Определение, примеры и свойства линейных операторов

Пусть L и L¹ – два линейных пространства над полем Р .

Определение 31. Отображение j линейного пространства L в линейное пространство L¹ называется линейным оператором, если для любых векторов а и в из L и любого элемента l Î Р выполняются условия j(а + в) = j(а) + j(в) и j(lа) =lj(а).

Элемент j(а) называется образом элемента а , элемент а называется прообразом элемента а.

Определение 31 эквивалентно определению 31¹:

Отображение j линейного пространства L в линейное пространство L¹ называется линейным оператором, если для любых векторов а и в из L и любых элементов a, b Î Р выполняется условие j(a×а+ b×в) = a×j(а) + b×j(в).

Примеры. 1. Отображение j(а) = 0¹, где а – любой вектор из L , а 0¹ – нулевой вектор из L¹, является, очевидно, линейным оператором. Этот оператор называют нулевым.

2. Отображение j (а) = а есть линейный оператор пространства L на себя. Этот линейный оператор называется тождественным.

3. Пусть е = (е₁, е₂, е₃,… , е_n ) – базис в пространстве L_n и L¹ = <е₁, е₂, е₃>. Пусть j (х₁е₁ + х₂е₂ + х₃е₃ + …+ х_n е_n ) = х₁е₁+ х₂е₂ + х₃е₃ . Заданное отображение j есть линейный оператор, действующий из пространства L в его подпространство L¹. Этот оператор называется проекцией пространства Lна L¹.

Пусть е = (е₁, е₂,… , е_n ) – базис в пространстве L и f = (f₁, f₂, … , f_n ) – упорядоченная совокупность векторов из L¹.

Теорема 31. Существует и только один линейный оператор j, действующий из L в L¹, при котором j(е_к ) = f_к для всех к = 1, 2, … , n .

Доказательство. Если а – любой вектор из L , то а = х₁е₁ + х₂е₂ + … +х_n е_n . Зададим отображение j следующим образом: j (а) = х₁f₁ + х₂f₂ + … + х_n f_n . Так как j (а)Î L¹, то j действует из L в L¹. Если l Î Р, то j(lа) = l×х₁f₁ + l х₂f₂ + … + l х_n f_n = l (х₁f₁ + х₂f₂ + … +х_n f_n) = l j (а). Если в = у₁е₁ + у₂е₂ + … +у_n е_n,то j(а + в) = (х₁ + у₁) f₁ + (х₂ + у₂ )f₂ + … + (х_n + у_n) f_n=(х₁f₁ + х₂f₂ + … + х_n f_n ) + (у₁е₁ + у₂е₂ + … +у_n е_n ) = j(а) + j(в). Итак, j - линейный оператор из L в L¹. Кроме того j (е_к ) = 1×f_к . Следовательно, j - искомый линейный оператор. Обратно, если y - любой линейный оператор, при котором y (а_к ) = f_к , то по определению линейного оператора y (а) =y (х₁е₁ + х₂е₂ + … +х_n е_n) = х₁y(е₁) + х₂y(е₂) + … + х_ny(е_n) = х₁f₁+ х₂f₂ +…+ х_n f_n = j(а). Следовательно, j - единственный искомый оператор.

Следствие. Для того чтобы задать линейный оператор, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L¹ достаточно выбрать базис (е₁, е₂,… , е_n ) в пространстве L и упорядоченную систему векторов (f₁, f₂, … , f_n ) в пространстве L¹ и задать отображение по правилу: j (х₁е₁ + х₂е₂ + … +х_n е_n ) = х₁f₁ + х₂f₂ + … + х_n f_n.

Пример. Даны два линейных пространства L₃ и L₅ . Пусть е = (е₁, е₂, е₃) и f = (f₁, f₂, f₃ , f₄ , f₅ ) – реперы в L₃ и L₅ соответственно. Пусть а₁ = (1, 4, –1, 3, 0), а₂ = (3, 0, 1, –3, 7), а₃ = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L₅ . Пусть линейный оператор j: L₃ ® L₅ задан по правилу j(х₁е₁+ х₂е₂+ х₃е₃ ) = х₁а₁+ х₂а₂+ х₃а₃.Найти образ вектора с = (5, –1, 3).

Решение. j (с) = 5а₁ – а₂ + 3а₃ = (5,20,–5,15,0) – (3,0,1,–3,7) + (3,3,6,6,0) = (5, 23, 0, 24, –7).

Свойства линейных операторов.

Пусть j: L_n ® L_m линейный оператор.

1⁰. j (0) = 0¹, где 0 и 0¹ – нули пространств L_n и L_m соответственно.

2⁰. Произведение двух линейных операторов есть линейный оператор.

Пусть j: L_n ® L_m и y: L_m ® L_к . Тогда (y×j): L_n ® L_к . Если а и в – любые два вектора из L_n и l - любой элемент из поля Р, то (y×j)(а + в) = y (j (а + в)) = y (j (а) + j (в)) = = y (j (а)) + y (j (в)) = (y×j)(а) + (y×j)(в); (y×j)(lа) = y (j (lа)) = y (l ×j (а)) = = l×(y (j (а)) = l×(y×j)(а). Итак, отображение (y×j) удовлетворяет всем требованиям определения 31. Следовательно, (y×j) – линейный оператор.

Определение 32. Суммой двух линейных операторов j: L_n ® L_m и y: L_n ® L_m называется такое отображение w: L_n ® L_m , что для любого элемента а Î L_n верно равенство w (а) = j (а) + y (а).

3⁰. Сумма двух линейных операторов есть линейный оператор.

Пусть а, в Î L и a, b Î Р. Тогда w (a×а+ b×в) = j (a×а+ b×в) + y (a×а+ b×в) = (a×j(а) + b×j(в)) + + (a×y(а) + b×y(в)), Следовательно, по определению 31¹, w - линейный оператор, действующий из L_n в L_m .

4⁰. Нулевой линейный оператор играет роль нулевого элемента при сложении линейных операторов.

Определение 32. Произведением линейного оператора j: L_n ® L_m и элемента l Î Р называется такое отображение из L_n в L_m , что (lj)(а) = l×(j (а)) для любого а Î L_n .

5⁰. Произведение линейного оператора на элемент поля Р есть линейный оператор.

Докажите это утверждение самостоятельно.

6⁰. 1×j = j для любого линейного оператора j.

7⁰. 0×j – нулевой оператор для любого линейного оператора j.

8⁰. Если j и y – два линейных оператора, a, b Î Р, j: L_n ® L_m и y: L_n ® L_m , то (a×j + b×y) – линейный оператор, действующий из L_n в L_m .

Теорема 32. Множество линейных операторов, действующих из линейного пространства L_n в L_m является линейным пространством (оба пространства над одним и тем же полем).

Доказательство следует из свойств суммы линейных операторов и произведения линейного оператора на элемент поля Р.