Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница
В предыдущих параграфах были введены два единичных ортогональных вектора: вектор  , направленный по касательной к кривой, и вектор главной нормали  , который определён первой формулой Френе (1.9). Введём единичный вектор  , ортогональный векторам  и , как векторное произведение на  . (2.1) Нормаль, которая определяется вектором , называется Бинормалью. Очевидно, что получена правая тройка ортогональных векторов. Этот подвижный базис (или репер), который сопровождает точку М при её движении по кривой, называется Подвижным, а также Естественным базисом или Репером Френе (Френе – французский геометр XIX века, который в 1847 году первым написал формулы для производных по длине дуги трёх базисных векторов , , ). Плоскость, проходящая через вектора и , называется Соприкасающейся, через вектора и – Нормальной, а через вектора  и – Спрямляющей. Эти три плоскости образуют так называемый Естественный трехгранник, или Трехгранник Френе (рис. 2.1).  Уравнение (1.9) определяет производную  . Для того, чтобы получить производные от векторов и , обратимся к формуле (2.1). Дифференцируя по  и используя формулу (1.9), имеем  . Отсюда следует, что вектора  и ортогональны. Кроме того,  ортогонально (см п.3о в 1.2). Таким образом, направление вектора совпадает с направлением вектора главной нормали  . (2.2) Это Вторая формула Френе, где коэффициент  характеризует степень изменяемости вектора по длине дуги, то есть поворот соприкасающейся плоскости. Если  , то кривая лежит в этой плоскости. Коэффициент называется кручением. Теперь рассмотрим  . Этот вектор ортогонален (по формуле (1.4)), поэтому в разложении по ортогональному базису , , ,  , (2.3) Коэффициент  . Продифференцируем равенство  :  . В последнее соотношение подставим выражение  из (2.3) и из (1.9). Получаем равенство  , отсюда коэффициент  . Поскольку  , получаем  . (2.4) С другой стороны, по второй формуле Френе . Таким образом, С= , и  . (2.5) Это Третья формула Френе. По определению кривизна  , но кручение может быть любого знака. Для вычисления кручения используем вторую формулу Френе . Умножив скалярно на  левую и правую части равенства, получим  . С учётом равенства  (см. формулу (2.4)), имеем  , Где в круглых скобках записано смешанное произведение трёх векторов. Поскольку  , а из первой формулы Френе следует, что  , то  , (2.6) Где в данном случае штрих означает дифференцирование по . | |||
| 2.2 Анализ системы уравнений Френе |  |  |  |
Система уравнений Френе (1.9), (2.2) и (`2.5) характеризует перемещение трёхгранника Френе, который определяется векторами , , вдоль заданной кривой. При описании некоторых физических процессов, например, в гидроаэромеханике, вместо неподвижной координатной системы с успехом используют Подвижный (естественный) базис, составленный из указанных векторов, который перемещается вдоль траектории движения вместе с некоторой заданной точкой материальной среды. Систему уравнений Френе разобьём на две подсистемы, первая из которых записывается при =0, а вторая при   ,  . (2.7) В первой подсистеме вектор бинормали является постоянным и определяет ось вращения трёхгранника Френе при движении вдоль кривой; во второй подсистеме ось вращения – касательная, которая определяется фиксированным вектором . Таким образом, в первом случае получаем движение в соприкасающейся плоскости, причем скорость вращения определяется коэффициентом  , а во втором – в нормальной плоскости, при этом скорость вращения определяется коэффициентом . В силу линейности уравнений полную систему уравнений получаем сложением двух подсистем (2.7). Соответственно полная скорость вращения состоит из двух компонент  . Отметим также, что система уравнений Френе может быть в некоторых случаях проинтегрирована, среди этих случаев выделим простейшие: 1) ,тогда  . Поскольку  , то  . Вводя координаты векторов  ,  ,  , получаем, исключая параметр , известные уравнения прямой линии  . 2) =0, тогда   , при этом получаем плоскую кривую. 3) Винтовая линия (см. пример в разделе 1.6). Было показано, что кривизна K  Вычисления показывают, что и кручение Оказывается, что это единственная линия, у которых кручение пропорционально кривизне  . В общем случае три уравнения Френе связывают девять скалярных компонент трёх векторов  . Однако существуют ещё шесть условий, наложенные на эти компоненты. Это условия ортогональности векторов, а также условия, вытекающие из того факта, что эти вектора единичные  ,  . (2.8) Общее число уравнений ((1.9), (2.2),(2.5) и (2.8)) равно девяти, что совпадает с числом скалярных компонент векторов . Кроме того, в уравнения Френе входят кривизна и кручение . Теорема о существовании и единственности решения системы уравнений Френе, дополненной соотношениями (2.8), формулируется здесь без доказательства. Теорема. Если заданы кривизна и кручение как непрерывные функции длины дуги , то существует единственное решение системы уравнений Френе (1.9), (2.2), (2.5)  ,  и  , удовлетворяющее соотношениям (2.8) и следующим начальным условиям: в данной точке  задан естественный трёхгранник Френе  ,  и  . Это решение определено в некоторой окрестности точки  . В свою очередь, полученный естественный трёхгранник Френе однозначно определяет пространственную кривую, а именно, текущий радиус-вектор  . | ||||
| 3.1. Поверхность в пространстве. Касательная плоскость и нормаль к поверхности в пространстве | | | | |
Известно, что поверхность в пространстве определяется уравнением  , (3.1) Связывающем прямоугольные декартовые координаты  . Другой способ аналитического описания поверхности – использование парaметрических уравнений  . (3.2) Исключая параметры  , мы возвращаемся к уравнению (3.1), связывающему переменные . Пусть задана некоторая точка  на поверхности. Возьмём произвольную кривую, лежащую на поверхности и проходящую через эту точку. Пусть кривая определяется уравнениями  . Подставляя эти соотношения в (3.1) и дифференцируя по параметру  , получаем  . (3.3) Равенство (3.3) можно рассматривать как условие ортогональности вектора  , направленного по касательной к кривой, а значит, и к поверхности, и вектора  . Поскольку кривая выбрана произвольно, то вектор  ортогонален ко всем касательным к поверхности, проходящим через точку  (эти касательные заполняют касательную плоскость). Вектор называется нормальным вектором плоскости. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке имеют вид  ,  , (3.4) Где все производные вычисляются в точке . Заметим, что всё здесь сказанное о касательной плоскости и нормали относится к неособым точкам поверхности. Особые точки поверхности, для которых выписанные формулы не имеют смысла, определяются равенствами  . Теперь обратимся к параметрическим уравнениям поверхности. Подставляя соотношения (3.2) в уравнения (3.1) и дифференцируя по , имеем  Отсюда получаем, что  ,  ,  , Где К – некоторая постоянная. Последние равенства дают возможность записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, представленные формулами (3.4), в параметрическом виде. Параметры определяют положение точки на поверхности, поэтому их называют криволинейными координатами на поверхности. Координатные линии  или  в общем случае будут кривыми линиями. Линия , вдоль которой изменяется только параметр , называется линией , а линия , вдоль которой изменяется только параметр  – линией | ||||
| 3.2. Первая квадратичная форма поверхности. Дифференциальный элемент площади поверхности | | | | |
Рассмотрим квадрат дифференциала длины дуги любой линии на поверхности  . Подставляя в это последнее равенство выражения  и  и выделяя коэффициенты при  , получаем  , (3.5) Где  ,  ,  . (3.6) Как видно из последних формул, коэффициенты  не зависят от выбора линии на поверхности, а зависят только от вида поверхности и от координат точки. Квадратичная форма  , определённая в (3.5), называется Первой квадратичной формой поверхности (или Первой дифференциальной формой Гаусса, а также Линейным элементом поверхности). Это основная метрическая форма поверхности. Она инвариантна в том смысле, что не меняется при перемещении поверхности как твёрдого тела, и не зависит от преобразования декартовой системы координат. Если обозначить  ,  , То из (3.6) следует, что  ,  ,  , Где G – угол между векторами  и  , то есть угол, под которым пересекаются координатные линии. Кроме того,  . (3.7) Следовательно, коэффициенты  и дискриминант  – положительны, а квадратичная форма положительно определена. Коэффициент  может быть и положительным, и отрицательным в зависимости от знака  , то есть в зависимости от того, будет ли координатный угол острым или тупым. Если  , то координатные линии ортогональны и  . Заметим также, что  . (3.8) | |||
| 3.3. Угол пересечения двух линий на поверхности | | | |
Рассмотрим две линии на поверхности в точке  . Параметры, относящиеся к этим двум линиям, обозначим соответственно  и  . Тогда единичные вектора касательных к этим линиям в общей точке М будут  и  . Под углом J между линиями в точке пересечения М будем понимать угол между векторами касательных к этим линиям. Вычислим  . Используя обозначения предыдущего параграфа, запишем  . (3.9) Условие ортогональности линий – это  , или  . (3.10) | |||
| 3.4. Дифференциал площади поверхности | | | |
Рассмотрим координатную сеть линий на поверхности и криволинейный четырёхугольник, образованный линиями с постоянными значениями координат U И U+DU, V И V+DV, пересекающимися в точках  (рис. 3.1). Выделяя главные части приращений  И приближенно (при малых  ) заменяя криволинейный четырёхугольник параллелограммом, построенным на векторах  и  , как показано на рис. 2.1, запишем площадь параллелограмма в виде  . С учётом формулы (3.7) находим  . (3.11)  Поскольку криволинейный четырёхугольник мало отличается от параллелограмма при  , величину  называют Дифференциалом площади поверхности Пример 1. Геликоид. Эта поверхность получается при винтовом движении отрезка прямой, параллельного плоскости  и пересекающего ось  (ось винтового движения). Проекция отрезка прямой на плоскость равномерно вращается около начала координат, а точка пересечения с осью равномерно перемещается по этой оси (рис. 3.2). Запишем вектора   ,  ,  ,  Тогда  ,  ,  , линейный элемент  . Координатные линии здесь записываются таким образом: – линия – винтовая линия; при полном обороте (на угол 2P) проекции  точка М поднимается на 2PА, где А – шаг винта; – линия во всех точках имеет одну и ту же аппликату  ; проекция линии на плоскость Определяется уравнением  .  Пример 2. Поверхность вращения. Пусть в плоскости, проходящей через ось Oz , задана линия M  , Где Z И R - прямоугольные декартовы координаты в этой плоскости, причем ось Or лежит на пересечении этой плоскости с плоскостью XOY. Пусть теперь M вращается вокруг оси Oz. Вводя на плоскости XOY полярные координаты R,J, получаем для точки P (проекции точки M, лежащей на линии M) следующие координаты, которые при вращении линии будут изменяться вместе с углом вращения j  . Точка М имеет эти две координаты и ещё третью координату . Таким образом, радиус-вектор произвольной точки, лежащей на поверхности вращения, имеет вид  ,  ,  ,  . Тогда  ,  ,  , Линейный элемент  . Так как , то координатные линии образуют ортогональную сеть. Линии j=ConstНазываются меридианами (они получаются в сечении поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения). Линии R=const называются параллелями (они получаются в сечении поверхности плоскостями, перпендикулярными оси Oz), это окружности с центрами на оси Oz. | ||||
| 3.5. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальные кривизны. Классификация точек поверхности | | | | |