Отношения между множествами

Об отношениях между множествами судят по количеству общих элементов этих множеств.

Отметим две возможности.

I. Множества А и В не имеют общих элементов. На диаграммах Эйлера-Венна нет точек (элементов), которые принадлежали бы одновременно А и В (рисунок 1).

II. Множества А и В имеют общие элементы, т.е. существуют элементы, которые одновременно принадлежат и множеству А, и множеству В. При этом возможны три случая.

1. Не все элементы множества А принадлежат множеству В, и не все элементы множества В принадлежат множеству А. В этом случае говорят, что множества А и В находятся в отношении пересечения. Кругами Эйлера это отношение изображается так, как показано на рисунке 2.

2. Все элементы множества В принадлежат множеству А, но множество А может содержать элементы, не принадлежащие множеству В. Множество В является подмножеством множества А. В этом случае говорят, что множества В и А находятся вотношении включения. Кругами Эйлера такое отношение изображено на рисунке 3.

3.Все элементы множества А принадлежат множеству В, и все элементы множества В принадлежат множеству А. В этом случае множества равны или совпадают (рисунок 4).

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Объединение множеств

Пусть даны два множества: A = {15, 30, 45 60, 75} – множество двузначных чисел, кратных 15; B = {18, 36, 54, 72, 90} –множество двузначных чисел, кратных 18.

Образуем новое множество, состоящее из элементов этих множеств. Полученное множество {15, 18, 30, 36, 45, 60, 72, 75, 90} называется объединением множеств А и В. Число 90 записали один раз, поскольку в записи множеств элементы не должны повторяться.

Определение.Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному их этих множеств.

Объединение множеств А и В обозначается символом .

Аналогично определяется объединение трех и более множеств.

Определение объединения множеств А и В можно записать в виде:

= { или }.

На рисунке изображено объединение множеств А и В с помощью кругов Эйлера. Вся заштрихованная область – это множество А В.

Пересечение множеств

Пусть даны два множества:

A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – множество натуральных делителей числа 12;

B = {1,3, 6, 9, 18} – множество натуральных делителей числа 18.

Образуем множество, состоящее из общих элементов этих множеств. Полученное множество {1, 3, 6} называют пересечением множеств А и В.

Определение.Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее только из тех элементов, которые принадлежат множеству А и множеству В одновременно.

Пересечение множеств А и В обозначают символом .

Аналогично определяется пересечение трех и более множеств.

Определение пересечения множеств можно записать в виде:

= { и }.

Если множества А и В изобразить кругами Эйлера, то пересечению будет соответствовать заштрихованная часть.

Разность двух множеств

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

Разность множеств А и В обозначают символом А В.

Определение разности можно записать в таком виде:

A\B = { и }.

Если множества А и В изобразить кругами Эйлера, то разности множеств соответствует заштрихованная часть.

Если множество В является подмножеством множества А, то разность множеств А и В называется дополнением множества В до множества А.

ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ МНОЖЕСТВА

Если А – конечное множества, то в ряде случаев можем подсчитать число элементов, которые составляют множество А.

Это число обозначают так: n(A).

A = {12, 25, 47, 84}, n(A) = 4, т.е. множество А содержит 4 элемента.

Если заданы конечные множества А и В, не имеющие общих элементов, то число элементов в их объединении определяют по формуле:

Если заданы конечные множества А и В, имеющие общие элементы, то число элементов в их объединении подсчитывают по формуле:

Формула для числа элементов объединения трех множеств выглядит несколько сложнее:

Используя эту формулу, можно проще решить некоторые задачи.

Пример. В спортивных соревнованиях участвует школьная команда из 20 человек, каждый из которых имеет спортивный разряд по одному или нескольким из трех видов спорта: легкой атлетике, плаванию и гимнастике. Известно, что 12 из них имеют спортивные разряды по легкой атлетике, 10 – по гимнастике и 5 – по плаванию. Сколько школьников из этой команды имеют разряды по всем видам спорта, если по легкой атлетике и гимнастике разряды имеют 4 человека, по легкой атлетике и плаванию – 2 человека, по плаванию и гимнастике – 2 человека?

Пусть А – множество учащихся, имеющих разряды по легкой атлетике, В – множество учащихся, имеющих разряды по гимнастике, и С – множество школьников, имеющих разряды по плаванию.

По условию задачи имеем:

Надо найти .

По формуле для числа элементов в объединении трех множеств имеем:

Таким образом, из 20 школьников, участвующих в спортивных соревнованиях, имеет разряды по всем видам спорта только один человек.

Рассмотрим следующий пример.

В научно-исследовательском институте работают 67 человек. Из них 47знают английский язык, 35— немецкий язык и 23 — оба языка. Сколько человек в институте не знают ни английского, ни немецкого языков?

Для решения этой задачи надо разбить весь коллектив сотрудников института на части, не имеющие общих элементов. Первую из них составят те, кто знает только английский язык, вторую — те, кто знает только немецкий язык, третью — те, кто знает оба языка, и четвертую — те, кто не знает ни одного, ни другого языка. Нам дано, что третья часть состоит из 23 человек. Но так как английский язык знают 47 человек, то только английским языком владеют 47-23=24 человека. Точно так же только немецким языком владеют 35-23=12 человек. Отсюда следует, что общее число людей, владеющих одним из этих языков, равно 23+24+12=59 человек. А так как всего в институте работают 67 человек, то на долю последней части приходится 67-59=8 человек. Итак, 8 человек не знают ни английского, ни

немецкого языка.

Полученный ответ можно записать в виде

8 = 67-(23 + 24+12).

Но 24 мы получили, вычитая 23 из 47, а 12 — вычитая 23 из 35. Поэтому

8 = 67-23-(47-23)-(35-23) = 67-47-35+23.

Теперь видна закономерность — из общего числа сотрудников вычитается число знающих английских язык 24 и число знающих немецкий язык. При этом некоторые сотрудники попадают в оба списка и оказываются «вычтенными» дважды. Это как раз те полиглоты, которые знают оба языка. Прибавляя их число, мы получаем число лиц, не знающих ни одного из этих языков.

Теперь видна закономерность: из общего числа сотрудников вычитается число знающих английских язык 24 и число знающих немецкий язык. При этом некоторые сотрудники попадают в оба списка и оказываются «вычтенными» дважды. Это как раз те полиглоты, которые знают оба языка. Прибавляя их число, мы получаем число лиц, не знающих ни одного из этих языков.

1.7. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Используя две цифры, например, 3 и 5, можно записать четыре числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В рассмотренных примерах мы имели дело с упорядоченными парами.

Упорядоченную пару, образованную из элементов a и b, принято записывать, используя круглые скобки: (a; b). Элемент a называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b - второй координатой (компонентой) пары.

Пары (a; b) и (c; d) равны в том случае, если a = c и b = d.

В упорядоченной паре (a; b) может быть, что a = b. Так запись чисел 33 и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3) и (5; 5).

Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одного множества, так и из элементов двух множеств. Пусть A = {1, 2, 3}; B = {3; 5}. Образуем упорядоченные пары так, чтобы первая компонента принадлежала множеству А, а вторая – множеству В. Если мы перечислим все такие пары, то получим множество: {(1; 3), (1; 5), (2; 3), (2; 5), (3; 3), (3; 5)}.

Видим, что имея два множества А и В, получили новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это множество называют декартовым произведением множеств А и В.

Определение. Декартовым произведением множеств А и В называют множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Декартово произведение множеств А и В обозначают А×В. Используя это обозначение, определение декартова произведения можно записать так:

A×B = {(x; y) | и }.

Пример.

Найти декартово произведение множеств А и В, если

A = {m; n}, B = {t, f, k}.

Решение. по определению декартова произведения, образуем все пары, первая компонента которых выбирается из множества А, вторая – из В:

A×B = {(m; t), (m; f), (m; k), (n; t), (n; f), (n; k)}.

В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов.

Упорядоченные наборы называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит.

Например, (3; 6; 7) – это кортеж длины 3; (8; 9; 2; 6; 3; 5; 7) – кортеж длины 7.

Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и вообще n множеств.

Определение. Декартовым произведением множеств А₁, А₂,…, А_n называют множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству А₁, вторая – множеству А₂,…, n-я – множеству А_n.

Пример. Даны множества A = {2; 3}, B = {3; 4; 5}, C = {6; 7}.

Найти A×B×C.

Решение. Элементами множества А×В×С будут кортежи длины 3 такие, что первая компонента принадлежит множеству А, вторая – множеству В, третья – множеству С.

A×B×C = {( 2, 3, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (2, 4, 7), (2, 5, 6), (2, 5, 7), (3, 3, 6), (3, 3, 7), (3, 4, 6), (3, 4, 7), (3, 5, 6), (3, 5, 7)}.

Если в множестве А содержится a элементов, а в множестве В – b элементов, то в декартовом произведении множеств А и В содержится ab элементов, т.е.

n(A×B) = n(A) ∙n(B) = ab.

Правило распространяется на случай k множеств, т.е.

n(A₁×A₂×…×A_k) = n(A₁) ∙ n(A₂) ∙ … ∙ n(A_k).

Например, если в множестве А содержится 3 элемента, в множестве И – 4 элемента, в множестве С – 5 элементов, то в их декартовом произведении будет содержаться 3 4 5 = 60 упорядоченных наборов из трех элементов.

Полученные формулы можно применять при решении задач.

Задача 1. У Маши 3 различных юбки и 4 различных кофты. Сколько различных комплектов, состоящих из юбки и кофты, она может составить?

Решение. Пусть А – множество юбок у Маши, В – множество кофт у нее. По условию задачи n(A) = 3, n(B) = 4. Требуется найти число возможных пар, образованных из элементов множеств А и В, т.е. n(A×B). Но согласно правилу n(A×B) = n(A) ∙ n(B) = 3 ∙ 4 = 12. Таким образом, из 3 юбок и 4 кофт Маша может составить 12 различных комплектов.

Задача 2. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 5; 4 и 7?

Решение. Запись любого двузначного числа состоит из двух цифр и представляет собой упорядоченную пару. В данном случае эти пары образуются из элементов множества A = {5; 4; 7}. В задаче требуется узнать число таких пар, т.е. число элементов в декартовом произведении A×A. Согласно правилу n(A×A) = n(A) ∙ n(A) = 3 ∙ 3 = 9. Значит, двузначных чисел, записанных с помощью цифр 5, 4 и 7 будет 9.

Часто при решении задач требуется не только ответить на вопрос о том, сколько существует возможных вариантов ее решения, но и осуществить перебор этих вариантов. Например, в задаче 2 можно предложить записать все двузначные числа, используя цифры 5, 4 и 7:

55, 54, 57, 45, 44, 47, 75, 74, 77.