Экстраполяционный переход к пределу

Чтобы найти более точное значение интеграла, можно воспользоваться сравнительно простым усовершенствовани­ем метода трапеций.

Вспомним (см. формулу (14)), что для шага h ошибка ограничения составляет еT=Ch2

где

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

Если вторую производную от у считать постоянной, то C также является константой.

Предположим теперь, что выбрана некоторая другая величина шага разбиения экстраполяционный переход к пределу - student2.ru , причем m ≠ n. Тогда еT = Ck2.

Теперь пусть Ih — значение интеграла, вычисленное по правилу трапеций с шагом h, а Ik — значение, вычислен­ное с шагом k. При этом

I = Ih + Сh2 (16)

и

I = Ik + Ck2.

Если вычесть эти два уравнения друг из друга, то можно определить С

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru (17)

Подставляя это значение C в (16), получаем

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru (18)

Вычисленное таким образом значение интеграла I являет­ся лучшим приближением, чем Ih или Ik. Если же вторая производная у" (х) действительно постоянна при a <= x <= b, то ошибка ограничения в формуле (18) равна нулю.

Этот метод называется экстраполяционным переходом к пределу; предложен он Ричардсоном[2].

ПРАВИЛО СИМПСОНА

В этом параграфе мы рассмотрим один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интег­рирования, а именно правило Симпсона. Этот метод анало­гичен правилу трапеций в той части, что интегрирование производится путем разбиения общего интервала интегри­рования на множество более мелких отрезков; однако теперь для вычисления площади над каждым из них через три после­довательных ординаты разбиения проводится квадратич­ная парабола. Можно было бы ожидать, что аналогично тому, как правило трапеций дает точный результат при интегрировании линейных функций, правило Симпсона даст точный результат при интегрировании многочленов второ­го порядка; в действительности же получается несколько парадоксальный результат: формула Симпсона дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно. Поэтому при всей своей простоте этот метод весьма точен, хотя формула для числен­ного интегрирования получается ненамного сложней, чем для правила трапеций. Простота и точность правила Симп­сона сильно способствуют его широкому применению при вычислениях на ЭЦВМ.

Вспомним, что количество отрезков n в случае правила трапеций определялось формулой экстраполяционный переход к пределу - student2.ru .

Предположим теперь, что число n является четным и что

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru (19)

Тогда

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru (20)

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru (21)

Уравнения (19), (20) и (21) можно подставить в (18). При этом получим

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

И окончательно

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru (22)

Формула (22) называется формулой Симпсона. Ее можно было вывести другим путем, а именно проводя параболу через три ординаты на концах двух соседних интервалов и потом складывая получившиеся при этом площади. Читатели могут проделать эти выкладки самостоятельно и геометрически истолковать разницу между формулами интегрирования.

Ошибка ограничения при интегрировании с помощью формулы Симпсона может быть вычислена таким же способом, как и для правила трапеций в разд. 3. Не воспроизводя здесь выкладки, приведем окончательный результат:

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

Заметим, что ошибка пропорциональна h4, в то время как для метода трапеций ошибка была пропорциональна h2. Это означает, что метод Симпсона соответствует ряду Тейлора в формуле (7) с точностью до членов третьего порядка включительно, а метод трапеций соответствует этому ряду только с точностью до членов первого порядка. Поэтому при интегрировании многочленов степени не выше третьей метод Симпсона дает точные значения интеграла (так как fIV(х) = 0).

Если предположить, что четвертая производная практи­чески постоянна, то снова можно применить экстраполяционный переход к пределу и улучшить результаты интегриро­вания по методу Симпсона. Вообще говоря, подобно тому, как была выведена формула (22), можно повышать точ­ность, проводя через последовательные ординаты многочле­ны более высоких степеней. В результате получаются фор­мулы Ньютона-Котеса[3].

Наконец, опять без вывода, заметим, что верхняя грани­ца возможной ошибки округления при интегрировании по правилу Симпсона пропорциональна 1/h, как и для формулы трапеций.

На рис. 4 изображен также график зависимости общей ошибки от числа интервалов при интегрировании sin x от 0 до π по формуле Симпсона. На графике ясно видно, что при использовании формулы Симпсона ошибка уменьшается гораздо быстрее (h4 по сравнению с h2). Так как ошибки округления для обоих случаев примерно одинаковы, то при использовании формулы Симпсона ошибка округления начи­нает преобладать в общей ошибке гораздо раньше. Из рисунка видно, что общая ошибка возрастает при π > 50.

МЕТОД ГАУССА

В предыдущих параграфах рассматривались методы чис­ленного интегрирования с произвольным разбиением интер­вала. Фактически разбиение производилось на равные отрезки.

Зададимся теперь вопросом: нельзя ли уменьшить ошиб­ку ограничения при заданном количестве интервалов, если располагать концы интервалов там, где это требуется из условий достижения наивысшей точности интегрирова­ния? С философской точки зрения, следует ожидать улуч­шения: пожертвовав свободой при выборе разбиения интер­вала, мы вправе потребовать взамен увеличения точности. Оказывается, точность в самом деле увеличивается.

Вспомним, что рассмотренное ранее правило трапеций позволяло при двух ординатах найти точное значение интег­рала от линейной функции (многочлена первого порядка). Сейчас будет показано, что при соответствующем выборе местоположения двух ординат можно получить точный результат для многочлена третьего порядка. Интуитивно очевидно, что погрешность метода тем меньше, чем выше порядок многочлена, при численном интегрировании кото­рого получается точный результат. Мы не будем здесь дока­зывать этого во всей полноте.

Чтобы упростить выкладки, изменим пределы интегри­рования так, чтобы они стали равными (+1, -1). Для этого введем новую переменную

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

так что

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

Интеграл (1) после такой подстановки запишется в виде

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru (23)

где

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

Это означает, что соответствующей заменой переменных можно свести все интегралы к виду (23). (Под «всеми» подразумеваются интегралы с конечными пределами интег­рирования и с непрерывной подынтегральной функцией.)

Попытаемся определить, чего можно добиться при нали­чии всего двух ординат, т. е. в том случае, когда кривая, которой мы заменяем подынтегральную функцию, является прямой линией. Другими словами, попытаемся найти такую линейную функцию

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

для которой

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru (24)

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

Рис. 5. Геометрическое представление метода Гаусса с двумя

ординатами.

Интеграл, стоящий в левой части этого уравнения, пред­ставляет собой площадь трапеции на рис. 5. Пусть сумма площадей вертикально заштрихованных участков (между -1 и μ0 и от μ1 до +1) равна площади зачерненного участ­ка (между μ0 и μ1). Тогда площадь трапеции в точности равна площади под кривой y=φ(μ). Задача заключается в нахождении такой прямой линии, для которой достигается это равенство.

Положим

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru (25)

где необходимо определить А0, A1, μ0 и μ1. Так как в форму­ле имеются четыре параметра, то естественно предположить,

что формула даст точный результат при интегрировании кубической параболы

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

Перепишем эту функцию в виде

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

Если a0 и a1 должны удовлетворять уравнению (24), то μ0 и μ1 определяется из условия

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

Так как это равенство должно быть справедливо для любых β0 и β1 то необходимо потребовать выполнения двух следующих равенств:

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

Выполнив интегрирование, можно записать два послед­них равенства в виде

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

откуда следует, что

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru (26)

Теперь остается только найти A0 и A1 в формуле (25). Заметим, что

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru (27)

и из формул (25) и (26) следует, что

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

Так как значение выражения в правой части последней формулы должно быть равно значению интеграла в формуле (27) при всех a0 и а1, то для А0 и A1 получаем систему уравнений

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

из которой находим

А0 = A1 = 1. (28)

Уравнение (25) окончательно запишется в виде

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

Это и есть формула численного интегрирования Гаусса для случая двух ординат. Ошибка ограничения равна нулю при интегрировании многочленов до третьего порядка вклю­чительно. Естественно ожидать, что при интегрировании многочленов высших степеней и прочих функций ошибка ограничения будет определяться формулой

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

где

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru (29)

Чтобы найти К, предположим, что экстраполяционный переход к пределу - student2.ru При этом экстраполяционный переход к пределу - student2.ru так что

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru (30)

Точное значение интеграла легко вычислить:

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

С другой стороны, из формул (29) и (30)

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

Поэтому K=1/135, и окончательная формула для ошибки ограничения запи­шется в следующем виде:

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

Можно вывести гауссовы формулы численного инте­грирования более высоких порядков, предусматривая большее количество ординат и вводя различные весовые коэффициенты Аi.

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru (31)

В общем случае, при (n + 1) ординате, получается точ­ная формула для нахождения интеграла от многочлена степени 2n + 1.

Оказывается, что значения μi в уравнении (31) являют­ся корнями полиномов Лежандра степени n. По этой причи­не вышеописанный метод численного интегрирования часто называют методом Лежандра — Гаусса. Полиномы Лежанд­ра Pn(μ) можно найти с помощью рекуррентных формул

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru (32)

Например, для m = 2

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

Заметим, что корни Р2 (μ) равны экстраполяционный переход к пределу - student2.ru , как мы уже опре­делили ранее.

Весовые коэффициенты в формуле (31) можно найти из следующего соотношения:

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

В качестве примера возьмем n = 2, так что μ 0 = - экстраполяционный переход к пределу - student2.ru , μ1 = экстраполяционный переход к пределу - student2.ru и Р’2= 3μ. При этом

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

и совершенно аналогично A1 = 1.

В общем случае ошибка ограничения определяется формулой

экстраполяционный переход к пределу - student2.ru

Таблица μi, и Ai для n = 2,...,6 приведена в приложе­нии. Заметим, что μi расположены симметрично относительно начала координат и что коэффициенты Ak одинаковы для μk и для — μk. Более подробная таблица вплоть до n = 48 приведена в приложении к книге В. И. Крылова «Прибли­женное вычисление интегралов».

Итак, метод Гаусса позволяет достичь большей точности, нежели формула Симпсона при том же количестве ординат, но зато точки, где следует определять эти ординаты, пол­ностью определены и совершенно не зависят от произвола программиста. Как и во многих других случаях, при чис­ленном интегрировании приходится делать выбор между простотой формулы Симпсона и возможной экономией машинного времени при использовании метода Гаусса. На практике чаще используется метод Симпсона.

Наши рекомендации