Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі

Сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табу үшін практикада Лагранж әдісі (тұрақтыны вариациялау әдісі) қолдану ыңғайлы.

Алдымен берілген теңдеуге сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімін табу керек. Алдында қарастырылғандай ол мына түрде жазылады:

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

Содан соң, Ci коэффициенттерін х-тің функциялары деп есептеп, біртекті емес теңдеудің дербес шешімін табу керек:

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

Ci(x) функцияларын табу үшін келесі жүйені шешу керек:

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

Мысалы: Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru теңдеуін шешу керек.

Шешуі: 1) Әуелі Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru біртекті теңдеуді шешеміз.

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

2) Біртекті емес теңдеудің шешімі келесі түрде болады:

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

Теңдеулер жүйесін құрастырамыз:

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

Жүйені шешейік:

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru өрнегінен А(х) функциясын табамыз.

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

Енді В(х) функциясын табайық.

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

Табылған мәндерді біртекті емес теңдеудің шешімінің формуласына қоямыз:

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

Жауабы: Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

Сөйтіп, біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін дара шешімін таппастан жаздық.

Аудиториялық жұмыстар

Берілген теңдеулердің жалпы шешімін тап.

1) y"'-4y"+5y'-2y=2x+3 Жауабы: y=(c1+c2x)ex+c3e2x-x-4.

2) y"'-3y'+2y=e-x(4x2+4x-10) Жауабы: y=(c1+c2x)ex+c3e-2x+(x2+x-1)e-x

3) yIV+8y"+16y=cos x Жауабы:y=(c1+c2x)cos2x+(c3+c4x)sin2x+1/9cos x

4) yIV+2α 2y "+α 4y=cos αx Жауабы: y=(c1+c2x)cosαx+(c3+c4x)sinαx-x2cos αx/ 8α2

5) yV+y"'=x2 –1 Жауабы: y=1/60x5–1/2 x3+c1 x2+c2 x+c3+c4cos x+c5sin x

6) yIV-y=xex + cos x Жауабы: y=c1ex+c2e-x+c3sinx+c4cos x+x2-3x/8*ex-1/4 xsin x

Й жұмыстары

Берілген теңдеулердің жалпы шешімін тап.

7) yIV-2y"+y=8(ex + e-x)+4(sinx+cosx) Жауабы: y=(c1 +c2 x+x2)ex +(c3+c4x+x2)e-x+ +sin x +cos x

8) y"'+2y"+y'+2e-2x =0; y|x=0=2, y'|x=0=1,y"|x=0=1 Жауабы: y=4-3e-x +e-2x

9) y"'-y'=3(2-x); y|x=0=y'|x=0=y"|x=0=1 Жауабы: y=ex +x3

10) Эйлер теңдеуін шеш: x3y"'+xy'-y=0 Жауабы: y=x(c1+c2ln|x| +c3ln2|x|)

ЖӘЙ Дифференциалдық теңдеулер жүйесі

Жәй дифференциалдық теңдеулер жүйелері. Жүйенің нормальдық қалпы.

Анықтама. Төменде берілген теңдеулер жүйесі:

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

бірінші ретті дифференциалдық теңдеулержүйесі деп аталады, мұндағы х-тәуелсіз айнымалы, у1, у2,…,уn – ізделінді функциялар.

Ал, егер жүйе ізделінді функциялардың туындылары арқылы шешілген болса, яғни :

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

онда нормальдық жүйе деп аталады.

Теорема. (Коши теоремасы). Егер (n-1) –өлшемді кеңістіктің қандайда бір аймағында нормальдық жүйенің оң жағындағы

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

функциялары үзіліссіз және Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru бойынша дербес туындылары бар болса, онда осы аймақтың кез-келген Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru нүктелері үшін Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru бастапқы шарттарын қанағаттандыратын, жүйенің жалғыз шешімі бар болатын аймақ табылады.

Коши теоремасының шарттары орындалатын аймақта, жүйенің жалпы шешімі болатын функциялар жиынтығынан Кошидың кез келген есебінің шешімін алуға болады.

Анықтама. Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі деп теңдеулер жүйесін теңбе-теңдікке айналдыратын

Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru , Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru , … Теңдеулерді шешудің Лагранж əдісі - student2.ru

функциялар жиынтығын айтады.

4.2 Тұрақты коэффициентті сызықтық дифференциалдық

Наши рекомендации