Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница

В предыдущих параграфах были введены два единичных ортогональных вектора: вектор Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , направленный по касательной к кривой, и вектор главной нормали Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , который определён первой формулой Френе (1.9). Введём единичный вектор Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , ортогональный векторам Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , как векторное произведение Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru на Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . (2.1) Нормаль, которая определяется вектором Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , называется Бинормалью. Очевидно, что получена правая тройка ортогональных векторов. Этот подвижный базис (или репер), который сопровождает точку М при её движении по кривой, называется Подвижным, а также Естественным базисом или Репером Френе (Френе – французский геометр XIX века, который в 1847 году первым написал формулы для производных по длине дуги трёх базисных векторов Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru ). Плоскость, проходящая через вектора Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , называется Соприкасающейся, через вектора Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru – Нормальной, а через вектора Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru – Спрямляющей. Эти три плоскости образуют так называемый Естественный трехгранник, или Трехгранник Френе (рис. 2.1). Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Уравнение (1.9) определяет производную Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Для того, чтобы получить производные от векторов Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , обратимся к формуле (2.1). Дифференцируя по Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и используя формулу (1.9), имеем Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Отсюда следует, что вектора Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru ортогональны. Кроме того, Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru ортогонально Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru (см п.3о в 1.2). Таким образом, направление вектора Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru совпадает с направлением вектора главной нормали Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . (2.2) Это Вторая формула Френе, где коэффициент Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru характеризует степень изменяемости вектора Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru по длине дуги, то есть поворот соприкасающейся плоскости. Если Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , то кривая лежит в этой плоскости. Коэффициент Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru называется кручением. Теперь рассмотрим Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Этот вектор ортогонален Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru (по формуле (1.4)), поэтому в разложении по ортогональному базису Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , (2.3) Коэффициент Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Продифференцируем равенство Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru : Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . В последнее соотношение подставим выражение Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru из (2.3) и Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru из (1.9). Получаем равенство Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , отсюда коэффициент Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Поскольку Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , получаем Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . (2.4) С другой стороны, по второй формуле Френе Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Таким образом, С= Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , и Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . (2.5) Это Третья формула Френе. По определению кривизна Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , но кручение Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru может быть любого знака. Для вычисления кручения используем вторую формулу Френе Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Умножив скалярно на Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru левую и правую части равенства, получим Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . С учётом равенства Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru (см. формулу (2.4)), имеем Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Где в круглых скобках записано смешанное произведение трёх векторов. Поскольку Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , а из первой формулы Френе следует, что Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , то Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , (2.6) Где в данном случае штрих означает дифференцирование по Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru .
2.2 Анализ системы уравнений Френе Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru
Система уравнений Френе (1.9), (2.2) и (`2.5) характеризует перемещение трёхгранника Френе, который определяется векторами Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru вдоль заданной кривой. При описании некоторых физических процессов, например, в гидроаэромеханике, вместо неподвижной координатной системы с успехом используют Подвижный (естественный) базис, составленный из указанных векторов, который перемещается вдоль траектории движения вместе с некоторой заданной точкой материальной среды. Систему уравнений Френе разобьём на две подсистемы, первая из которых записывается при Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru =0, а вторая при Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . (2.7) В первой подсистеме вектор бинормали Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru является постоянным и определяет ось вращения трёхгранника Френе при движении вдоль кривой; во второй подсистеме ось вращения – касательная, которая определяется фиксированным вектором Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Таким образом, в первом случае получаем движение в соприкасающейся плоскости, причем скорость вращения определяется коэффициентом Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , а во втором – в нормальной плоскости, при этом скорость вращения определяется коэффициентом Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . В силу линейности уравнений полную систему уравнений получаем сложением двух подсистем (2.7). Соответственно полная скорость вращения состоит из двух компонент Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Отметим также, что система уравнений Френе может быть в некоторых случаях проинтегрирована, среди этих случаев выделим простейшие: 1) Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru ,тогда Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Поскольку Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , то Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Вводя координаты векторов Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , получаем, исключая параметр Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , известные уравнения прямой линии Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . 2) Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru =0, тогда Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , при этом получаем плоскую кривую. 3) Винтовая линия (см. пример в разделе 1.6). Было показано, что кривизна K Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Вычисления показывают, что и кручение Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Оказывается, что это единственная линия, у которых кручение пропорционально кривизне Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . В общем случае три уравнения Френе связывают девять скалярных компонент трёх векторов Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Однако существуют ещё шесть условий, наложенные на эти компоненты. Это условия ортогональности векторов, а также условия, вытекающие из того факта, что эти вектора единичные Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . (2.8) Общее число уравнений ((1.9), (2.2),(2.5) и (2.8)) равно девяти, что совпадает с числом скалярных компонент векторов Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Кроме того, в уравнения Френе входят кривизна Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и кручение Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Теорема о существовании и единственности решения системы уравнений Френе, дополненной соотношениями (2.8), формулируется здесь без доказательства. Теорема. Если заданы кривизна и кручение как непрерывные функции длины дуги Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , то существует единственное решение системы уравнений Френе (1.9), (2.2), (2.5) Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , удовлетворяющее соотношениям (2.8) и следующим начальным условиям: в данной точке Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru задан естественный трёхгранник Френе Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Это решение определено в некоторой окрестности точки Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . В свою очередь, полученный естественный трёхгранник Френе однозначно определяет пространственную кривую, а именно, текущий радиус-вектор Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru .  
3.1. Поверхность в пространстве. Касательная плоскость и нормаль к поверхности в пространстве Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru
         
Известно, что поверхность в пространстве определяется уравнением Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , (3.1) Связывающем прямоугольные декартовые координаты Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Другой способ аналитического описания поверхности – использование парaметрических уравнений Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . (3.2) Исключая параметры Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , мы возвращаемся к уравнению (3.1), связывающему переменные Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Пусть задана некоторая точка Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru на поверхности. Возьмём произвольную кривую, лежащую на поверхности и проходящую через эту точку. Пусть кривая определяется уравнениями Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Подставляя эти соотношения в (3.1) и дифференцируя по параметру Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , получаем Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . (3.3) Равенство (3.3) можно рассматривать как условие ортогональности вектора Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , направленного по касательной к кривой, а значит, и к поверхности, и вектора Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Поскольку кривая выбрана произвольно, то вектор Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru ортогонален ко всем касательным к поверхности, проходящим через точку Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru (эти касательные заполняют касательную плоскость). Вектор Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru называется нормальным вектором плоскости. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru имеют вид Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , (3.4) Где все производные вычисляются в точке Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Заметим, что всё здесь сказанное о касательной плоскости и нормали относится к неособым точкам поверхности. Особые точки поверхности, для которых выписанные формулы не имеют смысла, определяются равенствами Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Теперь обратимся к параметрическим уравнениям поверхности. Подставляя соотношения (3.2) в уравнения (3.1) и дифференцируя по Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , имеем Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Отсюда получаем, что Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Где К – некоторая постоянная. Последние равенства дают возможность записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, представленные формулами (3.4), в параметрическом виде. Параметры Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru определяют положение точки на поверхности, поэтому их называют криволинейными координатами на поверхности. Координатные линии Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru или Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru в общем случае будут кривыми линиями. Линия Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , вдоль которой изменяется только параметр Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , называется линией Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , а линия Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , вдоль которой изменяется только параметр Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru – линией Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru  
3.2. Первая квадратичная форма поверхности. Дифференциальный элемент площади поверхности Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru
         
Рассмотрим квадрат дифференциала длины дуги любой линии на поверхности Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Подставляя в это последнее равенство выражения Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и выделяя коэффициенты при Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , получаем Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , (3.5) Где Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . (3.6) Как видно из последних формул, коэффициенты Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru не зависят от выбора линии на поверхности, а зависят только от вида поверхности и от координат точки. Квадратичная форма Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , определённая в (3.5), называется Первой квадратичной формой поверхности (или Первой дифференциальной формой Гаусса, а также Линейным элементом поверхности). Это основная метрическая форма поверхности. Она инвариантна в том смысле, что не меняется при перемещении поверхности как твёрдого тела, и не зависит от преобразования декартовой системы координат. Если обозначить Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , То из (3.6) следует, что Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Где G – угол между векторами Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , то есть угол, под которым пересекаются координатные линии. Кроме того, Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . (3.7) Следовательно, коэффициенты Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и дискриминант Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru – положительны, а квадратичная форма Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru положительно определена. Коэффициент Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru может быть и положительным, и отрицательным в зависимости от знака Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , то есть в зависимости от того, будет ли координатный угол острым или тупым. Если Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , то координатные линии ортогональны и Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Заметим также, что Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . (3.8)
3.3. Угол пересечения двух линий на поверхности Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru
Рассмотрим две линии на поверхности в точке Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Параметры, относящиеся к этим двум линиям, обозначим соответственно Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Тогда единичные вектора касательных к этим линиям в общей точке М будут Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Под углом J между линиями в точке пересечения М будем понимать угол между векторами касательных к этим линиям. Вычислим Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Используя обозначения предыдущего параграфа, запишем Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . (3.9) Условие ортогональности линий – это Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , или Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . (3.10)
3.4. Дифференциал площади поверхности Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru
Рассмотрим координатную сеть линий на поверхности и криволинейный четырёхугольник, образованный линиями с постоянными значениями координат U И U+DU, V И V+DV, пересекающимися в точках Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru (рис. 3.1). Выделяя главные части приращений Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru И приближенно (при малых Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru ) заменяя криволинейный четырёхугольник параллелограммом, построенным на векторах Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , как показано на рис. 2.1, запишем площадь параллелограмма в виде Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . С учётом формулы (3.7) находим Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . (3.11) Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Поскольку криволинейный четырёхугольник мало отличается от параллелограмма при Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , величину Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru называют Дифференциалом площади поверхности Пример 1. Геликоид. Эта поверхность получается при винтовом движении отрезка прямой, параллельного плоскости Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru и пересекающего ось Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru (ось винтового движения). Проекция отрезка прямой на плоскость Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru равномерно вращается около начала координат, а точка пересечения с осью Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru равномерно перемещается по этой оси (рис. 3.2). Запишем вектора Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Тогда Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , линейный элемент Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Координатные линии здесь записываются таким образом: – линия Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru – винтовая линия; при полном обороте (на угол 2P) проекции Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru точка М поднимается на 2PА, где А – шаг винта; – линия Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru во всех точках имеет одну и ту же аппликату Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru ; проекция линии на плоскость Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Определяется уравнением Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Пример 2. Поверхность вращения. Пусть в плоскости, проходящей через ось Oz , задана линия M Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Где Z И R - прямоугольные декартовы координаты в этой плоскости, причем ось Or лежит на пересечении этой плоскости с плоскостью XOY. Пусть теперь M вращается вокруг оси Oz. Вводя на плоскости XOY полярные координаты R,J, получаем для точки P (проекции точки M, лежащей на линии M) следующие координаты, которые при вращении линии будут изменяться вместе с углом вращения j Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Точка М имеет эти две координаты и ещё третью координату Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Таким образом, радиус-вектор произвольной точки, лежащей на поверхности вращения, имеет вид Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Тогда Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , Линейный элемент Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru . Так как Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru , то координатные линии образуют ортогональную сеть. Линии j=ConstНазываются меридианами (они получаются в сечении поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения). Линии R=const называются параллелями (они получаются в сечении поверхности плоскостями, перпендикулярными оси Oz), это окружности с центрами на оси Oz.  
3.5. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальные кривизны. Классификация точек поверхности Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница - student2.ru
         

Наши рекомендации