Геометрический смысл производной

Производная функции одной переменной

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀, (включая саму эту точку).

Если существует предел отношения приращения функции Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀) к вызвавшему его приращению аргумента Δx, когда Δx → 0, то этот предел называется производной функции y = f(x) в точке x₀ и обозначается символом f '(x₀), т.е.

f '(x0) = lim Δx → 0 Δy Δx = lim Δx → 0 f(x0 + Δx) − f(x0) Δx .

Наряду с обозначением производной f '(x) функции y = f(x) в произвольной точке х используют и другие обозначения :

y '(x), y 'x, dy dx , df(x) dx .

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Таблица производных элементарных функций

( xα ) ' = α xα − 1
(ax ) ' = ax lna	(logax) ' = x lna
(ex ) ' = ex	(lnx)' = x
(sinx)' = cosx	(arcsin x)' = √ 1 − x2
(cosx)' = − sinx	(arccos x) ' = − √ 1 − x2
(tg x)' = cos2x	(arctg x)' = 1 + x2
(ctg x)' = − sin2x	(arcctg x)' = − 1 + x2
(sh x)' = ch x	(Arsh x)' = √ x2 + 1
(ch x)' = sh x	(Arch x) ' = √ x2 − 1
(th x)' = ch2x	(Arth x)' = 1 − x2
(cth x)' = − sh2x	(Arcth x)' = 1 − x2

Доказательства формул приведены в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 92–94 и 105.

Дифференцирование суммы, произведения и частного двух функций

Теорема 1. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют производные в точке х₀. Тогда в этой точке имеют производные их сумма, произведение и, при дополнительном условии v(x₀) ≠ 0, их частное, причем:

(u ± v) ' = u ' ± v ' , (u · v) ' = u ' · v + u · v ' , æ è u v ö ø   ' = u ' · v − u · v ' v2 .

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 90.

Замечания.

1. Из превила дифференцирования произведения с учетом того, что производная постоянной функции равна нулю получаем:

(C · v) ' = C · v ' ;

2. Используя это свойство и правило дифференцирования суммы, получаем

( C1 · u1 + C2 · u2 + … + Cn · un ) ' = C1 · u1 ' + C2 · u2 ' + … + Cn · un ' ,

где C₁, C₂, … , C_n — некоторые числа.

Иными словами, дифференцирование — это линейный оператор.

Теорема 2. Если функция f(x) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 88.

Геометрический смысл производной

Теорема 3. Непрерывная функция y = f(x) имеет в точке x₀ конечную производную f '(x₀) тогда и только тогда, когда ее график в точке (x₀, f(x₀) имеет касательную с угловым коэффициентом

tg α = f '(x0) ( − π/2 < α < π/2).

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 85.

Таким образом значение производной f '(x₀) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции f(x) в точке M₀(x₀, f(x₀)) (рис. 1).

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке (x₀, f(x₀)) получается как уравнение прямой, проходящей через точку (x₀, f(x₀)), с угловым коэффициентом k = f '(x₀) и имеет вид

y − f(x0) = f '(x0) (x − x0).

Уравнение нормали к графику функции y = f(x) в точке (x₀, f(x₀)) имеет вид

y − f(x0) = − f '(x0) (x − x0).

Если f '(x₀) = 0, то уравнение нормали x = x₀.

Замечание. Если в точке x₀ производная f '(x₀) = ± ∞, то в точке M₀(x₀, f(x₀)) существует вертикальная касательная и ее уравнение имеет вид x = x₀ (рис. 2). Уравнение соответствующей нормали y = f(x₀).