Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов.

В электронной теории проводимости предполагается:

Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru 1) В металлах имеются свободные электроны, которые в отсутствие внешнего

электрического поля движутся хаотически, а при

наличии поля приобретают характер упорядоченного

движения (см.рис.).

2) Движение каждого электрона подчиняется законам

классической механики.

3) Все вместе электроны образуют электронный газ и подчиняются законам

молекулярной физики.

4) Взаимодействие электронов с ионами решетки рассматривается как простое

столкновение, взаимодействием электронов между собой пренебрегается.

5) Напряженность поля внутри металла считается постоянной.

6) Все электроны под действием внешнего электрического поля приобретают

одинаковые скорости vср.

При выводе закона Ома будем считать, что электрон, сталкиваясь с ионом, полностью отдает ему свою энергию, а затем снова набирает скорость под действием сил поля (см. рис.- фрагмент кристаллической решетки). Электрон в кристалле участвует одновременно в двух движениях: хаотическом тепловом со скоростью u @ 105 м/с и направленном под действием поля со скоростью vср порядка 0,001 м/с, т.е. u >> vср

Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru II закон Ньютона для электрона Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru
Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru из кинематики, t – время движения электрона между двумя столкновениями
Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru средняя скорость электрона за время между двумя столкновениями
Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru l - средняя длина свободного пробега электрона– это расстояние, которое проходит электрон между двумя последовательными столкновениями с ионами (u>> vср)
Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru (··) плотность тока в проводнике; подставив в эту формулу вышеприведенные, получим:
Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru мы получили закон Ома в дифференциальной форме, запишем его в векторном виде:
       
Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru закон Ома в дифференциальной форме. В такой форме закон применим для бесконечно малого объема проводника, фактически – для точки проводника.
Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru (···) Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru s - удельная электропроводность проводника; r - удельное сопротивление проводника

Тема 8. Вопрос 3.

Часть 2.

Электронная теория проводимости металлов, несмотря на множество упрощающих предположений, позволяет теоретически вывести закон Ома и закон Джоуля – Ленца (см. ниже). Это свидетельствует о том, что модель поведения электронов в металле соответствует действительности. Вместе с тем эта теория столкнулась с рядом трудностей. Рассмотрим некоторые из них.

1)Теплоемкость металла теоретически должно складываться из теплоемкости кристаллической решетки и теплоемкости электронов: СМе = Срешэлнов=

6R/2 + 3R/2 (для моля). Но из опыта следует, что теплоемкость почти всех твердых тел равна 3R. Таким образом, получается, что электроны не участвуют в теплоемкости, т.е. не «принимают» тепло при нагревании вещества. В дальнейшем с развитием квантовой механики выяснилось, что электроны в металле могут иметь не любые энергии, а только те, значения которых лежат в разрешенных зонах (см. III часть курса).

2)В формуле Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru e,m известны, n, u – можно вычислить, а s = 1/r измерить опытным путем. Таким образом можно оценить длину свободного пробега электрона l. Она оказалась равной порядка 10-5 см, тогда как расстояние между ионами примерно 10-8 см. Получается, что электрон пролетает мимо сотен ионов, не сталкиваясь с ними. Это затруднение также объяснила квантовая механика: движение электрона в металле – это распространение некоторой волны, искажение этой волны происходит на примесях (чужеродных атомах), а их металле значительно меньше, чем атомов решетки.

3)Затруднение возникло также с зависимостью сопротивления от температуры. Из Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru следует, что удельное сопротивление r =1/s ~ Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru , т.к. скорость теплового движения u ~ Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru , а остальные величины практически не зависят от температуры. Но из опыта следовало, что r ~ Т. Квантовая механика разрешила и это затруднение.

Тема 8. Вопрос 4.

Закон Джоуля – Ленца: «Если по проводнику протекает ток, в проводнике выделяется теплота Q». Найдем выражение для Q. Сначала получим закон в дифференциальной форме на основе электронной теории. Введем новое понятие:

Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru (Дж/м3×с) удельная мощность – это энергия, выделяющаяся в единице объема проводника за единицу времени
Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru энергия, передаваемая одним электроном иону решетки за одно столкновение, т.е. за время t - время между двумя столкновениями.
Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru энергия, передаваемая электронами, находящимися в единице объема проводника за одно столкновение (за время t), n- концентрация электронов
Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru энергия, выделяющаяся в единице объема за единицу времени (формулы - см. закон Ома)
     
Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме

Чтобы найти количество теплоты, выделяющейся во всем проводнике за некоторое время нужно проинтегрировать и использовать закон Ома: Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru

Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru закон Джоуля - Ленца в интегральной форме при постоянной силе тока, R – общее сопротивление участка цепи
Вывод закона Ома на основе электронной теории электропроводности металлов. - student2.ru для случая, когда сила тока зависит от времени

Тема 8. Вопрос 5.

Наши рекомендации