Использование метода самосогласования для нахождения электростатического потенциала в плазме

В плазме предполагаем сначала наличие частиц одного сорта. Вводим концентрацию частиц с номером в точке : .

- макроскопическое значение концентрации частиц.

Условие нейтральности означает:

В некотором окрестном объеме суммарный заряд близок к нулю, но нулю не равен:

Концентрация заряженных частиц в различных плазмах (космическая, лазерная, и др.) разная и колеблется очень существенно:

Часто накладывается ограничение: в плазме должно содержаться много частиц, чтобы проявлялись их коллективные свойства.

Используют формулу из статистической физики:

- это электростатический потенциал.

Запишем уравнение Пуассона для электростатического потенциала в плазме:

Используем идею самосогласования для электростатического потенциала.

Рассмотрим точечный заряд в плазме, тогда . Запишем всей среды – в ней надо учесть и и плотность зарядов остальной среды. Тогда

Используем формулу . В экспоненте стоит потенциал , который и нужно найти. Для упрощения задачи разложим экспоненту в ряд. Если энергия электростатического взаимодействия во много раз меньше энергии теплового взаимодействия, т.е. плазма идеальная, то

при условии, что (тепловое взаимодействие много больше электростатического).

Условие идеальности плазмы принимает вид:

Тогда

Подставим в уравнение Пуассона:

,

где , - дебаевский радиус экранирования.

Мы получили уравнение Клейна, оно получается из уравнения Гельмгольца при замене . Решение уравнения Гельмгольца мы знаем:

- функция Грина

Тогда решение уравнения Клейна:

Часто пишут

т.е. кулоновский потенциал, умноженный на экспоненту (влияние плазмы).

На расстоянии от заряда потенциал убывает в е раз по сравнению с кулоновским и им пренебрегают. Потенциал экранируется зарядами противоположного знака из плазмы.

Для реализации коллективных свойств необходимо, чтобы концентрация частиц в объеме плазмы радиуса была много больше единицы, т.е. .