Непосредственное интегрирование

Пример: .

2. Замена переменных.

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b]. Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).

1) j(a) = а, j(b) = b;

2) j(t) и j¢(t) непрерывны на отрезке [a, b];

3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то .

Тогда

Пример:

3. Интегрирование по частям .

Формула имеет вид: .

Пример: = = =

= + =0.

Приближенное вычисление определенного

Интеграла

Потребность в приближенном вычислении интеграла возникает тогда, когда не существует или неизвестен метод отыскания точного значения интеграла, и тогда, когда этот метод известен, но неудобен.

Формула прямоугольников

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей, длины которых равны , где x₁, x₂, … x_n – точки разбиения. Тогда можно записать, что .

При таком разбиении имеем прямоугольники, площадь которых равна , где , а – некоторая точка на отрезке, которая в частности выбирается середина отрезка .

Тогда сумма площадей всех прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение определенного интеграла и называемое общей формулой прямоугольников:

.

Формула трапеций

Эта формула является более точной по сравнению с формулой прямоугольников.

Подынтегральная функция в этом случае заменяется на вписанную ломаную. Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций.

Замечание: чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

;

.

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула)

Данный метод основан на разбиении дуги линии f(x), соответствующую [a, b], дугами парабол, что позволяет получить более точную формулу приближенного вычисления. Для этого разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m).

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси OY и проходящей через точки кривой, со значениями f(x₀), f(x₁), f(x₂).

Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

y

x

x0

x2

x1

Уравнения этих парабол имеют вид

Ax² + Bx + C,

где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

Для определения А, В, С имеется система уравнений:

(1)

Если обозначим и примем х₀ = -h, x₁ = 0, x₂ = h, то (2)

Выразается S через величины (1):

C учетом этого: .

Отсюда выражение (2) примет вид:

Тогда для каждой пары отрезков имеется:

. . .

Суммируя эти выражения, получаем формулу называемую формулой Симпсона:

Пример:

Вычислим приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона и формулы трапеций, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. По формуле Симпсона получим:

m
x	-2	-1
f(x)	2.828	3.873		4.123	4.899	6.557	8.944	11.874	15.232	18.947	22.978

Точное значение этого интеграла: 91.173.

Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

Несобственные интегралы