Основные зависимости в задаче 1-2.

При решении этой задачи целесообразно использовать кинематическое соотношение

(1)

где — абсолютная скорость частицы, — скорость частицы относительно стенки.

Тогда закон сохранения энергии примет вид:

где и — векторы относительной скорости частицы соответственно до и после удара. Закон изменения импульса частицы при ударе о стенку имеет вид:

(2)

где и — векторы абсолютной скорости частицы до и после удара, — вектор средней силы, с которой стенка действует на частицу. После подстановки в уравнение (2) зависимости (1) получаем закон изменения импульса, выраженный через относительные скорости

Таблица №2

№ вар.	Исходные данные к задаче 1-2
№ рис.	m	V0	U	b	h	Dt
		m*	V*	U*	2/3b *	-	Dt*
		2m*	2V*	U*	1/4b *	-	2Dt*
		5m*	3V*	2U*	5/6b *	-	3Dt*
		3m*	1/2V*	1/2U*	1/6b *	-	-
		4m*	2V*	2U*	1/3b *	-	-
		m*	1/2V*	U*	b *	1/4h *	-
		2m*	2V*	U*		3/4h *	8Dt*
		3m*	V*	2U*	b *	1/2h *	-
		m*	2V*	U*		-	18Dt*
		2m*	V*	U*	b *	-	20Dt*

Таблица №2 (продолжение)

№ вар.	Вид взаимодействия	Определить
АУУ	НУУ	АНУУ	VK	aK		DE		FDt	F	h
	+	-	-	+	+	-	-	+	-	+	-
	+	-	-	-	+	+	+	-	-	+	-
	+	-	-	-	+	-	+	+	-	+	-
	+	-	-	+	-	-	+	+	+	-	-
	+	-	-	+	-	-	+	+	+	-	-
	-	+	-	-	+	+	+	+	+	-	-
	-	+	-	-	+	+	+	+	-	+	-
	-	+	-	-	+	+	+	+	+	-	-
	-	-	+	+	-	+	+	+	+	+	+
	-	-	+	+	-	+	+	+	+	+	+

Задача 1-3

Нерелятивистская частица с внутренней энергией E₀ и массой m₀, летящая со скоростью , распадается на две нерелятивистские частицы, скорости которых и , массы m₁ и m₂, импульсы и , кинетические энергии E₁ и E₂. При этом часть внутренней энергии E₀ исходной частицы в количестве hE₀, где коэффициент h<1 , расходуется на увеличение кинетической энергии образовавшихся частиц.

На рис. 4 j— угол разлета частиц, т.е. угол, образованный векторами и , q — угол отклонения первой частицы (из вновь образовавшихся) от направления движения исходной частицы, т.е. угол, образованный векторами и , где

.

Общие исходные данные: m* = 10^-2 кг, V* = 10 м/с, j* = p/2, E* = 10 Дж , h*=0,5. Другие исходные данные и искомые величины для каждого варианта задания представлены в таблице №3.

Таблица №3

№ вар.	Исходные данные к задаче 1-3
m0	V0	j	q	m1	m2	p1	p2	E0	h
	m*	V*	j*	-	1/4m*	3/4m*	p1=p2	-	-
	m*	V*	-	-	2/3m*	1/3m*	p1=p2	E*	0,35h*
	2m*	V*	-	2/3j*	4/3m*	2/3m*	p1=p2	-	-
	m*	V*	4/3j*	1/3j*	2/3m*	1/3m*	-	-	-	-
	2m*	V*	j*	-	4/3m*	2/3m*	2/3m*V*	-	-	-
	m*	2V*	j*	-	2/3m*	1/3m*	-	m*V*	-	-
	m*	V*	-	1/3j*	1/3m*	2/3m*	p1=p2	E*	-
	2m*	2V*	-	-	2/3m*	4/3m*	p1=p2	E*	1,6h*

Таблица №3 (продолжение)

№ вар.	Определить
j	q	V1	V2	p1	p2	E1	E2	h	hE0
	-	+	+	+	+	+	-	-	-	+
	+	+	+	+	-	-	+	+	-	-
	+	-	+	+	+	+	-	-	-	+
	-	-	+	+	+	+	+	+	-	+
	-	+	-	+	-	+	+	+	-	+
	-	+	+	-	+	-	+	+	-	+
	+	-	+	+	-	-	+	+	+	-
	+	+	+	+	+	+	-	-	-	-

Основные зависимости в задаче 1-3.

При распаде частицы выполняются законы сохранения импульса и энергии. Соответствующие уравнения в общем случае для данной задачи имеют вид

Динамика вращательного движения

Задача 2 - 1

Жесткий стержень длиной l=1 м и массой M=1 кг свободно висит на горизонтальной идеально гладкой оси вращения О, как показано на рис. 5.

Ось вращения перпендикулярна плоскости рисунка. Малый шарик массой m=0,1кг, летящий горизонтально со скоростью , движется в плоскости рисунка и ударяет в стержень. При этом взаимодействие шарика со стержнем может происходить в виде:

a) абсолютно упругого удара (АУУ);

b) неупругого удара (НУУ);

c) абсолютно неупругого удара (АНУУ).

Сразу после удара стержень вращается с угловой скоростью w₀, а шарик приобретает скорость и продолжает двигаться в плоскости рисунка. Другие обозначения:

DE - потеря энергии при ударе;

- минимальная начальная скорость шарика, при которой стержень после удара совершает полный оборот;

w_K - угловая скорость стержня при прохождении им крайней верхней точки;

j_m - максимальный угол отклонения стержня от положения равновесия.

Другие исходные данные и искомые величины для каждого варианта задания представлены в таблице № 4.

Таблица №4

№ Вар	Задано	Виды взаимодействия	Определить
V0	VK	АУУ	НУУ	АНУУ	wK	jm	V0m	DE
	0.5V0m	-	-	-	+	-	+	+	+
	2V0m	-	-	-	+	+	-	+	+
	0.5V0m		-	+	-	-	+	+	+
	2V0m		-	+	-	+	-	+	+
	0.5V0m	-	+	-	-	-	+	+	-
	2V0m	-	+	-	-	+	-	+	-

Расчет характеристик движения следует начинать с определения характерной величины .

Задача 2 -2

Однородный тонкий вертикальный стержень длины l=1м, движущийся поступательно в плоскости рисунка с горизонтальной скоростью , налетает на край массивной преграды (рис. 6, 7 ). После удара стержень вращается вокруг оси O перпендикулярной плоскости рисунка. Ось вращения стержня совпадает с ребром преграды и проходит через точку удара стержня о преграду. Потерями механической энергии при вращении стержня после удара пренебречь.

Варианты столкновения:

а) Центр тяжести стержня выше горизонтальной поверхности преграды (рис. 6)

б) Центр тяжести стержня ниже горизонтальной поверхности преграды (рис.7)

Другие обозначения:

w_K - угловая скорость стержня в момент его удара о горизонтальную поверхность преграды;

w₀ - угловая скорость стержня сразу после удара о ребро преграды.

Для варианта б):

- минимальная горизонтальная скорость стержня, при которой он способен коснуться горизонтальной поверхности преграды;

j_m - максимальный угол поворота стержня после удара.

Начинать расчет для варианта столкновения б) следует с определения характерной скорости .

Другие исходные данные и искомые величины для каждого варианта задания представлены в таблице № 5.

Таблица №5

№Вар	Задано	Столкновения	Определить
l1	V0	а)	б)	w0	wK	jm	V0m
	0.1l	1 м/c	+	-	+	+	-	-
	0.1l	0.5V0m	-	+	+	-	+	+
	0.2l	1 м/c	+	-	+	+	-	-
	0.2l	0.5 V0m	-	+	+	-	+	+
	0.4l	1 м/c	+	-	+	+	-	-
	0.4l	0.5 V0m	-	+	+	-	+	+
	0.1l	2 V0m	-	+	+	-	-	+
	0.2l	0,4 V0m	-	+	+	-	+	+
	0.4l	2 V0m	-	+	+	-	-	+

Задача 2 - 3

Жесткий стержень длиной l=0,5 м и массой М=1 кг может свободно без трения вращаться вокруг горизонтальной оси О. При прохождении стержнем вертикального положения с угловой скоростью w₀ , он своим нижним концом ударяет по кубику массой m=0,1 кг, который после удара движется в плоскости рисунка (см. рис. 8).

		Рис. 8

При этом взаимодействие стержня с кубиком может происходить в виде:

а) абсолютно упругого удара (АУУ);

б) неупругого удара (НУУ);

в) абсолютно неупругого удара (АНУУ).

Другие обозначения:

w_0m - минимальная угловая скорость w₀ , при которой стержень после удара совершит полный оборот вокруг оси O при заданном типе взаимодействия;

w_K - угловая скорость стержня в крайней верхней точке после удара;

j_m - максимальный угол отклонения стержня от положения равновесия после удара;

- скорость кубика после удара;

DE - потеря механической энергии при ударе стержня по кубику.

Другие исходные данные и искомые величины представлены в таблице № 6.

Таблица №6

№ Вар	Задано	Вид взаимодействия	Определить
w0	V0	АУУ	НУУ	АНУУ	w0m	wK	jm	V0	DE
	0.5w0m	-	+	-	-	+	-	+	+	-
	2w0m	-	+	-	-	+	+	-	+	-
	0.5w0m	w0l	-	+	-	+	-	+	-	+
	2w0m	w0l	-	+	-	+	+	-	-	+
	0.5w0m	-	-	-	+	+	-	+	+	+
	2w0m	-	-	-	+	+	+	-	+	+

Расчет следует начинать с определения характерной величины w_0m

Задача 2-4

Физический маятник, состоящий из шара радиусом R=3 см и массой М = 1 кг, жестко прикрепленного к тонкому стержню длиной 4R и массой M, подвешен к горизонтальной оси O, проходящей через конец стержня перпендикулярно плоскости рисунка (см. Рис.9).

Маятник может свободно без трения вращаться вокруг оси O. Шарик массы m=0,1 кг движется горизонтально в плоскости рисунка со скоростью вдоль прямой, проходящей через центр шара, и ударяет в шар. При этом взаимодействие шарика с маятником может происходить в виде:

а) абсолютно упругого удара (АУУ);

б) неупругого удара (НУУ);

с) абсолютно неупругого удара (АНУУ).

Другие обозначения:

DE - потери механической энергии при ударе;

- минимальная скорость шарика, при которой система после удара совершает полный оборот;

w_K - угловая скорость физического маятника в верхней точке;

j_m- максимальный угол отклонения физического маятника от положения равновесия;

- скорость шарика после удара;

w₀ - угловая скорость физического маятника сразу после удара шарика.

Другие исходные данные и искомые величины для каждого варианта задания представлены в таблице № 7.

Таблица №7

№ Вар	Задано	Вид взаимодействия	Определить
V0	VK	АУУ	НУУ	АНУУ	wK	jm	V0m	DE
	0.5V0m	-	+	-	-	-	+	+	-
	2 V0m	-	+	-	-	+	-	+	-
	0.5 V0m		-	+	-	-	+	+	+
	2 V0m		-	+	-	+	-	+	+
	0.5 V0m	-	-	-	+	-	+	+	+
	2 V0m	-	-	-	+	+	-	+	+
	0,6 V0m	-	+	-	-	-	+	+	-

Расчет следует начинать с определения характерной скорости шарика

Основные зависимости

Момент силы относительно оси z:

,

где - радиус-вектор, определяющий положение точки приложения силы относительно произвольной точки на оси ; - проекция силы на касательную к окружности с центром оси , лежащей в плоскости, перпендикулярной оси и проходящей через точку приложения силы; - радиус этой окружности.

Момент импульса твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси :

где - момент инерции твердого тела относительно оси ; - угловая скорость вращения твердого тела.

Момент импульса твердого тела, движущегося поступательно, относительно точки или оси равен аналогичному моменту импульса материальной точки, имеющей ту же массу и движущейся вместе с центром масс твердого тела.

Уравнение динамики вращательного движения механической системы относительно неподвижной оси:

.

Здесь - сумма моментов импульсов всех частей механической системы относительно оси ; - сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно оси . Если , то из этого уравнения следует закон сохранения момента импульса относительно оси :

.

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси :

.

Момент инерции некоторых однородных твердых тел массой простой формы:

сплошного кругового цилиндра с радиусом относительно его оси:

;

сплошного шара с радиусом относительно оси, проходящей через центр шара:

;

тонкого стержня длиной относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец:

.

Теорема Штейнера:

,

где - момент инерции твердого тела, относительно оси, проходящей через центр масс; - момент инерции относительно оси , параллельной ; a - расстояние между осями и .

КОЛЕБАНИЯ

Общие условия задачи 3

Для данной колебательной системы (КС), представленной на соответствующем рисунке, необходимо:

1. Вывести дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний, если сила сопротивления движению КС пропорциональна скорости, т.е. , где r - коэффициент сопротивления.

2. Определить круговую частоту w₀ и период T₀ свободных незатухающих колебаний.

3. Найти круговую частоту w и период T свободных затухающих колебаний.

4. Вычислить логарифмический декремент затухания.

5. Определить, используя начальные условия задачи и исходные данные, начальные амплитуду A₀ и фазу j₀ колебаний.

6. Написать с учетом найденных значений уравнение колебаний.

Другие исходные данные и начальные условия задачи для каждого варианта задания приведены в табл. 8 – 13.

Общие исходные данные: m^* = 0,1 кг; k^* = 10 Н/м; l^* = 0,1 м; r* = 0,1 кг/с; v* = 0,1 м/с; r* = 10³ кг/м³; S* = 10^-3 м²; j* = p/3.

Задача 3-1

Колебательная система (КС), представленная на рис. 10, 11, 12, 13, состоит из шайбы массой m и двух упругих пружин, имеющих жесткости k₁ и k₂ . На рис. 10, 12 шайба колеблется под действием пружин, соединенных параллельно, а на рис. 11, 13 колебания происходят под действием пружин, соединенных последовательно. Массой пружин можно пренебречь. На рис. 10, 11 КС имеет горизонтальное расположение, а на рис. 12, 13 вертикальное расположение в поле силы тяжести. l₁₀ и l₂₀ – длины 1-ой и 2-ой пружин в недеформированных состояниях; L (на рис.10, 12)—длина каждой пружины в деформированном состоянии; L (на рис.11, 13) — общая длина двух пружин в деформированном состоянии; – возможные векторы начальной скорости шайбы. Шайбу, находящуюся в положении равновесия, смещают до расстояния L, а затем импульсом придают ей в начальный момент времени t = 0, в соответствии с заданием, скорость (см. таблицы № 8 - 11). В результате КС приходит в колебательное движение.

Таблица №8 (к рис. 10)

№ вар.	r	k1	k 2	m	l10	l20	L	V1	V2
	r*	1,6 k*	1,4 k *	1,4m*	l*	l*	0,9l*	0,4U*
	2r*	1,2 k*	k *	1,5m*	1,1l*	1,1l*	1,2l*	0,5U*
	4r*	1,6 k*	1,4 k *	m*	1,2l*	1,2l*	1,1l*		0,3 U*
	2r*	1,4 k*	1,2 k *	0,8m*	l*	l*	1,1l*		0,2 U*
	3r*	k *	0,8 k *	1,2m*	0,9l*	0,9l*	l*	0,4U*

Таблица №9 (к рис. 11)

№ вар.	r	k1	k 2	m	l10	l20	L	V1	V2
	r*	1,4 k*	1,2 k*	1,2m*	1,1l*	1,1l*	2,1l*	0,5U*
	3r*	0,8 k*	k*	m*	l*	l*	2,1l*	0,4U*
	2r*	1,6 k*	1,4 k*	0,8m*	l*	l*	1,9l*		0,2U*
	3r*	k*	1,2 k*	1,4m*	1,1l*	1,1l*	2,3l*		0,3U*
	4r*	1,8 k*	2 k*	1,6m*	0,8l*	0,8l*	1,7l*	0,5U*

Таблица №10 (к рис. 12)

№ вар.	r	k1	k 2	m	l10	l20	L	V1	V2
	2r*	1,6 k*	1,4 k*	m*	1,6l*	1,6l*	1,5l*	U*
	r*	0,8 k*	k*	1,6m*	2l*	2l*	2,6l*		0,8U*
	2r*	1,2 k*	1,4 k*	1,4m*	1,5l*	1,5l*	1,4l*		U*
	3r*	2k*	1,8 k*	0,8m*	l*	l*	1,6l*	0,8U*
	r*	k*	1,2 k*	1,2m*	1,1l*	1,1l*	l*	U*

Таблица №11 (к рис. 13)

№ вар.	r	k1	k 2	m	l10	l20	L	V1	V2
	r*	1,6k*	1,4k*	0,8m*	3l*	3l*	5,8l*	U*
	3r*	1,2k*	k*	0,4m*	2l*	2l*	4,8l*	0,8U*
	r*	1,8k*	1,6k*	m*	4l*	4l*	7,8l*		U*
	3r*	2k*	1,8k*	0,4m*	3l*	3l*	6,6l*		0,8U*
	2r*	0,8k*	k*	m*	l*	l*	1,8l*	U*

Задача 3-2

Колебательная система (КС), представленная на рис. 14, состоит из невесомой пробирки площадью поперечного сечения S , на дно которой насыпана свинцовая дробь массой m . Пробирка с дробью опущена в жидкость плотностью r и находится в ней в вертикальном положении.

Коэффициент сопротивления при движении пробирки в жидкости равен r.

Пробирку, находящуюся в положении равновесия, смещают на глубину H, а затем импульсом придают ей в начальный момент времени t=0 скорость или , в соответствии с заданием (см. таблицу № 12).

В результате КС приходит в колебательное движение в вертикальном направлении.

Таблица №12

№ вар.	r	S	m	r	H	V1	V2
	r*	S*	m*	5r*	1,1l*	0,2U*
	r*	1,2S*	2m*	5r*	1,9l*		0,3U*
	0,9r*	1,1S*	1,5m*	6r*	1,6l*	0,4U*
	0,9r*	S*	m*	6r*	1,2l*		0,2U*

Задача 3-3

На рис. 15 представлен физический маятник (ФМ), состоящий из двух шаров радиусами R₁ и R­₂ , и массами соответственно m₁ и m₂. Шары жёстко скреплены с помощью стержня длиной L и массой m₃. Через т. О стержня проходит горизонтальная ось вращения ФМ, расположенная на расстоянии l₀ от верхнего конца стержня, так что ФМ может совершать вращательное движение в вертикальной плоскости. ФМ, находящийся в положении равновесия, отклоняют на угол a₀ (см. таблицу № 13), а затем в начальный момент времени t=0 отпускают. В результате ФН начинает совершать свободные незатухающие колебания, т.е. в этой задаче коэффициент сопротивления считается равным нулю (r = 0).

Таблица №13

№ вар.	m1	m2	m3	R1	R2	L	l0	a0
	8,8m*	21m*	32m*	0,3l*	0,4l*	10l*	3l*	1/2j*
	21m*	41m*	35m*	0,4l*	0,5l*	12l*	4l*	1/3j*
	8,8m*	21m*	28m*	0,3l*	0,4l*	8l*	2l*	1/4j*
	21m*	41m*	30m*	0,4l*	0,5l*	9l*	3l*	1/2j*

ВОЛНЫ

Задача 4-1

В среде на расстоянии d друг от друга находятся одинаковые излучатели плоских акустических монохроматических волн (S₁ и S₂, рис.16). Оба излучателя колеблются по закону x=Acos(wt), где x - смещение излучателя из положения равновесия при колебаниях, A - амплитуда, w - круговая частота при колебаниях излучателя.

Исходные данные для каждого варианта задания представлены в таблице № 14.

Таблица 14

№ вар.	Частота n, кГц	Амплитуда А, мм	d, м	l, м	Среда	Скорость волны в среде с, м/с
		0,8	1,02		воздух
		0,6	0,68		воздух
		0,5	0,34		воздух
		0,3	0,9		вода
		0,2	0,6		вода
		0,1	0,3		вода

Необходимо:

1) вывести уравнение колебаний частиц среды в т. М, находящейся на расстоянии l от второго излучателя. Считать, что направления колебаний частиц среды в т. М совпадают;

2) определить отношение амплитуды смещений частиц среды к длине волны l;

3) вывести уравнение колебаний скорости частиц среды. Найти амплитуду скорости частиц среды и её отношение к скорости распространения волны;

4) вывести уравнение колебаний деформаций частиц среды. Найти связь амплитуды деформаций с амплитудой скорости частиц среды.

Задача 4-2

Для стержня длиной L , закреплённого, как указано на рис. 17 или 18, необходимо:

		Рис. 17		Рис. 18

1) вывести формулу для возможных частот продольных волн, возбуждаемых в стержне, при которых в нём образуется стоячая волна;

2) указать какая частота колебаний является основной, а какие частоты относятся к обертонам (к высшим гармоникам);

3) определить частоту и длину волны i-ой гармоники;

4) для этой гармоники нарисовать вдоль стержня качественную картину:

а) стоячей волны амплитуд смещений;

б) стоячей волны амплитуд деформаций.

Исходные данные для каждого варианта задачи представлены в таблице № 15.

Таблица 15

№ вар.	Вид крепления	Материал	Плотность r,103 кг/м3	Модуль Юнга Е,1010 Па	Длина L, м.	Определить i-ю гармонику
	Рис 17.	Сталь	7,8		0,8
	Рис 17.	Латунь	8,5
	Рис 17.	Алюминий	2,7		1,2
	Рис 18.	Стекло	2,5
	Рис 18.	Титан	4,5		0,8
	Рис 18.	Медь	8,9		1,2

Задача 4-3

Для прямого вертикального волновода (трубы) длиной L , расположенного в среде (воздухе или воде), как указано на соответствующем рисунке, необходимо:

1) вывести формулу для возможных частот продольных волн, возбуждаемых в волноводе, при которых в нём образуется стоячая волна;

2) указать какая частота колебаний является основной, а какие частоты относятся к обертонам (к высшим гармоникам);

3) определить частоту и длину волны i -ой гармоники;

4) для этой гармоники нарисовать вдоль волновода качественную картину:

а) стоячей волны амплитуд смещений;

б) стоячей волны амплитуд давлений.

Исходные данные для каждого варианта задачи представлены в таблице № 16.

Скорость звука в воде с₁ =1500 м/c, а в воздухе с₂=340 м/c.

Таблица 16

№ вар.	Схема волновода	Среда	Длина волновода L, м	Определить i-ю гармонику
Внутри	Снаружи
	Рис. 20	воздух	воздух	1,02
	Рис. 19	воздух	воздух	1,7
	Рис. 21	воздух	воздух	0,68
	Рис. 19	вода	вода	1,5
	Рис. 20	вода	вода	0,9
	Рис. 21	вода	вода	3,0
	Рис. 22	вода	вода	0,6
	Рис. 23	вода	вода	1,5
	Рис. 24	воздух	воздух	1,02
	Рис. 25	воздух	воздух	1,7

Дополнительные пояснения.

На рис. 19, 24 волноводы открыты с обоих концов. На рис. 20, 22, 23, 25 волновод на одном конце имеет жёсткую пластину, а другой его конец свободен. На рис. 21 волновод имеет жёсткие пластины с обоих концов. На рис. 23, 24, 25 - один открытый конец волновода совпадает с границей раздела сред (воздух-вода), другой конец волновода либо открыт и находится полностью в среде, либо закрыт жёсткой пластиной.

Задача 4-4

Для струны длиной l , натянутой с силой и закреплённой, как указано на рис.26, необходимо:

1) определить частоту колебаний и длину волны i -ой гармоники стоячей волны;

2) для этой гармоники нарисовать вдоль струны качественную картину:

а) стоячей волны амплитуд смещений точек струны;

б) распределения скоростей точек струны для момента времени t = 0,25T, где T - период колебания струны для i -ой гармоники.

Исходные данные для каждого варианта задачи представлены в таблице № 17

Таблица 17

№ вар.	Характеристики струны	Сила натяжения F, H	Определить i-ю гармонику
Длина L, м	диаметр d, мм	материал струны	Плотность r, 103 кг/м3
	0,6	0,4	медь	8,9
	0,9	0,5	медь	8,9
	1,0	0,6	медь	8,9
	1,2	0,3	сталь	7,8
	0,8	0,2	сталь	7,8
	0,7	0,1	сталь	7,8

Дополнительные пояснения. Скорость волны в струне (скорость распространения поперечных смещений) рассчитывается по формуле , где — линейная плотность материала струны, а m - масса струны. Волновое уравнение, описывающее распространение вдоль струны поперечной волны имеет вид:

,

где z - смещение точек струны относительно положения равновесия в поперечном направлении.