Физические соотношения. Обобщенный закон Гука

С учетом линейности задачи и принципа суперпозиции выражения для линейных деформаций очевидны

, (10)

, (11)

. (12)

При рассмотрении кручения получена связь угловых деформаций и касательных напряжений. В обобщенном виде это

, (13) , (14) . (15)

Полная модель. Граничные условия

Среди 15-ти разрешающих уравнений девять дифференциальных в частных производных. Для замыкания задачи необходимо сформулировать граничные условия.

Границей тела является его поверхность . Во всех ее точках необходимо указать условия закрепления, которые могут быть силовыми, кинематическими или смешанными.

Первые имеют место, если в точке известны внешние поверхностные силы. Вторые – когда известны перемещения. Третьи – если известна зависимость между силами и перемещениями.

Рассмотрим более подробно силовые граничные условия, которые формулируются относительно сложно.

Напряжения на площадке, совпадающей с поверхностью, есть внешние силы, т.е. .

,

,

.

Этим уравнениям должны удовлетворять искомые функции напряжений в точках поверхности.

Кинематические условия есть ограничения на перемещения точек поверхности. В неподвижной точке, например, .

Смешанные условия, например, на упругом основании в плоскости xoz,

.

Методы решения задачи

Аналитическое решение в общем случае неизвестно.

Доказана теорема единственности: если найдено решение, удовлетворяющее 15-ти уравнениям и граничным условиям, то оно единственно.

Рассмотрим методы решения в частных случаях и общий подход к численному решению.

· Прямой метод

Метод возможен только в задачах, сводящихся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Это, в основном, осесимметричные задачи с переводом в цилиндрические координаты. Примеры: задача Ламе, задача о действии сосредоточенной силы на бесконечное полупространство (из которой Герц построил решение контактной задачи), некоторые плоские задачи, в которых удается разделить переменные по методу Фурье.

· Обратный метод

Предполагаются: некоторая система искомых функций, заведомо удовлетворяющая 15-ти уравнениями, форма тела. Решается вопрос: как должно быть нагружено тело, чтобы удовлетворить граничным условиям.

Этим способом удалось решить несколько задач, имеющих практическое значение. Например: задача Фламмана о диске, сжатом по диаметру сосредоточенными силами, задача о плоском клине (положена в основу расчета режущего инструмента), и д.р. Конечно решать практические задачи этим методом не удается. Но он положен в основу многих численных методов. Рассмотрим пример, иллюстрирующий сущность метода.

Пусть тело нагружено так, что отсутствуют касательные напряжения, а нормальные равны σ. Граничные условия только силовые. Объемные силы отсутствуют. Что за тело и как нагружено?

Из уравнений равновесия получаем σ=const, т.е. в том числе и на границе тела. Угловые деформации раны нулю, линейные равны между собой

.

Формулы Коши приводят к равенству производных от перемещений по осям

,

и, вследствие отсутствия кинематических и смешанных граничных условий, других ограничений на перемещения нет. Граничные условия требуют ,

и, тело нагружено равномерным давлением, форма тела любая.

Одновременно очевидно , так как знак деформации должен совпадать со знаком напряжения.

· Полуобратный метод (Сен-Венана)

Часть свойств искомых функций и характера нагружения предполагается. Остальные выбираются так, чтобы удовлетворить 15-ти уравнениями и граничным условиям.

Рассмотрим метод на примере задачи о сжатии призмы по торцам. задача имеет непосредственное отношение к технической теории стержней, используемой в сопротивлении материалов.

Призма нагружена только по нормали к торцам ( ), никак не закреплена, объемные силы отсутствуют. Ось z совпадает с осью призмы. Оси x и y- главные.

Силовые граничные условия:

- на боковой поверхности

, , ;

- на торцовой поверхности

, ,

. (16)

«Обратная» сторона метода состоит в предположении, что ,

чем автоматически удовлетворяются пять граничных условий. Шестое условие – закон распределение нагрузок по торцу, выясняется в ходе анализа основной системы уравнений, которая принятым предположением существенно упрощается. В этом – «прямая» сторона метода.

Уравнения равновесия дают

, (3*,12*)

т.е. нормальные напряжения не зависят от z.

Геометрические соотношения соединим с законом Гука. Имеем

, (4*,5*,10*,11*) , (6*,9*)

,(7*,13*). , (8*,14*) , (9*,15*)

Дальнейшие действия называю математическим анализом.

Из (4*…), (3*…) получаем , а из (7*…), (8*…), (9*…) - . Соответственно , и (8*…) и (9*…) удовлетворяет

. (17)

Подставляя результат анализа в (6*…) приходим к той же формуле для нормальных напряжений в стержне, что и раньше. Таким образом, гипотеза плоских сечений справедлива по всей длине призмы, если нагрузка на торце распределена по линейному закону (см. (16)). Во всех других случаях она справедлива приближенно.

· Численные методы

Практически применяются два метода: метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Рассмотрим идеологию этих методов.

Полная система уравнений сводится к трем неизвестным функциям , , - трем уравнениям Ламе – уравнениям равновесия, выраженным через перемещения. Если найти эти функции, то подстановкой в уравнения Коши получаем деформации, а, затем, подстановкой в уравнения закона Гука – напряжения. И, задача решена !!! Именно в этом и состоит принцип численного решения.

v В МКР тело разбивают сеткой на узлы, перемещения в которых считаются неизвестными. Частные производные вычисляются через перемещения данного узла и соседних узлов по определению производной. Полученные линейные зависимости подставляются в уравнения Ламе. В линейной постановке они также линейны относительно перемещений узлов. В крайних узлах формируются граничные условия. В итоге получаем большую систему линейных уравнений для перемещений узлов, которая решается ЭВМ численно по известным алгоритмам. Затем, зная перемещения узлов и их производные, находят напряжения в каждой точке.

Точность решения задачи зависит от размеров сетки и точности представления чисел в ЭВМ. Основной недостаток метода в сложности формулирования граничных условий конкретной задачи.

Сложность расчетов многократно увеличивается в случае нелинейной постановки, так как приходиться решать большую систему нелинейных алгебраических уравнений. Поэтому метод неидеальностей для определения критических нагрузок практически не применяется.

Задача в смысле Эйлера решается по следующему алгоритму.

Предполагаемую критическую нагрузку умножают на некоторый коэффициент, меняя который добиваются равенства нулю определителя линейной системы. Значение нагрузки, умноженное на соответствующее значение коэффициента, и есть критическая сила. Продолжая расчеты можно найти требуемое количество критических сил и форм потери устойчивости.

v В МКЭ тело разбивают на конечные элементы, например кубы, многогранники и т.д. Общие вершины элементов являются узлами.

Алгоритм получения разрешающей системы линейных алгебраических уравнений для перемещений в узлах иной. Здесь на базе теоремы Лагранжа-Дирихле для выбранных элементов находится матрица жесткостей, т.е. математическая связь сил и перемещений в узлах. Затем для каждого узла составляется система уравнений равновесия, в том числе и для граничных узлов, ГД прикладываются внешние силы или ограничиваются перемещения. Поэтому запись граничных условий проще и легко автоматизируется.

В остальном идеология метода идентична МКР. Недостатки и сложности также аналогичны. В некоторых случаях удачный выбор типа элемента позволяет понизить порядок разрешающей системы.