Рассчитать и построить график амплитудного спектра радиоимпульсов

Вариант

На входе полосового фильтра действуют периодические прямоугольные радиоимпульсы (рис. 1.1) с параметрами: t_и – длительность импульсов, T_и – период следования; T_н – период несущей частоты; U_mн – амплитуда несущего колебания, имеющего форму гармонического

u_н(t) = U_mн × cosw_нt.

Требуется рассчитать двусторонне нагруженный пассивный полосовой LC-фильтр и активный полосовой RC-фильтр для выделения эф­фективной части спектра радиоимпульсов, лежащей в полосе частот от (f_н – 1/t_и) до (f_н + 1/t_и) (главный «лепесток спектра»). График модуля спектральной функции U(f) = |U(jf)| радиоимпульса приведен на рис. 1.2. Спектр имеет дискретный характер, поэтому частоты f_п1 и f_п2 границы полосы пропускания фильтров определяются крайними частотами в главном «лепестке спектра». Частоты f_з1 и f_з2 полосы задерживания (непропускания) фильтра определяются частотами первых дискретных составляющих, лежащими слева от (f_н – 1/t_и) и справа от

(f_н + 1/t_и). Конкретное определение численных значений всех частот показано в типовом примере расчета LC-фильтра.

Исходные данные для расчета приведены в таблицах 1.1 и 1.2. Сопротивления генератора радиоимпульсов R_г и сопротивление нагрузки R_н пассивного фильтра одинаковы: R_г = R_н = R. Для вариантов 01¸25 и 51¸75 R = 600 Ом, для вариантов 26¸50 и 76¸99 R = 1000 Ом. Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.

R = 600 Ом

Таблица 1.1

№№ вариантов	Тн, мкс	tи, мкс	Ти, мкс	DА, дБ	Апол, дБ
22 и 47				0,5

Таблица 1.2

Варианты	Umн, В
07 17 27 37 4757 67 77 87 97

Расчет полосового LC-фильтра

Согласно заданию на курсовую работу на входе полосового фильтра действуют периодические радиоимпульсы (рис. 1.1) с параметрами:

Рисунок 1.1

период следования импульсов T_и = 135 мкс; длительность импульсов t_и = 50 мкс; период несущей частоты T_н = 10 мкс; амплитуда колебаний несущей частоты U_m.н = 13 В. Фильтр должен обеспечить максимально допустимое ослабление в полосе пропускания А_max = DA = 0,5 дБ. Полное ослабление на границах полос непропускания А_пол = 27 дБ. Сопротивления нагрузок фильтра слева и справа R_г = R_н = 1 кОм (рис. 1.2).

Рисунок 1.2

Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.

Рассчитать и построить график амплитудного спектра радиоимпульсов

u_н(t) = U_mн × cosw_нt =13× cos (2π/(T_н∙f))

Находим несущую частоту

f_н = 1/T_н = 100000 Гц

f_н – 1/t_и = 1/(10∙10^-6)- 1/(50∙10^-6) = 100000-20000=80000 Гц

f_н + 1/t_и = 1/(10∙10^-6)+ 1/(50∙10^-6) = 100000+20000=120000 Гц

f_н – 2/t_и = 1/(10∙10^-6)- 2/(50∙10^-6) = 100000-40000=60000 Гц

f_н + 2/t_и = 1/(10∙10^-6)+ 2/(50∙10^-6) = 100000+40000=140000 Гц

Максимальное значение огибающей в виде напряжения, соответствующее частоте f_н, находится по формуле

U_он = (U_mн∙t_и)/(2∙Т_и) = (14∙50)/(2∙137) = 2,4 В

Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, строим огибающую дискретного спектра периодических радиоимпульсов в масштабе по оси частот (рис. 1.3).

Внутри огибающей находятся спектральные составляющие или гармоники спектра с частотами f_i, где i – номер гармоники. Они располагаются симметрично относительно несущей частоты, зависят от периода следования импульсов и находятся по формуле

.

Учитывая, что

f _и = 1/135∙10^-6 =7407,4 Гц ≈7407 Гц

рассчитываем частоты гармоник, лежащих только справа от f_н:

f ₁ = f _н +1∙fи =100+7,407=107,407кГц

f ₂ = f _н +2∙fи =100+2∙7,407=114,814 кГц

f _2,7 = f _н +2,7∙fи =100+2,7∙7,407=120,0 кГц

f ₃ = f _н +3∙fи =100+3∙7,407=122,222 кГц

f ₄ = f _н +4∙fи =100+4∙7,407=129,631 кГц

f ₅ = f _н +5∙fи =100+5∙7,407=137,041 кГц

f _5,4 = f _н +5,4∙fи =100+5,4∙7,407=140,0 кГц и т.д

Частоты гармоник, лежащих слева от f_н, будут:

f _-1 = f _н -1∙fи =100-7,407=92,59кГц

f _-2 = f _н -2∙fи =100-2∙7,407=85,19кГц

f _-2,7 = f _н -2,7∙fи =100-2,7∙7,407=80,0 кГц

f _-3 = f _н -3∙fи =100-3∙7,407=77,78 кГц

f _-4 = f _н -4∙fи =100-4∙7,407=70,37 кГц

f _-5 = f _н -5∙fи =100-5∙7,407=62,963 кГц

f _-5,4 = f _н -5,4∙fи =100-5,4∙7,407=60,0 кГц и т.д

Амплитуды напряжения i-ых гармоник находятся по формуле

где K = t_и/T_н = 5 – количество периодов несущих колебаний косинусоидальной формы в импульсе.

Рис.1.3

Из анализа рис. 1.3 видно, что главный «лепесток спектра» занимает диапазон частот от 80 до 120 кГц. Крайние частоты диапазона совпадают с нулями огибающей, поэтому их амплитуды равны нулю, в частности U_m.2,7 = 0, U_m.(–2,7) = 0.

После расчета амплитуд по их значения отражаются в виде дискретных составляющих внутри огибающей спектра (рис. 1.3).

Характерная особенность спектра, связана с понятием скважности импульсов. Скважность q, т.е. отношение периода следования импульсов T_и к длительности импульсов t_и. В рассматриваемом примере q = 2,7, поэтому в спектре будут отсутствовать (совпадать с нулями огибающей) 2,7; 5,4; 8,1 и т.д. гармоники слева и справа от несущей частоты.

2. Определить частоты f_п2 и f_з2 и рассчитать превышение амплитуды частоты f_п2 над амплитудой частоты f_з2 в децибелах в виде соотношения А¢ = 20lgU_mп/U_mз на входе фильтра

Учитывая, что амплитуды спектральных составляющих на частотах 80 и 120 кГц равны нулю, примем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 87,704 кГц до 114,814 кГц. Следовательно, эти частоты будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра f_п1 и f_п2 соответственно (рис. 2.1, б).

Рис.2.1

Граничную частоту полосы непропускания f_з2 выбираем равной частоте первой гармоники спектра сигнала, находящейся после частоты

(f_н + 1/t_и) = 120 кГц. Этой частотой является частота f₃ = 127,407кГц. Следовательно, f_з2 = f₃ = 127,407кГц.

Найдем центральную частоту ПП:

Тогда граничная частота f_з.1 полосы непропускания будет

Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы амплитуд гармоник f₃ и f₅ спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной А_пол – полного ослабления:

где

исходная разница амплитуд второй и третьей гармоник в децибелах, найденная в ходе расчета спектра радиоимпульсов.

3. Рассчитать минимально допустимое ослабление фильтра в полосе задерживания А_min = А_пол – А¢.

Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему:

f_п2 = 114,814кГц, f_п1 = 87,407 кГц,

;А_max = DA = 0,5 дБ;R_г = R_н = 1 кОм

f_з2 = 127,407кГц; f_з1 = 79,035кГц

R = 600 Ом

Аппроксимация передаточной функции должна быть выполнена с помощью полинома Чебышева.

4. Рассчитать порядок m НЧ-прототипа требуемого фильтра

Формирование передаточной функции
НЧ-прототипа

Используя, находим граничные частоты ПП и ПН НЧ-прототипа.

f_п.нч = 114,814 - 87,407 = 27,407 кГц

f_з.нч = 127,407 - 79,035 = 48,372 кГц

По формулам получаем значения нормированных частот

Требования к НЧ-прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 3.1.

Находим коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП при A = DA и W = 1, когда y(1) = Т_m(1) = 1:

Порядок фильтра Чебышева находится при A = A_min и W =W_з, т. е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПН полином Чебышева Т_m(W) = chmarchW, поэтому

Для вычисления функции archх используем соотношение

Принимаем m = 3.

Пользуясь таблицей 3.1, находим полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа для DA = 0,5 дБ:

Обратить внимание на то, что полюсы расположены в левой полуплоскости комплексной переменной р.

Формируем нормированную передаточную функцию НЧ-прототипа в виде

где v(р) – полином Гурвица, который можно записать через полюсы:

Производя вычисления, получим

Обратить внимание на то, что числитель равен свободному члену полинома знаменателя.

5. Реализация LC-прототипа

Для получения схемы НЧ-прототипа воспользуемся методом Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра (рис. 2.2) составляется выражение для входного сопротивления Z_вх.1(р).

Формула описывает входное сопротивление двухполюсника (согласно схеме на рис. 2.2 фильтр, нагруженный на сопротивление R_н, это действительно двухполюсник). А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методом Кауэра [1¸6]. По этому методу формула для Z_вх(р) разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя. Исходя из последнего, (3.8) преобразуется к виду

после чего производится ряд последовательных делений. Вначале числитель делим на знаменатель:

Затем первый делитель делим на первый остаток:

Второй делитель делим на второй остаток:

Третий делитель делим на третий остаток:

Получили четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей: pC, 1/pL, 1/R. Из анализа первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому все выражение можно записать в виде цепной дроби:

По формуле составляем схему (рис. 3.2), на которой С_1н = 1,597;

L_2н = 1,097; С_3н = 1,597; R_г.н = R_н.н = R_нор.

Рис.3.2

Денормируем элементы схемы НЧ-прототипа, используя соотношения:

где w_н = w_п.нч – нормирующая частота;

R_г – нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

Используя соотношения и значения w_н и R_г получаем реальные значения элементов схемы НЧ-прототипа:

где w_н = w_п.нч – нормирующая частота;

R_г – нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

Используя значения w_н и R_г получаем реальные значения элементов схемы НЧ-прототипа: