Определения и порядок построения эпюр

Удобные для применения на практике определения внутренних усилий в рамах – впрочем, они будут справедливы для любых плоских стержневых систем – можно получить естественным обобщением соответствующих определений из сопромата.

Изгибающий момент M в поперечном сечении стержня рамы равен сумме моментов всех сил, взятых по одну сторону от сечения, которое делит раму на две части и вычисленных относительно точки, где сечение пересекает ось стержня.

Поперечная сила Q в поперечном сечении стержня равна сумме проекций на нормаль n к оси стержня всех сил, взятых по одну сторону от сечения, которое делит раму на две части.

Продольная сила N в поперечном сечении стержня равна сумме проекций на касательную t к оси стержня всех сил, взятых по одну сторону от сечения, которое делит раму на две части.

Правило знаков – в соответствии с рис. 2.1, где показан вырезанный двумя сечениями узел рамы.

M > 0

n

n

τ

τ

N > 0

Q > 0

M > 0

N > 0

Q > 0

Рис. 2.1

Для определения знаков внутренних усилий M, Q и N в каждом сечении вводят локальную систему координат с началом в центре тяжести сечения, орты которой аналогичны обычным ортам i, j декартовой системы координат. При этом орт t направлен по внешней нормали (от тела) к плоскости поперечного сечения стержня, а орт n получается из орта tпутем его поворота по ходу часовой стрелки на угол 90°.

Как и в сопромате – см., например, [3] – внутренним усилиям N и Q соответствуют векторы N = Ntи Q = Qn так, что N > 0 соответствуют растяжению стержней, Q > 0 – вращению рассматриваемого элемента по ходу часовой стрелки; M > 0 также направлен по ходу часовой стрелки.

Отметим, что необходимость введения такой локальной системы координат вызвана тем, что для вертикальных стержней рамы становится неопределенным понятие «верхние» и «нижние» волокна. Рассмотренная система отсчета вносит здесь полную ясность: на каждом рассеченном стержне рамы «верх» и «низ» будет определяться ортом n, направленным «вверх». Нетрудно убедиться, что при этом положительные моменты в сопромате и в строительной механике совпадают и соответствуют растянутым «нижним» волокнам.

Порядок построения эпюр. При построении эпюр внутренних усилий целесообразно придерживаться следующего порядка:

1) определяем опорные реакции;

2) делим раму на участки (i, j), границами которых являются естественные границы рамы, шарниры и угловые точки, точки приложения сосредоточенных сил, моментов и границы участков распределенной нагрузки;

3) в пределах каждого участка проводим сечение на расстоянии z_i от его начала и вычисляем значения M, Q, N, рассматривая равновесие отсеченной части рамы;

4) строим эпюры, откладывая положительные значения Q и N на верхних (или левых для вертикальных стержней) волокнах, а M > 0 – на «нижних», то есть в направлении, противоположном нормали n.

5) проверяем правильность построения эпюр, рассматривая равновесие вырезанных узлов или других частей рамы и контролируя, как и для балок, соблюдение дифференциальных зависимостей Журавского на каждом из ее участков.

Примечания

1. Поскольку знаки эпюр Q и N привязаны не к локальной, а к глобальной системе координат, ставить знаки у эпюры M не имеет смысла – достаточно знать, что она построена на растянутых волокнах.

2. В строительной механике, в отличие от сопромата, эпюры принято строить именно в такой последовательности: M, Q, N.