Электростатика и постоянный ток 2 страница

На участке III (рис. 24, в) силы и направлены в противоположные стороны, так же как и на участке I, но в отличие от него меньший (по модулю) заряд (– Q) всегда находится ближе к заряду Q₁, чем больший заряд (9Q). Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы и будут одинаковы по модулю, т. е.

.(1)

Пусть расстояние от меньшего заряда до заряда Q₁ равнох, тогда расстояние от большего заряда будет (l+х). Выражая в равенстве (1) F₁ и F₂ в соответствии с законом Кулона, получим

.

Сокращая на QQ₁ и извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, найдем l+x=±3x, откуда x₁=+l/2 и x₂=-l/4.

Кореньx₂ не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы F₁ и F₂ хотя и равны по модулю, но направлены в одну сторону).

Определим знак заряда, при котором равновесие будет устойчивым. Рассмотрим смещение заряда Q₁ в двух случаях: 1) заряд положителен;2) заряд отрицателен.

1. Если заряд Q₁ положителен, то при смещении его влево обе силы F₁ и F₂ возрастают, но F₁ возрастает медленнее (заряд 9Q всегда находится дальше, чем –Q). Следовательно, F₂ (по модулю) больше, чем F₁, и на заряд Q₁ будет действовать результирующая сила, направленная также влево. Под действием этой силы заряд Q₁ удаляется от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда Q₁ вправо. Сила F₂ убывает быстрее, чем F₁. Векторная сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т. е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым.

2. Если заряд Q₁ отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил F₂ и F₁, но сила F₁ возрастает медленнее, чем F₂, т.е. |F₂|>|F₁|. Результирующая сила будет направлена вправо. Под действием этой силы заряд Q₁ возвращается к положению равновесия. При смещении Q₁ вправо сила F₂ убывает быстрее, чем F₁, т. е. |F₁|>|F₂|. результирующая сила направлена влево и заряд Q₁ опять будет возвращаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда Q₁ несущественна.

Отметим, что в электростатике устойчивое равновесие возможно только при определенных ограничениях. В нашем примере заряд Q₁ может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды –Q и 9Q. Если это ограничение снять, то устойчивого равновесия не будет. В системе зарядов, находящихся под действием одних только электростатических сил, устойчивое равновесие невозможно (теорема Ирншоу).

Пример 3. Тонкий стержень длиной l=30 см (рис. 25) несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью t =1 мкКл/м. На расстоянии r₀=20 см от стержня находится заряд Q₁=10 нКл, равноудаленный от концов, стержня. Определить силу F взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.

Решение. Закон Кулона позволяет вычислить силу взаимодействия точечных зарядов. По условию задачи, один из зарядов не является точечным, а представляет собой заряд, равномерно распределенный по длине стержня. Однако если выделить на стержне дифференциально малый участок длиной dl, то находящийся на нем заряд dQ=t·dl можно рассматривать как точечный и тогда по закону Кулона сила взаимодействия между зарядами Q₁ и dQ:

, (1)

где r — расстояние от выделенного элемента до заряда Q₁. Здесь и далее, если в условии задачи не указана среда, имеется в виду, что заряды находятся в вакууме (e=1).

Из чертежа (рис. 25) следует, что и , где

r₀ — расстояние от заряда Q₁ до стержня. Подставив эти выражения в формулу (1), получим

. (2)

Следует иметь в виду, что — вектор, поэтому, преждечеминтегрировать разложим его на две составляющие: , перпендикулярную стержню, и , параллельную ему.

Из рис. 25 видно, что dF₁=dFcosa, dF₂=dFsina. Подставляя значение dF из выражения (2) в эти формулы, найдем:

.

Интегрируя эти выражения в пределах от –b до +b, получим

В силу симметрии расположения заряда Q₁ относительно стержня интегрирования второго выражения дает нуль

Таким образом, сила, действующая на заряд Q₁

. (3)

Из рис. 25 следует, что . Подставив это выражение sinb в формулу (3), получим

. (4)

Произведем вычисления по формуле (4):

Пример 4. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами: Q₁=30 нКл и Q₂= –10 нКл. Расстояние d между зарядами равно 20 см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r₁=15 см от первого и на расстоянии r₂=10 см от второго зарядов.

Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как векторная сумма напряженностей и полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: .

Напряженности электрического поля, создаваемого в вакууме первым и вторым зарядами, соответственно равны

(1)

Вектор (рис. 26) направлен по силовой линии от заряда Q₁, так как заряд Q₁>0; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду Q₂, так как Q₂<0.

Модуль вектора Е найдем по теореме косинусов:

, (2)

где угол a может быть найден из треугольника со сторонами r₁, r₂ и d:

.

В данном случае во избежание громоздких записей вычислим отдельно значение cosa. По этой формуле найдем

cosa =0,25.

Подставляя выражения E₁ и E₂ а по формулам (1) в равенство (2) и вынося общий множитель 1/(4pe₀) за знак корня, получаем

.

Подставив значения величин p, e₀, Q₁, Q₂, r₁, r₂ и cosa в последнюю формулу и произведя вычисления, найдем

Пример 5. Электрическое поле создано двумя параллельными бесконечными заряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда s₁=0,4 мкКл/м² и s₂=0,1 мкКл/м². Определить напряженность электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.

Решение. Согласно принципу суперпозиции, поля, создаваемые каждой заряженной плоскостью в отдельности, накладываются друг на друга, причем каждая заряженная плоскость создает электрическое поле независимо от присутствия другой заряженной плоскости (рис. 27).

Напряженности однородных электрических полей, создаваемых первой и второй плоскостями, соответственно равны:

; .

Плоскости делят все пространство на три области: I, II и III. Как видно из рисунка, в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и, следовательно, напряженности суммарных полей Е^(I) и E^(III) в первой и третьей областях равны между собой и равны сумме напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: Е^(I)= E^(III)=E₁+E₂, или

Е^(I)= E^(III)= .

Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии полей направлены в противоположные стороны и, следовательно, напряженность поля E^(II) равна разности напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: E^(II)=|E₁-E₂|,или

.

Подставив данные и произведя вычисления, получим

E^(I)=E^(III)=28,3 кВ/м; E^(II) =17 кВ/м.

Картина распределения силовых линий суммарного поля представлена на рис. 28.

Пример 6. На пластинах плоского воздушного конденсатора находится заряд Q=10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см² Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила (рис. 29)

F=E₁Q (1)

где E₁ — напряженность поля, создаваемого зарядом одной пластины. Но где s – поверхностная плотность заряда пластины.

Формула (1) с учетом выражения для E₁ примет вид

.

Подставив значения величин Q, и S в эту формулу и произведя вычисления, получим

F=565 мкН.

Пример 7. Электрическое поле создано, бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью s =400 нКл/м², и бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью t =100 нКл/м. На расстоянии r =10 см от нити находится точечный заряд Q =10 нКл. Определить силу, действующую на заряд, ее направление, если заряд и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной плоскости.

Решение. Сила, действующая на заряд, помещённый в поле,

F=EQ, (1)

где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q.

Определим напряженность Е поля, создаваемого, по условию задачи, бесконечной заряженной плоскостью и бесконечной заряженной нитью. Поле, создаваемое бесконечной заряженной плоскостью, однородно, и его напряженность в любой точке

. (2)

Поле, создаваемое бесконечной заряженной линией, неоднородно. Его напряженность зависит от расстояния и определяется по формуле

. (3)

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, напряженность поля в точке, где находится заряд Q, равна векторной сумме напряженностей и (рис. 30): . Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то

.

Подставляя выражения E₁ и E₂ по формулам (2) и (3) в это равенство, получим

,

или

.

Теперь найдем силу F, действующую на заряд, подставив выражение Е в формулу (1):

. (4)

Подставив значения величин Q, e₀, s, t, p и r в формулу (4) и сделав вычисления, найдем

F=289 мкН.

Направление силы , действующей на положительный заряд Q, совпадает с направлением вектора напряженности поля. Направление же вектора задается углом a к заряженной плоскости. Из рис. 30 следует, что

, откуда .

Подставив значения величин p, r, s и t в это выражение и вычислив, получим

a=51°3¢

Пример 8. Точечный заряд Q=25 нКл находится в ноле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R=1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью s =2 мкКл/м². Определить силу, действующую на заряд, помещенный от оси цилиндра на расстоянии r =10 см.

Решение.Сила, действующая на заряд Q, находящийся в поле,

F=QE, (1)

где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q.

Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра

E=t/(2pe₀r), (2)

где t — линейная плотность заряда.

Выразим линейную плотность t через поверхностную плотность s. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд Q₁ двумя, способами:

Q₁=sS=s2pRl и Q₁ =t l.

Приравняв правые части этих равенств, получим t l=2pRls. После сокращения на l найдем t =2pRs. С учетом этого формула (2) примет вид E=Rs/(e₀r). Подставив это выражение Е в формулу (1), найдем искомую силу:

F=QsR/(e₀r). (3)

Так как R и r входят в формулу в виде отношения, то они могут быть выражены в любых, но только одинаковых единицах.

Выполнив вычисления по формуле (3), найдем

F=25×10^-9×2×10^-6×10^-2/(8,85×10^-12×10×10^-2)H=565×10^-6H=565мкH.

Направление силы совпадает с направлением вектора напряженности , а последний в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) направлен перпендикулярно цилиндру.

Пример 9. Электрическое поле создано тонкой бесконечно длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью t =30 нКл/м. На расстоянии а=20 см от нити находится плоская круглая площадка радиусом r =1 см. Определить поток вектора напряженности через эту площадку, если плоскость ее составляет угол b =30° с линией напряженности, проходящей через середину площадки.

Решение.Поле, создаваемое бесконечно равномерно, заряженной нитью, является неоднородным. Поток вектора напряженности в этом случае выражается интегралом

, (1)

где E_n — проекция вектора на нормаль к поверхности площадки dS. Интегрирование выполняется по всей поверхности площадки, которую пронизывают линии напряженности.

Проекция Е_п вектора напряженности равна, как видно из рис. 31,

Е_п=Еcosa,

где a — угол между направлением вектора и нормалью . С учетом этого формула (1) примет вид

.

Так как размеры поверхности площадки малы по сравнению с расстоянием до нити (r<<a), то электрическое поле в пределах площадки можно считать практически однородным. Следовательно, вектор напряженности очень мало. меняется по модулю и направлению в пределах площадки, что позволяет заменить под знаком интеграла значения Е и cosa их средними значениями <E> и <cosa> и вынести их за знак интеграла:

Выполняя интегрирование и заменяя <E> и <cosa> их приближенными значениями Е_A и cosa_A, вычисленными для средней точки площадки, получим

Ф_E=Е_Acosa_AS=pr²Е_Acosa_A. (2)

Напряженность Е_A вычисляется по формуле E_A=t/(2pe₀ a). Из рис. 31 следует cosa_A=cos(p/2—b)=sinb.

С учетом выражения Е_A и cosa_A равенство (2.) примет вид

.

Подставив в последнюю формулу данные и произведя вычисления, найдем

Ф_E =424 мВ·м.

Пример 10. Две концентрические проводящие сферы радиусами R₁=6 см и R₂=10 см несут соответственно заряды Q₁=l нКл и Q₂= – 0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r₁=5 см, r₂=9 см, r₃=15см. Построить график Е(r).

Решение. Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях (рис. 32): область I (r<R₁), область II (R₁<r₂<R₂), область III (r₃>R₂).

1. Для определения напряженности E₁ в области I проведем сферическую поверхность S₁ радиусом r₁ и воспользуемся теоремой Остроградского—Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то согласно указанной теореме получим равенство

, (1)

где E_n — нормальная составляющая напряженности электрического поля.

Из соображений симметрии нормальная составляющая E_n должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т. е. E_n=E₁=const. Поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Равенство (1) примет вид

.

Так как площадь сферы не равна нулю, то E₁=0, т. е. напряженность поля во всех точках, удовлетворяющих условию r₁<R₁, будет равна нулю.

2. В области II сферическую поверхность проведем радиусом r₂. Так как внутри этой поверхности находится, заряд Q₁,тодля нее, согласно теореме Остроградского—Гаусса,можно записать равенство

. (2)

Так как E_n=E₂=const, то из условий симметрии следует

, или ES₂=Q₁/e₀,

откуда

E₂=Q₁/(e₀S₂).

Подставив сюда выражение площади сферы, получим

E₂=Q₁/(4 ). (3)

3. В области III сферическую поверхность проведем радиусом r₃. Эта поверхность охватывает суммарный заряд Q₁+Q₂. Следовательно, для нее уравнение, записанное на основетеоремыОстроградского — Гаусса, будет иметь вид

.

Отсюда, использовав положения, примененные в первых двух случаях, найдем

. (4)

Убедимся в том, что правые части равенств (3) и (4) дают единицу напряженности электрического поля

.

Выразим все величины в единицах СИ (Q₁=10^-9 Кл, Q₂= –0,5·10^-9 Кл, r₂=0,09 м, r₃=0,15м, l/(4pe₀)=9×10⁹ м/Ф) и произведем вычисления:

4. Построим график E(r). В области I (r<R₁) напряженность E=0. В области II (R₁ r<R₂) напряженность E₂(r) изменяется по закону 1/r². В точке r=R₁ напряженность E₂(R₁)=Q₁/(4pe₀R )=2500 В/м. В точке r=R₂ (r стремится к R₂ слева) E₂(R₂)=Q₁/(4pe₀R )=900В/м. В области III (r>R₂) E₃(r) изменяется по закону 1/r², причем в точке r=R₂ (r стремится к R₂ справа)
Е₃(R₂)=(Q₁ – |Q₂|)/(4pe₀R )=450 В/м. Таким образом, функция Е(r) в точках r=R₁ и r=R₂ терпит разрыв. График зависимости Е(r)представлен на рис. 33.

Пример 11. Положительные заряды Q₁=3 мкКл и Q₂=20 нКл находятся в вакууме на расстоянии r₁=l,5 м друг от друга. Определить работу A, которую надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния r₂=1 м.

Решение. Положим, что первый заряд Q₁ остается неподвижным, а второй Q₂ под действием внешних сил перемещается в поле, созданном зарядом Q₁, приближаясь к нему с расстояния r₁ =1,5 м до r₂=1 м.