех вычислений.

8. Построить график зависимости ε=f(Е).

Контрольные вопросы

1. В чем заключается поляризация диэлектриков? Какая величина является количественной характеристикой поляризации? Как эта величина связана с напряженностью электрического поля в диэлектрике?

2. Опишите различные типы поляризации: электронного смещения, ионного смещения, ориентационную, спонтанную.

3. Опишите основные свойства сегнетоэлектриков.

4. Нарисуйте принципиальную электрическую схему для получения петли гистерезиса и объясните ее работу.

5. Получите формулу, по которой в работе определяется диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектрика.

Используемая литература

[1] §§ 15.1, 15.2, 15.3, 15.5;

[2] §§ 12.1-12.3;

[3] §§ 2.19, 5.66, 5.67, 5.68;

[4] т.2, §§ 15-19, 23;

[5] §§ 87, 88, 91.

Лабораторная работа 2-03

Определение емкости конденсаторов при помощи мостиковой схемы

Цель ра­бо­ты: оп­ре­де­ле­ние ем­ко­сти кон­ден­са­то­ров при раз­лич­ных их соедине­ни­ях с по­мо­щью мос­та пе­ре­мен­но­го то­ка. Оз­на­ком­ле­ние с ра­бо­той мос­та Со­тти.

Теоретическое введение

Элек­тро­ем­кость уе­ди­нен­но­го про­вод­ни­ка - это од­на из его ха­рак­те­ри­стик, ко­то­рая по­ка­зы­ва­ет, ка­кой за­ряд нуж­но со­об­щить данно­му про­вод­ни­ку, что­бы его по­тен­ци­ал из­ме­нил­ся на еди­ни­цу, и опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле:

, (3.1)

где C - ем­кость про­вод­ни­ка; j - потенциал, ко­то­рый по­лу­чил про­вод­ник при со­об­ще­нии ему за­ря­да q.

Элек­тро­ем­кость про­вод­ни­ка за­ви­сит от его раз­ме­ров, фор­мы, нали­чия по со­сед­ст­ву дру­гих про­вод­ни­ков и от ди­элек­три­че­ской прони­цае­мо­сти сре­ды.

Еди­ни­цей элек­тро­ем­ко­сти в сис­те­ме СИ яв­ля­ет­ся 1 фа­ра­да - это элек­тро­ем­кость та­ко­го про­вод­ни­ка, по­тен­ци­ал ко­то­ро­го при со­об­щении за­ря­да в 1 Ку­лон из­ме­ня­ет­ся на 1 Вольт.

Кон­ден­са­то­ром на­зы­ва­ет­ся со­во­куп­ность двух лю­бых проводников с оди­на­ко­вы­ми по аб­со­лют­но­му зна­че­нию, но про­ти­во­по­лож­ны­ми по зна­ку за­ря­да­ми.

Ем­кость кон­ден­са­то­ра оп­ре­де­ля­ет­ся от­но­ше­ни­ем за­ря­да на од­ной из его об­кла­док к раз­но­сти по­тен­циа­лов ме­ж­ду об­клад­ка­ми:

. (3.2)

В боль­шин­ст­ве слу­ча­ев фор­ма об­кла­док кон­ден­са­то­ра и их вза­им­ное рас­по­ло­же­ние под­би­ра­ют та­ким об­ра­зом, что­бы внеш­ние по­ля су­ществен­но не влия­ли на элек­три­че­ское по­ле ме­ж­ду ни­ми и си­ло­вые линии, на­чи­наю­щие­ся на од­ной из об­кла­док, обя­за­тель­но за­кан­чи­ва­лись на дру­гой. Бла­го­да­ря это­му все­гда обес­пе­чи­ва­ет­ся ра­вен­ст­во аб­солют­ных зна­че­ний за­ря­дов на об­клад­ках.

К про­стей­шим ти­пам кон­ден­са­то­ров от­но­сят­ся пло­ские, сфе­ри­че­ские и ци­лин­д­ри­че­ские.

Рис.3.1 Рис.3.2 Рис.3.3

Емкость приведенных на рисунках 3.1–3.2 конденсаторов может быть рассчитана по формулам:

плос­кий конденсатор (рис. 3.1):

; (3.3)

сфе­ри­че­ский конденсатор (рис. 3.2):

; (3.4)

цилиндрический конденсатор (рис. 3.3):

(3.5)

Докажем формулу (3.4). Для вычисления разности потенциалов на обкладках конденсатора воспользуемся формулой связи напряженности электростатического поля и потенциала: ; или, то же самое в интегральной форме: . Интегрировать здесь будем по радиус-вектору, проведенному от внутренней обкладки к внешней. Вектор напряженности поля направлен радиально (в силу симметрии), тогда

. (3.6)

Напряженность поля между обкладками можно найти по теореме Остроградского-Гаусса (3.7), согласно которой поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, охваченных поверхностью, деленной наεε₀:

. (3.7)

В качестве Гауссовой поверхности в нашем случае следует взять сферу, концентрическую обкладкам, радиусом r: R₁<r<R₂. Из-за симметрии напряженность поля в любой точке сферы одинакова и совпадает по направлению с нормалью к поверхности в данной точке, и величину Е можно вынести из под знака интеграла в (3.7), а . В правой части (3.7) суммарный заряд, охваченный Гауссовой поверхностью, - это заряд внутренней обкладки, то есть заряд конденсатора q. Тогда

. (3.8)

Здесь учтено, что - площадь сферы. Выразив Е из (3.8) и подставив в (3.6), получим:

,

откуда с учетом (3.2) получается (3.4).

Аналогично докажем (3.5). В качестве Гауссовой поверхности здесь следует взять цилиндр, коаксиальный обкладкам цилиндрического конденсатора, радиусом r: r₁<r<r₂ и длиной l. Тогда из (3.7) получим:

.

Далее, из (3.6):

,

Откуда с учетом (3.2) получим (3.5).

Рис. 3.4

Кон­ден­са­то­ры ха­рак­те­ри­зу­ют­ся не толь­ко их элек­три­че­ской ем­ко­стью, но так­же и на­пря­же­ни­ем про­боя – та­кой ми­ни­маль­ной раз­но­стью по­тен­циа­лов об­кла­док, при ко­то­рой про­ис­хо­дит элек­три­че­ский раз­ряд че­рез слой ди­элек­три­ка в кон­ден­са­то­ре.

В тех слу­ча­ях, ко­гда ем­ко­сти од­но­го кон­ден­са­то­ра ока­зы­ва­ет­ся не­дос­та­точ­но, кон­ден­са­то­ры со­еди­ня­ют па­рал­лель­но (рис.3.4). При этом на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­рах ока­зы­ва­ет­ся оди­на­ко­вым: U_i=U. Об­щий за­ряд ба­та­реи

,

где n - об­щее чис­ло кон­ден­са­то­ров; q_i - за­ряд i-го кон­ден­са­то­ра. Ем­кость ба­та­реи кон­ден­са­то­ров рав­на сум­ме ем­ко­стей от­дель­ных кон­ден­са­то­ров. С учетом того, что из (3.2) заряд каждого конденсатора q_i=C_iU_i, где С_i - емкость i-го кон­ден­са­то­ра, а общий заряд q=CU,

,

и после сокращения:

(3.9)

Рис. 3.5

По­сле­до­ва­тель­но кон­ден­са­то­ры со­еди­ня­ют в том слу­чае, ко­гда их нужно вклю­чить в цепь с на­пря­же­ни­ем вы­ше то­го, на ко­то­рое рас­счи­тан от­дель­ный кон­ден­са­тор. При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии кон­ден­саторов (рис. 3.5) за­ря­ды на кон­ден­са­то­рах оди­на­ко­вы: q_i=q, а полное напряжение на батарее равно сумме напряжений:

.

С учетом (3.2) , , тогда получим:

,

и после сокращения:

, (3.10)

то есть ве­ли­чи­на, об­рат­ная ем­ко­сти ба­та­реи, рав­на сум­ме об­ратных ве­ли­чин ем­ко­стей от­дель­ных кон­ден­са­то­ров.

При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии за­ря­ды на кон­ден­са­то­рах оди­на­ко­вы, на­пря­же­ние на них рас­пре­де­ля­ет­ся в за­ви­си­мо­сти от их ем­ко­стей, чем умень­ша­ет воз­мож­ность про­боя кон­ден­са­то­ра.

Экспериментальная часть

Приборы и обо­ру­до­ва­ние: ма­га­зин ем­ко­стей, мик­ро­ам­пер­метр, на­бор кон­ден­са­то­ров, транс­фор­ма­тор, ре­зи­сто­ры.