Тема 1. Спектральна теорія обмежених самоспряжених операторів
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
________________________механіко-математичний____________________
Факультет / інститут
кафедра математичного аналізу
Назва кафедри
Укладач(і) : доцент Константінов О.Ю.
вчене звання, прізвище та ініціали
„Спектральна теорія операторів”
назва дисципліни
РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА
для студентів спеціальності 6.080300 «Математика»
Затверджено
на засіданні кафедри
Протокол № ___
від „___”___________20__р.
Зав. кафедри
_____________ ____________
Підпис Прізвище, ініціали
Декан факультету
_____________ ____________
Прізвище, ініціали
Затверджено
на засіданні вченої ради мех..-мат. ф-ту
Протокол № ___
від „___”___________20__р.
Робоча навчальна програма з дисципліни „Спектральна теорія операторів”.
Лектор(и):__к.ф.-м.н., доцент Константінов О,Ю.
Науковий ступінь, вчене звання, прізвище та ініціали
Погоджено
з науково-методичною комісією
«____» ______________ 20__р.
___________________________
Підпис голови НМК факультету/ інституту
ВСТУП
Дисципліна „спектральна теорія операторів” є дисципліною вільного вибору студентів для студентів спеціальності „математика”. Вона читається в 8 семестрі в обсязі 2 кредитів (за Європейською Кредитно-трансферною Системою ECTS), і розрахована на 38 годин занять. З них 32 години лекцій, та 6 годин самостійної роботи. Семестр закінчується іспитом.
Мета і завдання навчальної дисципліни„спектральна теорія операторів”: оволодіння теоретичними положеннями спектральної теорії самоспряжених операторів в гільбертовому просторі, знайомство з практичним застосуванням в теорії операторів Шредінгера, сприяння розвитку логічного та аналітичного мислення студентів.
Предмет навчальної дисципліни„спектральна теорія операторів”: самоспряжені оператори, функціональне числення, спектральна теорема, теорія збурень, оператори Шредінгера.
Вимоги до знань та вмінь студентів.
Студент повинен знати: основні властивості функціонального числення самоспряжених операторів та спектральну теорему, властивості збурених операторів, теорему Вейля про збереження істотного спектра, застосування до теорії диференціальних операторів.
Студент повинен вміти: використовувати абстрактну теорію до дослідження самоспряженості та вивчення спектральних властивостей операторів Шредінгера.
Місце в структурно-логічній схемі спеціальності.Спеціальна навчальна дисципліна „ спектральна теорія операторів ” є складовою циклу професійної підготовки фахівців освітньо-кваліфікаційного рівня „бакалавр” спеціальності „математика”. При вивченні цієї навчальної дисципліни використовуються відомості з нормативного курсу „функціональний аналіз”.
Система контролю знань та умови складання заліку.Навчальна дисципліна „гармонічний аналіз” оцінюється за модульно-рейтинговою системою. Вона складається з 1 модуля.
Результати навчальної діяльності студентів оцінюються за 100 - бальною шкалою.
Модульний контроль: 1 модульна контрольна робота.
Змістовий модуль 1 — 60 балів:
§ активність студента на заняттях, виконання аудиторних завдань — 20 балів;
§ письмова контрольна робота — 40 балів;
Іспит — 40 балів.
Всього за семестр — 100 балів.
При цьому, кількість балів відповідає оцінці:
1-34 – «незадовільно» зобов’язковим повторним вивченням дисципліни;
35-59 – «незадовільно» з можливістю повторного складання;
60-64 – «задовільно» («достатньо») ;
65-74 – «задовільно»;
75 - 84 – «добре»;
85 - 89 – «добре» («дуже добре»);
90 - 100 – «відмінно».
Шкала відповідності
| За 100-бальною шкалою | Оцінка за національною шкалою | ||
| 90 – 100 | відмінно | зараховано | |
| 85 – 89 | добре | ||
| 75 – 84 | |||
| 65 – 74 | задовільно | ||
| 60 – 64 | |||
| 35 – 59 | незадовільно | не зараховано | |
| 1 – 34 |
НАВЧАЛЬНО-ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН ЛЕКЦІЙ І ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ
| № теми | Назва теми | Кількість годин | ||||
| лекції | лабораторні роботи | Самостійна робота | Контрольна модульна робота | Інші форми контролю | ||
| І семестр | ||||||
| Змістовий модуль 1 | ||||||
| Спектральна теорія обмежених самоспряжених операторів | ||||||
| Необмежені оператори | ||||||
| Теорія збурень | ||||||
| Оператори Шредінгера | ||||||
| Модульна контрольна робота 1 | ||||||
| Всього годин за семестр |
Змістовий модуль 1
Тема 1. Спектральна теорія обмежених самоспряжених операторів
1. Функціонального числення для поліномів від обмеженого самоспряженого оператора. — 2 год.
2. Неперервні функції від обмеженого самоспряженого оператора. Означення та основні властивості. — 2 год.
3. Властивості функціонального числення. Теорема про відображення спектра.
— 2 год.
4. Обмежені борельові функції від самоспряжених операторів, означення та основні властивості. — 2 год.
5. Спектральна міра (розклад одиниці) та інтеграл по спектральній мірі. — 2 год.
6. Спектральна теорема для обмеженого самоспряженого оператора. — 2 год.
Тема 2. Необмежені оператори.
7. Замкнені оператори, означення, приклади. Оператори, що мають замикання.. — 2 год.
8. Спряжений оператор, основні властивості. — 2 год.
9. Симетричні та самоспряжені оператори. — 2 год.
10. Спектральна теорема для необмеженого самоспряженого оператора. — 2 год.
11. Оператори з простим спектром. Спектральна теорема в термінах оператора множення на незалежну змінну. — 2 год.
Тема 3. Теорія збурень
12. Збурення самоспряжених операторів. Теорема Като – Рьоліха. — 2 год.
13. Істотний спектр. Теореми Вейля. . — 2 год.