Глава 9. понятие о деформации сдвига

К понятию сдвига можно прийти, отправляясь от поперечного изгиба. Рассмотрим консольную балку длиной , загруженную на конце силой (рис.9.1а). Под действием приложенной нагрузки в ее сечениях возникают изгибающие моменты: и поперечные силы: . Пусть F - площадь поперечного сечения балки; тогда из формулы (5.10) следует, что с точностью до множителя s ~ Pl/b³, а t ~ P/b², где . Таким образом, если при >> определяющими в балке были нормальные напряжения: s>>t, то при картина меняется на противоположную - нормальными напряжениями можно пренебречь и учитывать только касательные. При этом формула Журавского уже не будет выполняться и мы вынуждены предположить, что касательные напряжения равномерно распределены в поперечном сечении балки: .

Вырежем из нашей балки призматический элемент размерами . Для удобства рассмотрения деформаций закрепим его левую грань, исключив таким образом его перемещение как абсолютно твердого тела (рис.9.1б). Под действием касательных напряжений этот параллелепипед будет изменять свою форму, испытывая деформацию сдвига.

Взаимное смещение противоположных граней такого элемента - |Dv| называется абсолютным сдвигом.

Относительным сдвигом или углом сдвига называется безразмерная величина:

g @ tgg = |Dv|/|Dz|. (9.1)

Она играет ту же роль при рассмотрении деформации сдвига, что и продольная деформация e при ЦРС. Экспериментально было установлено, что между касательными напряжениями t и относительным сдвигом g существует зависимость, которая носит название закона Гука при сдвиге:

t = Gg,

где G - модуль сдвига.

Очевидно, что это соотношение аналогично закону Гука при ЦРС:

σ = Eε.

Таким образом, к двум известным ранее физическим константам Е и n, с которыми мы встретились при изучении ЦРС, добавляется еще одна - G.

Можно ли ожидать, что при рассмотрении других видов НДС мы встретимся с новыми физическими константами? Нет, или, во всяком случае, они будут выражаться через уже известные постоянные Е и , так же как и константа G. Косвенным подтверждением этого является то, что превращение квадратного элемента в ромб в результате деформации сдвига (рис.9.1б) можно интерпретировать как его растяжение двумя силами, действующими по диагонали этого квадрата и являющимися равнодействующей напряжений в левой и верхней, а также нижней и правой гранях этого элемента. И действительно, модуль сдвига выражается через модуль упругости и коэффициент Пуассона по формуле:

G = (E/2)/ (1 +n).

На сдвиг рассчитывают такие детали конструкций как сварные соедине­ния, болты и заклепки (рис.9.1в). Расчет заключается в проверке условия:

t = P/F £ [t],

где F - площадь сечения, по которому происходит сдвиг.

Иначе этот вид деформации называется срезом или скалыванием (для деревянных деталей - рис.9.1г).

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. Формально сдвиг можно было определить еще в параграфе 1.6 как такой вид НДС, при котором в поперечных сечениях бруса Q_x ¹ 0, а остальные компоненты внутренних усилий равны нулю. Сложность заключается в корректном описании способа реализации этого НДС. В рассмотренных примерах он не появляется в чистом виде и, в отличие от ЦРС или изгиба, проявляется локально. При этом в результате сдвига одновременно происходит взаимное смещение горизонтальных слоев и поперечных сечений бруса.

2. Возвращаясь к нашей балке в ее первоначальном виде (рис.9.1а, б), отметим, что для выбранной системы координат . Поэтому, переходя в (9.1) к пределу, получим: .

Для того чтобы влияние касательных напряжений при изгибе стало соизмеримым с нормальными, достаточно, чтобы длина и высота балки отличались меньше, чем на порядок. Прогибы такой балки складываются из ее перемещений вследствие изгиба и перемещений, вызванных сдвигом:

v(z) = v_изг (z) + v_сдв (z).

Дифференцируя, получим соотношение, которое лежит в основе теории расчета «коротких» или «толстых» балок.:

,

где q = dv_изг/ , g = - dv_сдв/dz.